5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第四课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.若tan α＝3，则＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 2.已知sin α＝，则cos（π－2α）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 3.设－3π＜α＜－，化简的结果是（　　） A.sin B.cos C.－cos D.－sin 4.＝（　　） A. B.－ C.－1 D.1 5.已知tan（x＋）＝2，则＝（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕下列各式中，值为的是（　　） A. B.cos2－sin2 C.cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45° D. 7.化简：·＝　　　　. 8.＋＝　　　　. 9.等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为　　　　. 10.已知α为锐角，且sin＋cos＝，求sin α及tan 2α的值. 11.在锐角△ABC中，若B＝2A，则的取值范围是（　　） A.（，） B.［－，］ C.（，） D.（－，） 12.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝（　　） A.4 B.＋1 C.2 D.－1 13.已知cos（α＋β）cos（β＋）＋sin（α＋β）sin（β＋）＝，则sin（2α＋）＝　　　　. 14.已知θ∈（0，π），且sin θ＋cos θ＝. （1）求的值； （2）求的值. 15.某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°； cos280°＋cos2（－50°）－sin 80°sin（－50°）； cos2170°＋cos2（－140°）－sin 170°sin（－140°）. （1）求出这个常数； （2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.D　＝＝2tan α＝6. 2.B　cos（π－2α）＝－cos 2α＝2sin2α－1＝－. 3.C　因为－3π＜α＜－，所以－＜＜－，所以＝＝＝－cos. 4.B　原式＝＝－＝－＝－. 5.A　由tan（x＋）＝2，可得＝2，解得tan x＝，所以tan 2x＝＝＝，所以＝＝. 6.AB　选项A，＝＝sin 60°＝；选项B，cos2－sin2＝cos＝；选项C，cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45°＝sin（45°－15°）＝sin 30°＝；选项D，＝×＝tan 30°＝×＝. 7.tan 2α　解析：原式＝·＝tan 2α. 8.4　解析：原式＝＝ ＝＝＝4. 9.　解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cos B＝，sin B＝＝＝.所以sin A＝sin（180°－2B）＝sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝. 10.解：因为sin＋cos＝， 所以sin2＋2sincos＋cos2＝（）2＝， 即1＋sin α＝，所以sin α＝. 因为α为锐角，所以cos α＝＝， 所以tan α＝＝， 所以tan 2α＝＝＝. 11.A　在锐角△ABC中，由B＝2A，可得C＝π－3A，于是解得＜A＜，所以＜cos A＜，则＝＝2cos A∈（，）.故选A. 12.C　由题意可知2sin 18°＝m＝，所以m2＝4sin218°，则＝ ＝＝＝2. 13.－　解析：因为cos（α＋β）cos（β＋）＋sin（α＋β）sin（β＋）＝，所以cos［（α＋β）－（β＋）］＝，即cos（α－）＝，所以cos（2α－）＝2cos2（α－）－1＝－，即cos（－2α）＝－，所以sin（2α＋）＝sin［－（－2α）］＝cos（－2α）＝－. 14.解：由sin θ＋cos θ＝， ① 两边平方并化简得2sin θcos θ＝－＜0， ∵θ∈（0，π），∴sin θ＞0，cos θ＜0， sin θ－cos θ＝＝＝， ② 由①②得sin θ＝，cos θ＝－. （1） ＝ ＝－＝. （2）＝ ＝ ＝2sin θcos θ＝－. 15.解：（1）cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15° ＝2cos215°－sin215° ＝1＋cos 30°－（1－cos 30°） ＝1＋－（1－）＝. （2）推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sin α·sin β＝. 证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α， cos2α＋cos2β－sin αsin β＝cos2α＋cos2（30°－α）－sin αsin（30°－α） ＝cos2α＋（cos α＋sin α）2－sin α（cos α－sin α） ＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos αsin α＋sin2α ＝cos2α＋sin2α＝. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $