1.3.2 空间向量运算的坐标表示（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量运算的坐标表示，系统讲解向量加减、数乘、数量积的坐标运算，平行垂直的坐标判定及夹角距离公式。通过类比平面向量导入，以问题链引导学生从已知迁移到空间向量，搭建知识支架。 其亮点在于融入数学运算与逻辑推理素养，如正方体中用坐标法证线面垂直，结合例题总结规律方法。课堂小结梳理易错点，课时作业分层设计，助力学生构建知识体系，教师可高效开展教学。

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 1 1. 掌握空间向量运算的坐标表示（数学运算）. 2. 会判断两个向量是否共线或垂直（逻辑推理、数学运算）. 3. 掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单的几何问题（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 　　前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来，那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，能否可以探究出空间向量运算的坐标表示呢？ 情境导入 知识点一　空间向量运算的坐标表示 01 知识点二　空间向量平行、垂直的坐标表示 02 知识点三　空间夹角、距离的计算 03 课时作业 04 目录 4 01 PART 知识点一 空间向量运算的坐标表示 目 录 问题1　（1）类比平面向量运算的坐标表示，若空间向量a＝（a1，a2， a3），b＝（b1，b2，b3），能得出a＋b，a－b，λa（λ∈R），a·b 的坐标表示吗？ 提示：若空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则a＋b＝ （a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3），a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）， λa＝（λa1，λa2，λa3）（λ∈R），a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. （2）你能证明空间向量数量积运算的坐标表示吗？ 提示：设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a＝a1i＋a2j＋a3k， b＝b1i＋b2j＋b3k，所以a·b＝（a1i＋a2j＋a3k）·（b1i＋b2j＋b3k）. 利用向量数量积的分配律以及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝0，得 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝ ⁠ 减法 a－b＝ ⁠ 数乘 λa＝ （λ∈R） 数量积 a·b＝ ⁠ （a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）　 （a1－b1，a2－b2，a3－b3）　 （λa1，λa2，λa3）　 a1b1＋a2b2＋a3b3　 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则 ＝ ⁠ .即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 坐标 起点坐标. （x2－x1，y2－ y1，z2－z1）　 减去　 数学·选择性必修第一册 目 录 【例1】 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是（－1，2，1），（1， 3，4），（0，－1，4），（2，－1，－2）.若p＝ ，q＝ ，求下列 各式的值： （1）p＋2q； 解：由于A（－1，2，1），B（1，3，4），C（0，－1，4），D（2， －1，－2）， 所以p＝ ＝（2，1，3），q＝ ＝（2，0，－6）. p＋2q＝（2，1，3）＋2（2，0，－6）＝（6，1，－9）. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）3p－q； 解：3p－q＝3（2，1，3）－（2，0，－6）＝（6，3，9）－（2，0，－ 6）＝（4，3，15）. （3）（p－q）·（p＋q）. 解：（p－q）·（p＋q）＝p2－q2＝｜p｜2－｜q｜2＝（22＋12＋32）－ [22＋02＋（－6）2]＝－26. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 空间向量坐标运算的规律及注意点 （1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标 确定； （2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式 计算； （3）由条件求向量或点的坐标：把所求向量或点的坐标设出来，通过解 方程（组），求出其坐标. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练1　（1）已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且 ＝ 2a，则点B的坐标为（　D　） A. （－7，10，24） B. （7，－10，－24） C. （－6，8，24） D. （－5，6，24） 解析：∵a＝（－3，4，12），且 ＝2a，∴ ＝（－6，8， 24）.∵A的坐标为（1，－2，0），∴ ＝（1，－2，0）， ＝ ＋ ＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），∴点B的坐标为（－ 5，6，24）.故选D. D 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是（2，－1， 2），（4，5，－1），（－2，2，3），则适合条件 ＝ （ － ） 的点P的坐标为 ⁠. 解析：法一（直接法）　因为 ＝ （ － ），所以 － ＝ ， ＝ ＋ （ － ）＝（2，－1，2）＋ [（4，5，－1）－ （－2，2，3）]＝（5， ，0），所以点P的坐标为（5， ，0）. （5， ，0） 数学·选择性必修第一册 目 录 法二（间接法）　设P（x，y，z），则 ＝（x－2，y＋1，z－2）. 因为 ＝ （ － ）＝（3， ，－2），所以 解得 则点P的坐标为（5， ，0）. 数学·选择性必修第一册 目 录 02 PART 知识点二 空间向量平行、垂直的坐标表示 目 录 问题2　类比平面向量平行和垂直的坐标表示，设空间向量a＝（a1，a2， a3），b＝（b1，b2，b3），a，b均为非零向量，你能得出a∥b及a⊥b 的坐标表示吗？ 提示：a∥b⇒（a1，a2，a3）＝λ（b1，b2，b3）（λ∈R）⇒a1＝ λb1，a2＝λb2，a3＝λb3；a⊥b⇒a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有： （1）平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔ ， ⁠ ， （λ∈R）； （2）垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0⇔ ⁠ ⁠. 　　提醒：（1）要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证 明a＝λb（b≠0）；（2）当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b 平行的条件还可以表示为a∥b⇔ ＝ ＝ . a1＝λb1　 a2＝ λb2　 a3＝λb3　 a1b1＋a2b2＋ a3b3＝0　 数学·选择性必修第一册 目 录 【例2】（链接教材P20例2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F， G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点. 求证：（1）AB1∥GE，AB1⊥EH； 数学·选择性必修第一册 目 录 证明：如图，以A为坐标原点，以{ ， ， }为正 交基底建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A （0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0， 1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1， 1）.由中点坐标公式，得E（1，1， ），F（1， ，0），G（ ，1，0），H（ ， ，1）. ＝（1，0，1）， ＝（ ，0， ）， ＝（－ ，－ ， ）. 因为 ＝2 ， · ＝1×（－ ）＋1× ＝0， 所以 ∥ ， ⊥ ，即AB1∥GE，AB1⊥EH. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）A1G⊥平面EFD. 证明： ＝（ ，1，－1）， ＝（1，－ ，0）， ＝（1，0， ）. 因为 · ＝ － ＋0＝0， · ＝ ＋0－ ＝0， 所以A1G⊥DF，A1G⊥DE. 因为DF∩DE＝D，DF，DE⊂平面EFD，所以A1G⊥平面EFD. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 向量平行、垂直的应用 （1）已知向量平行、垂直，可构造方程（组）求参数； （2）利用向量法证明空间线面的平行、垂直关系 ①证明平行的关键是构造向量之间的线性关系； ②证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理，将垂直问题 转化为线线垂直，然后利用向量的数量积为零证明. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练2　（1）已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b 与2a－b互相垂直，则k＝（　　） A. 1 B. C. D. 解析：　ka＋b＝（k－1，k，2），2a－b＝（3，2，－2），（ka＋ b）·（2a－b）＝3（k－1）＋2k－4＝0，解得k＝ . √ 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝ ，AF＝1，M是线段EF的中点.求 证：AM∥平面BDE. 数学·选择性必修第一册 目 录 证明：如图，建立空间直角坐标系， 设AC∩BD＝N，连接NE， 则点N，E的坐标分别为（ ， ，0），（0，0，1）. ∴ ＝（－ ，－ ，1）. 又点A，M的坐标分别是（ ， ，0），（ ， ，1）， ∴ ＝（－ ，－ ，1）. 数学·选择性必修第一册 目 录 ∴ ＝ .又NE与AM不共线， ∴NE∥AM. 又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， ∴AM∥平面BDE. 数学·选择性必修第一册 目 录 03 PART 知识点三 空间夹角、距离的计算 目 录 问题3　类比平面两点间的距离公式，你能利用空间向量运算的坐标表示 推导出空间两点的距离公式吗？ 提示：如图，建立空间直角坐标系Oxyz，设P1（x1，y1， z1），P2（x2，y2，z2）是空间中任意两点， ＝ － ＝（x2－x1，y2－y1，z2－z1）， 于是｜ ｜＝ ＝ ， 所以P1P2＝｜ ｜＝ 数学·选择性必修第一册 目 录 ， 因此，空间中已知两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）， 则AB＝｜ ｜＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 若a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）， cos ＜a，b＞＝ ＝ ⁠. 　 数学·选择性必修第一册 目 录 设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），则P1P2＝｜ ｜ ＝ ⁠. 　　提醒：（1）空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与 CD所成的角为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜；（2）求空间中线 段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量 模的计算公式. 　 2. 空间两点间的距离公式 数学·选择性必修第一册 目 录 【例3】（链接教材P21例3）如图所示，三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底 面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝ ，AA'＝2，点N是A'A的中点. （1）求｜ ｜； 数学·选择性必修第一册 目 录 解：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC'所在直线 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 由题意，得B（0，1，0），N（1，0，1）. 则 ＝（1，－1，1）， ｜ ｜＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）求 cos ＜ ， ＞的值. 解：由题意，得B（0，1，0），C（0，0，0），A'（1，0，2），B' （0，1，2）. 因为 ＝（1，－1，2）， ＝（0，1，2）， 所以｜ ｜＝ ＝ ， ｜ ｜＝ ＝ ， · ＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3， cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的一般步骤 第一步，建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； 第二步，求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； 第三步，计算：结合公式进行计算； 第四步，转化：转化为夹角与距离问题. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练3　在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的 角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝ 1，AD＝2. （1）求BP的长； 数学·选择性必修第一册 目 录 解：如图，建立空间直角坐标系. ∵∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，CD＝1，AD＝2， ∴A（2，0，0），C（0，1，0），B（2，4，0）. 由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的 角， ∴∠PAD＝60°. 在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2 . ∴P（0，0，2 ）. ∴BP＝ ＝4 . 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 解：由（1）得， ＝（2，0，－2 ）， ＝（－2，－3，0）， ∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ ， ∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为 . 数学·选择性必修第一册 目 录 向量概念的推广 向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际 问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以 再进一步推广？ 结论：用n元有序实数组（a1，a2，…，an）表示n维向量，它构成了n维 向量空间，a＝（a1，a2，…，an）. 对于n维向量空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算. 设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn），则 a±b＝（a1±b1，a2±b2，…，an±bn）； 数学·选择性必修第一册 目 录 λa＝λ（a1，a2，…，an）＝（λa1，λa2，…，λan），λ∈R； a·b＝（a1，a2，…，an）·（b1，b2，…，bn）＝a1b1＋a2b2＋…＋ anbn； ｜a｜＝ . n维向量空间中A（a1，a2，…，an），B（b1，b2，…，bn）两点间的 “距离”｜AB｜＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 【迁移应用】 某班共有30位同学，则该班期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量 表示，即ai＝（ai1，ai2，ai3，ai4，ai5）（i＝1，2，…，30），其中aij表 示成绩，i不同表示不同的同学，j不同表示不同的课程，如何用简单明了 的数学表达式表示该班五门课程各自的平均成绩. 数学·选择性必修第一册 目 录 解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标分别 加起来，然后再乘以 ，即 ai＝（ ai1， ai2， ai3， ai4， ai5）， 其中 aij为第j门课程的平均成绩. 数学·选择性必修第一册 目 录 1. 〔多选〕已知向量a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），则下列 结论正确的是（　　） A. a＋b＝（7，－5，0） B. a－b＝（5，－1，4） C. a·b＝8 D. ｜a｜＝ 解析：　因为a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），所以a＋b＝ （7，－5，0），故A正确；a－b＝（－5，1，－4），故B不正确；a·b ＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；｜a｜＝ ＝3，故D不正 确.故选A、C. √ √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 〔多选〕已知a＝（2，3，－1），b＝（2，0，4），c＝（－4，－ 6，2），则下列结论不正确的是（　　） A. b∥c B. a∥b C. a⊥b D. a⊥c √ √ √ 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：对于A，由向量b＝（2，0，4），c＝（－4，－6，2），可得 ≠ ≠ ，所以向量b与c不共线，所以A不正确；对于B，由向量a＝（2，3，－1），b＝（2，0，4），可得 ≠ ≠ ，所以向量a与b不 共线，所以B不正确；对于C，由向量a＝（2，3，－1），b＝（2，0， 4），可得a·b＝2×2＋3×0＋（－1）×4＝0，所以a⊥b，所以C正确； 对于D，由a＝（2，3，－1），c＝（－4，－6，2），可得a·c＝2×（－ 4）＋3×（－6）＋（－1）×2≠0，所以向量a与c不垂直，所以D不正 确.故选A、B、D. 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则向量 与 的夹角为 ⁠. 解析：∵ ＝（0，3，3）， ＝（－1，1，0），∴｜ ｜＝ 3 ，｜ ｜＝ ， · ＝0×（－1）＋3×1＋3×0＝3，∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，又∵＜ ， ＞∈[0，π]，∴＜ ， ＞＝ . ​ 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 如图，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB， BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角 坐标系Oxyz. （1）写出点E，F的坐标； 解：E（a，x，0），F（a－x，a，0）. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）求证：A1F⊥C1E. 解：证明：∵A1（a，0，a），C1（0，a，a）， ∴ ＝（－x，a，－a）， ＝（a，x－a，－a）， ∴ · ＝－ax＋a（x－a）＋a2＝0， ∴ ⊥ ，∴A1F⊥C1E. 数学·选择性必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）空间向量的坐标运算； （2）空间向量平行、垂直的坐标表示； （3）空间向量夹角、模的坐标表示. 2.应体会 （1）在探究空间向量运算的坐标表示时，运用了类比联想的数学思想； （2）在证平行与垂直、求长度及夹角时要注意数形结合思想的应用. 3.避易错 （1）两向量对应坐标的比相等是a∥b的充分不必要条件，而非充要条件； （2）讨论向量夹角时，易忽略向量共线的情况； （3）要注意异面直线所成的角与向量夹角的区别. 数学·选择性必修第一册 目 录 04 PART 课时作业 目 录 1. 已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若 ＝ （O为坐标原 点），则点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 解析：　∵ ＝（－3，7，－5），∴ ＝ （－3，7，－5）＝ .∴点C的坐标为 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝ ， 若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：　a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝ 7，得a·c＝－7，而｜a｜＝ ＝ ，所以 cos ＜a，c＞＝ ＝－ ，所以＜a，c＞＝120°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 已知 ＝（1，5，－2）， ＝（3，1，z），若 ⊥ ， ＝ （x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝（　　） A. B. C. 1 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　由BP⊥平面ABC，可得BP⊥AB，BP⊥BC，又 ⊥ ， ∴ 即 解得x＝ ，y＝－ ，z ＝4，∴x＋y＝ － ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 在空间直角坐标系中，已知三点O（0，0，0），A（1，2，1），B （1，－1，0），若点C在平面OAB内，则点C的坐标可能是（　　） A. （－1，－1，3） B. （3，0，1） C. （1，1，2） D. （1，－1，2） 解析：　由 ＝（1，2，1）， ＝（1，－1，0），显然 ， 不 共线，根据平面向量基本定理可得 ＝λ ＋μ ＝（λ＋μ，2λ－ μ，λ），故C点坐标为（λ＋μ，2λ－μ，λ），经验算只有B选项符 合条件，此时λ＝1，μ＝2.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 5. 在空间直角坐标系中，已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C （6，－1，4），则△ABC一定是（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 解析：　∵ ＝（3，4，－8）， ＝（5，1，－7）， ＝（2，－ 3，1），∴｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝ ，∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，∴△ABC一定是直角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 6. 〔多选〕已知空间向量a＝（－2，－1，1），b＝（3，4，5），则下 列结论正确的有（　　） A. （2a＋b）∥a B. 5｜a｜＝ ｜b｜ C. a⊥（5a＋6b） D. a与b夹角的余弦值为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　因为2a＋b＝（－1，2，7），a＝（－2，－1，1），而 ≠ ≠ ，所以2a＋b与a不共线，故A不正确；因为｜a｜＝ ，｜ b｜＝5 ，所以5｜a｜＝ ｜b｜，故B正确；因为a·（5a＋6b）＝ 5a2＋6a·b＝5×（4＋1＋1）＋6×（－6－4＋5）＝0，所以a⊥（5a＋ 6b），故C正确；因为a·b＝－5，所以 cos ＜a，b＞＝ ＝－ ， 故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 7. 〔多选〕已知向量a＝（1，－1，m），b＝（－2，m－1，2），则下 列结论中正确的是（　　） A. 若｜a｜＝2，则m＝± B. 若a⊥b，则m＝－1 C. 不存在实数λ，使得a＝λb D. 若a·b＝－1，则a＋b＝（－1，－2，－2） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　由｜a｜＝2，可得 ＝2，解得m＝± ，故A选项正确；由a⊥b，可得－2－m＋1＋2m＝0，解得m＝1，故B选项错误；若存在实数λ，使得a＝λb，则 显然λ无解，即不存在实数λ，使得a＝λb，故C选项正确；若a·b＝－1，则－2－m＋1＋2m＝－1，解得m＝0，于是a＋b＝（－1，－2，2），故D选项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 8. 已知a＝（1－t，1－t，t），b＝（2，t，t），则｜b－a｜的最小 值是 ⁠. 解析：由已知，得b－a＝（2，t，t）－（1－t，1－t，t）＝（1＋t， 2t－1，0）.∴｜b－a｜＝ ＝ ＝ .∴当t＝ 时，｜b－a｜取最小值，最小 值为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 9. 在空间直角坐标系中，已知A（1，－2，－3），B（2，－1，－1）， 则直线AB与坐标平面Oxz的交点坐标为 ⁠. 解析：设直线AB与平面Oxz的交点为P（a，0，b），因为A，B，P三 点共线，则 ∥ ，因为A（1，－2，－3），B（2，－1，－1），所 以 ＝（a－1，2，b＋3）， ＝（1，1，2），则 ＝ ＝ ，解 得 则P（3，0，1）. （3，0，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 10. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD， BB1的中点. （1）求证：CF⊥平面DEF； 解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D（0，0，0），E（0，0， ），B（1，1，0），C （0，1，0），F（ ， ，0），G（1，1， ）. 所以 ＝（1，1，0）， ＝（ ， ，－ ）， ＝ （ ，－ ，0）， ＝（1，0， ）， ＝（0，－1， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 证明：因为 · ＝ ×1－ ×1＝0， · ＝ × － × ＝0，所以 ⊥ ， ⊥ ，即CF⊥DB，CF⊥EF， 又DB，EF⊂平面DEF，DB∩EF＝F， 故CF⊥平面DEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）求异面直线EF与CG所成角的余弦值. 解：因为 · ＝ ×1＋ ×0＋（－ ）× ＝ ，｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝ ， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ . 所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 11. 已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2，t）的夹角为钝角，则实 数t的取值范围为（　　） A. （－∞，－6） B. （－∞，－6）∪（－6， ） C. （ ，＋∞） D. （－∞， ） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　因为向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2，t）的夹角为钝 角，所以a·b＜0，且a，b不共线，则a·b＝－10＋3t＜0，解得t＜ .当 a∥b时，t＝－6，所以实数t的取值范围为（－∞，－6）∪（－6， ）.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 12. 已知向量a＝（－2，1，1），点A（－3，－1，4），B（－2，－2， 2）.在直线AB上，存在一点E，使得 ⊥a，其中O为坐标原点，则点 E的坐标为（　　） A. （ ，－ ， ） B. （ ，－ ，－ ） C. （－ ，－ ， ） D. （－ ，－ ，－ ） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　设 ＝λ ，因为A（－3，－1，4），B（－2，－2，2），所以 ＝（1，－1，－2）， ＝（λ，－λ，－2λ）， ＝（3，1，－4）， ＝ － ＝（λ－3，－λ－1，－2λ＋4），因为 ⊥a，所以－2（λ－3）＋（－λ－1）＋（－2λ＋4）＝0，解得λ＝ ，又A（－3，－1，4）， ＝（ ，－ ，－ ），所以点E的坐标为（－ ，－ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 13. 已知空间三点A（0，1，2），B（－4，－1，8），C（2，－5， 6），则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为 ⁠. 解析：由已知得 ＝（2，－6，4）， ＝（－4，－2，6），所以｜ ｜＝ ＝2 ，｜ ｜＝ ＝ 2 ，所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，又＜ ， ＞∈[0，π]，则 sin ＜ ， ＞＝ ＝ ，所 以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为S＝ ×2 ×2 × ×2 ＝28 . 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 14. 在①（ ＋ ）⊥（ － ）；②｜ ｜＝ ；③0＜ cos ＜ ， ＞＜1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题. 问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间 直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为（0，0，2），E为棱D1C1上的动 点，F为棱B1C1上的动点， 　　，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？ 若存在，求 · 的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解：由题意，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则A（2，0，0），B （2，2，0），A1（2，0，2），D（0，0，0），C（0，2，0），设E （0，a，2）（0≤a≤2），F（b，2，2）（0≤b≤2），则 ＝（b， 2－a，0）， ＝（－2，2，－2）， ＝（－2，a，2）， ＝（b －2，0，2），所以 · ＝4－2（a＋b）， · ＝8－2b. 选择①：因为（ ＋ ）⊥（ － ）， 所以（ ＋ ）·（ － ）＝0， ＝ ，得a＝b， 若 · ＝0，得4－2（a＋b）＝0，则a＝b＝1， 故存在点E（0，1，2），F（1，2，2），满足EF⊥A1C，此时 · ＝8－2b＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 选择②：因为｜ ｜＝ ，所以 ＝ ，得a＝ ， 若 · ＝0，即4－2（a＋b）＝0，得b＝ . 故存在点E（0， ，2），F（ ，2，2），满足EF⊥A1C，此时 · ＝8－2b＝5. 选择③：因为0＜ cos ＜ ， ＞＜1，所以 与 不共线， 所以b≠2－a，即a＋b≠2， 则 · ＝4－2（a＋b）≠0， 故不存在点E，F满足EF⊥A1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 15. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如 果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”. 现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐 标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜 60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下 三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向的单位向量，若向量n＝xi＋yj＋ zk，则n与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量n的斜60°坐标为 [x，y，z]，记作n＝[x，y，z]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （1）若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标； 解：由a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，知a＝i ＋2j＋3k，b＝－i＋j＋2k， 所以a＋b＝（i＋2j＋3k）＋（－i＋j＋2k）＝3j＋5k， 所以a＋b＝[0，3，5]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 ②若 ＝[2，t，0]，且 ⊥ ，求｜ ｜. （2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD ＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以{ ， ， }为基底建立“空 间斜60°坐标系”. ①若 ＝ ，求向量 的斜60°坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解：设i，j，k分别为与 ， ， 同方向的 单位向量， 则 ＝2i， ＝2j， ＝3k， ① ＝ － ＝（ ＋ ）－（ ＋ ） ＝－ ＋ ＋ ＝－2i＋2j＋ k＝［－2，2， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 ②由题得 ＝ ＋ ＋ ＝2i＋2j＋3k， 因为 ＝[2，t，0]，所以 ＝2i＋tj， 由 ⊥ 知 · ＝（2i＋2j＋3k）·（2i＋tj）＝0⇒4i2＋2tj2＋ （4＋2t）i·j＋6k·i＋3tk·j＝0⇒4＋2t＋（4＋2t）· ＋3＋ ＝0⇒t＝－2. 则｜ ｜＝｜2i－2j｜＝ ＝ ＝ ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $