5.4 培优课 三角函数中的参数求解(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

培优课　三角函数中的参数求解 1.已知函数y＝sin（2x＋φ）的图象关于点（，0）对称，则φ的可能取值为（　　） A.－ B. C.－ D. 2.f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［0，］上单调递增，在［，］上单调递减，则ω＝（　　） A.2 B. C. D. 3.已知直线x＝和x＝是曲线f（x）＝sin（ωx＋φ）（－π＜φ≤π）的两条对称轴，且函数f（x）在（，）上单调递减，则φ＝（　　） A.－ B.0 C. D.π 4.已知函数f（x）＝2sin的定义域为[a，b]，值域为[－1，2]，则b－a的值一定不可能是（　　） A.π B.2π C.π D.π 5.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π）的最小正周期为2，且函数图象过点（，1），若f（x）在区间[－2，a]内有4个零点，则a的取值范围为（　　） A.［，） B.（，］ C.［，） D.（，］ 6.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜≤）的图象离原点最近的对称轴为x＝x0，若满足｜x0｜≤，则称f（x）为“近轴函数”.若函数y＝2sin（2x－φ）是“近轴函数”，则φ的取值范围是（　　） A.［，］ B.［－，－］∪［，］ C.［－，－］ D.［－，］ 7.〔多选〕（2025·眉山期末）设ω＞0，函数f（x）＝－2sin（ωx－）在区间（0，］上有零点，则ω的值可以是（　　） A. B. C. D. 8.〔多选〕已知函数f（x）＝3sin（ωx＋）（ω＞0）的图象的对称轴与对称中心的最小距离为，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的最小正周期为2π B.f（x）的图象关于点（－，0）对称 C.f（x）在（－，）上单调递减 D.f（x）的图象关于直线x＝对称 9.已知函数y＝tan ωx（ω＞0）在（－，）上单调递增，则ω的最大值为　　　　. 10.（2023·新高考Ⅰ卷15题）已知函数f（x）＝cos ωx－1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　. 11.若函数f（x）＝cos ωx（ω＞0）在区间（2π，3π）内既没有最大值1，也没有最小值－1，则实数ω的取值范围是　　　　. 12.设函数y＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜），若函数图象与x轴的两个相邻的交点间的距离为，且图象关于点M（－，0）对称. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）求不等式－1＜f（x）＜的解集. 13.已知函数f（x）＝asin（x＋）＋1－a（a∈R），x∈［0，］，定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，且g（2）＝0.若g（f（x））＜0恒成立，求实数a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　三角函数中的参数求解 1.C　因为函数y＝sin（2x＋φ）的图象关于点（，0）对称，所以2×＋φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝kπ－（k∈Z）.结合选项，当k＝0时，φ＝－. 2.D　当x＝时，函数f（x）取得最大值，则sin＝1，所以＝2kπ＋（k∈Z），所以ω＝6k＋，k∈Z，又ω＞0，结合选项ω＝. 3.A　由f（x）在（，）上单调递减可知，f（）是最小值，由两条对称轴为直线x＝和x＝可知，直线x＝0也是对称轴，且f（0）＝－1为最小值，故sin φ＝－1.又－π＜φ≤π，解得φ＝－. 4.D　∵f（x）＝2sin的定义域为[a，b]且值域为[－1，2].则[a，b]不是f（x）的一个周期，即b－a＜4π，由选项知＞4π，故b－a一定不可能是D. 5.A　由最小正周期T＝2＝，得ω＝π.因为函数f（x）的图象过点（，1），所以sin（＋φ）＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.因为｜φ｜＜π，所以φ＝，所以f（x）＝sin（πx＋）.当x∈[－2，a]时，πx＋∈［－，πa＋］，因为f（x）在[－2，a]内有4个零点，所以2π≤πa＋＜3π，所以≤a＜，所以a的取值范围为［，）. 6.B　y＝2sin（2x－φ）靠近原点的对称轴为x＝x0，则2x0－φ＝±⇒x0＝±，要为近轴函数，则｜x0｜≤，∵｜±｜＞，∴φ＞0，x0＝－，φ＜0，x0＝＋， ∴或 解得φ∈［－，－］∪［，］. 7.BCD　f（x）＝－2sin（ωx－），令ωx－＝kπ，解得x＝＋，k∈Z；因为ω＞0，取k＝0，所以0＜≤，即ω≥，故选B、C、D. 8.BD　因为f（x）的图象的对称轴与对称中心的最小距离为，所以＝，即T＝π，选项A错误；由T＝＝π，得ω＝2，即f（x）＝3sin（2x＋），因为f（－）＝3sin（－＋）＝3sin 0＝0，所以f（x）的图象关于点（－，0）对称，选项B正确；当－＜x＜时，有－＜2x＋＜，所以f（x）＝3sin（2x＋）在（－，）上单调递增，选项C错误；因为f（）＝3sin（＋）＝3sin＝－3，所以f（x）的图象关于直线x＝对称，选项D正确. 9.2　解析：∵－＜，∴由正切函数的单调性可得≥×2，且ω＞0，解得0＜ω≤2，故ω的最大值为2. 10.[2，3）　解析：因为x∈[0，2π]，ω＞0，所以ωx∈[0，2ωπ].由f（x）＝0得cos ωx＝1，从而要使f（x）在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则需4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3. 11.（0，］∪［，］∪{1} 解析：当x∈（2π，3π）且ω＞0时，2πω＜ωx＜3πω.因为函数f（x）在区间（2π，3π）内既没有最大值1，也没有最小值－1，所以（2πω，3πω）⊆（kπ，kπ＋π），其中k∈Z，所以（k∈Z），解得≤ω≤（k∈Z），由≤，可得k≤2.因为ω＞0且k∈Z，所以当k＝0时，0＜ω≤；当k＝1时，≤ω≤；当k＝2时，ω＝1.综上所述，实数ω的取值范围是（ 0，］∪［，］∪{1}. 12.解：（1）由已知得函数的最小正周期为， 因而T＝＝，则ω＝2. 由2×（－）＋φ＝（k∈Z）， 得φ＝＋（k∈Z）. 又0＜φ＜，则φ＝. 从而函数解析式为y＝tan（2x＋）. （2）令－＋kπ＜2x＋＜＋kπ（k∈Z），得－＋＜x＜＋（k∈Z）， 从而函数的单调递增区间为（－＋，＋）（k∈Z），无单调递减区间. （3）若－1＜f（x）＜，则－＋kπ＜2x＋＜＋kπ（k∈Z）， 得－＋＜x＜＋（k∈Z）， 因而不等式的解集为{x｜－＋＜x＜＋，k∈Z}. 13.解：f（x）＝asin（x＋）＋1－a，根据已知条件，由g（x）＜0可得x∈（－∞，－2）∪（0，2）. 由题意，要使g（f（x））＜0恒成立，则f（x）∈（－∞，－2）或f（x）∈（0，2）恒成立. 若asin（x＋）＋1－a＜－2恒成立， 则a［sin（x＋）－1］＜－3. ∵x∈［0，］，∴sin（x＋）∈[1，]. 当x＝0或x＝时，sin（x＋）－1＝0，a×0＝0＞－3.故这时的a不存在. 若0＜asin（x＋）＋1－a＜2恒成立， 则－1＜a［sin（x＋）－1］＜1. 只需a［sin（x＋）－1］的最大值和最小值同时在（－1，1）中， 即解得－1－＜a＜1＋. 综上，实数a的取值范围为{a｜－1－＜a＜1＋}. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $