5.4.2 第3课时 正弦、余弦函数性质的综合问题(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第三课时　正弦、余弦函数性质的综合问题 1.C　x＝时，y＝2sin（＋）＝2，是对称轴，故选C. 2.B　令2x－＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z.所以函数y＝3cos（2x－）的对称中心为（＋，0），k∈Z.令k＝0，所以函数y＝3cos（2x－）的一个对称中心是（，0），故选B. 3.D　∵函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）对任意x都有f（＋x）＝f（－x），∴函数图象的对称轴是x＝，∴f（）取最大值或者是最小值，∵函数的最大值是3，最小值是－3，∴f（）＝－3或3，故选D. 4.C　令t＝cos x∈[－1，1]，则y＝（t－a）2－1，t∈[－1，1]，可知y＝（t－a）2－1的图象开口向上，对称轴为t＝a，原题意等价于：当t＝－1时，y取最大值，当t＝a时，y取最小值，结合二次函数对称性可知：0≤a≤1，所以实数a的取值范围是[0，1].故选C. 5.AC　T＝＝π，故A正确；f（）＝2sin＝，所以x＝不是对称轴，故B错误；f（－）＝2sin 0＝0，所以x＝－是f（x）的一个零点，故C正确；因为sin∈[－1，1]，所以2sin∈[－2，2]，所以f（x）的最大值为2，故D错误.故选A、C. 6.BC　A选项，f（x）＝7cos（ωx－）（ω＞0）的最小正周期为，则ω＝＝4，错误；B选项，由A可知，函数解析式为f（x）＝7cos（4x－），当x＝－时，f（－）＝7cos（4×（－）－）＝7cos（－π）＝－7，故x＝－是函数图象的一条对称轴，正确；C选项，f（）＝7cos（4×－）＝7cos，f（）＝7cos（4×－）＝7cos，因为在x∈（0，π）时，函数单调递减，则f（）＞f（），正确；D选项，令4x－＝＋kπ， 则x＝＋，则函数图象的对称中心为（＋，0），k∈Z，错误.故选B、C. 7.（－，0），k∈Z　解析：由题意，ω＝＝＝2，则f（x）＝sin（2x＋），令2x＋＝kπ（k∈Z），得x＝－（k∈Z）.所以该函数图象的对称中心为（－，0）（k∈Z）. 8.　解析：令t＝sin x，则y＝1－t2＋t（0≤t≤1），对称轴为t＝，所以当t＝时，函数取得最大值，即sin x＝，得x＝. 9.　解析：因为f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，所以f（x）取最大值f（），所以ω－＝2kπ（k∈Z），所以ω＝8k＋（k∈Z），因为ω＞0，所以当k＝0时，ω取最小值为. 10.解：（1）因为图象相邻两个最高点的距离为π，故周期为π， 所以＝π，故ω＝2. 又图象关于直线x＝对称，故2×＋φ＝＋kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋kπ，k∈Z，因为－≤φ＜，故令k＝0得φ＝－. （2）由（1）知f（x）＝sin（2x－）， 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 故函数f（x）的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］（k∈Z）. 11.B　根据f（x）的最小正周期为π，故可得T＝＝π，解得ω＝2.又其关于（，0）中心对称，故可得sin（＋φ）＝0，又｜φ｜∈（0，），故可得φ＝－.则f（x）＝sin（2x－）.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得x∈［kπ－，kπ＋π］（k∈Z）.故f（x）在［－，π］上单调递增.又f（2）＝f（π－2），且0，π－2，1都在区间［－，π］中，且0＜π－2＜1，故可得f（0）＜f（2）＜f（1），故选B. 12.ACD　由题意知，函数f（x）＝作出图象如图所示，最小正周期为2π. 当2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z时，f（x）＝cos x，当2kπ＋＜x≤2kπ＋，k∈Z时，f（x）＝sin x，所以f（x）图象的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.当x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋，k∈Z时，f（x）取得最小值－1.当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z时，f（x）＞0，且f（x）的最大值为f（＋2kπ）＝，可得0＜f（x）≤.故正确的选项是A、C、D. 13.（0，］　解析：因为函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以×＝，解得ω＝2，即f（x）＝sin（2x－），因为f（x）在（－m，m）上单调递增，则m＞0，所以函数f（x）＝sin（2x－）的单调递增区间包含0，令－≤2x－≤，得－≤x≤，所以（－m，m）⊆［－，］，所以故m的取值范围为（0，］. 14.解：令t＝sin x，则－1≤t≤1. f（x）＝0有实数解，即t2－t－a＝0在[－1，1]内有实数解. 则a＝t2－t，t∈[－1，1]， 设h（t）＝t2－t＝（t－）2－，t∈[－1，1]， 当t＝时，h（t）min＝－， 当t＝－1时，h（t）max＝2， ∴a的取值范围是［－，2］. 15.解：（1）因为f（x）＝cos（2x－），所以函数f（x）的最小正周期T＝＝π， 由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 故函数f（x）的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］（k∈Z）. （2）由（1）可知：f（x）＝cos（2x－）在区间［－，］上单调递增，在区间［，］上单调递减，又f（－）＝0，f（）＝，f（）＝－1， 所以当a∈[0，）时，方程f（x）＝a恰有两个不同的实根.所以实数a的取值范围为[0，）. 第三课时　正弦、余弦函数性质的综合问题 1.C　x＝时，y＝2sin（＋）＝2，是对称轴，故选C. 2.B　令2x－＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z.所以函数y＝3cos（2x－）的对称中心为（＋，0），k∈Z.令k＝0，所以函数y＝3cos（2x－）的一个对称中心是（，0），故选B. 3.D　∵函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）对任意x都有f（＋x）＝f（－x），∴函数图象的对称轴是x＝，∴f（）取最大值或者是最小值，∵函数的最大值是3，最小值是－3，∴f（）＝－3或3，故选D. 4.C　令t＝cos x∈[－1，1]，则y＝（t－a）2－1，t∈[－1，1]，可知y＝（t－a）2－1的图象开口向上，对称轴为t＝a，原题意等价于：当t＝－1时，y取最大值，当t＝a时，y取最小值，结合二次函数对称性可知：0≤a≤1，所以实数a的取值范围是[0，1].故选C. 5.AC　T＝＝π，故A正确；f（）＝2sin＝，所以x＝不是对称轴，故B错误；f（－）＝2sin 0＝0，所以x＝－是f（x）的一个零点，故C正确；因为sin∈[－1，1]，所以2sin∈[－2，2]，所以f（x）的最大值为2，故D错误.故选A、C. 6.BC　A选项，f（x）＝7cos（ωx－）（ω＞0）的最小正周期为，则ω＝＝4，错误；B选项，由A可知，函数解析式为f（x）＝7cos（4x－），当x＝－时，f（－）＝7cos（4×（－）－）＝7cos（－π）＝－7，故x＝－是函数图象的一条对称轴，正确；C选项，f（）＝7cos（4×－）＝7cos，f（）＝7cos（4×－）＝7cos，因为在x∈（0，π）时，函数单调递减，则f（）＞f（），正确；D选项，令4x－＝＋kπ， 则x＝＋，则函数图象的对称中心为（＋，0），k∈Z，错误.故选B、C. 7.（－，0），k∈Z　解析：由题意，ω＝＝＝2，则f（x）＝sin（2x＋），令2x＋＝kπ（k∈Z），得x＝－（k∈Z）.所以该函数图象的对称中心为（－，0）（k∈Z）. 8.　解析：令t＝sin x，则y＝1－t2＋t（0≤t≤1），对称轴为t＝，所以当t＝时，函数取得最大值，即sin x＝，得x＝. 9.　解析：因为f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，所以f（x）取最大值f（），所以ω－＝2kπ（k∈Z），所以ω＝8k＋（k∈Z），因为ω＞0，所以当k＝0时，ω取最小值为. 10.解：（1）因为图象相邻两个最高点的距离为π，故周期为π， 所以＝π，故ω＝2. 又图象关于直线x＝对称，故2×＋φ＝＋kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋kπ，k∈Z，因为－≤φ＜，故令k＝0得φ＝－. （2）由（1）知f（x）＝sin（2x－）， 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 故函数f（x）的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］（k∈Z）. 11.B　根据f（x）的最小正周期为π，故可得T＝＝π，解得ω＝2.又其关于（，0）中心对称，故可得sin（＋φ）＝0，又｜φ｜∈（0，），故可得φ＝－.则f（x）＝sin（2x－）.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得x∈［kπ－，kπ＋π］（k∈Z）.故f（x）在［－，π］上单调递增.又f（2）＝f（π－2），且0，π－2，1都在区间［－，π］中，且0＜π－2＜1，故可得f（0）＜f（2）＜f（1），故选B. 12.ACD　由题意知，函数f（x）＝作出图象如图所示，最小正周期为2π. 当2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z时，f（x）＝cos x，当2kπ＋＜x≤2kπ＋，k∈Z时，f（x）＝sin x，所以f（x）图象的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.当x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋，k∈Z时，f（x）取得最小值－1.当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z时，f（x）＞0，且f（x）的最大值为f（＋2kπ）＝，可得0＜f（x）≤.故正确的选项是A、C、D. 13.（0，］　解析：因为函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以×＝，解得ω＝2，即f（x）＝sin（2x－），因为f（x）在（－m，m）上单调递增，则m＞0，所以函数f（x）＝sin（2x－）的单调递增区间包含0，令－≤2x－≤，得－≤x≤，所以（－m，m）⊆［－，］，所以故m的取值范围为（0，］. 14.解：令t＝sin x，则－1≤t≤1. f（x）＝0有实数解，即t2－t－a＝0在[－1，1]内有实数解. 则a＝t2－t，t∈[－1，1]， 设h（t）＝t2－t＝（t－）2－，t∈[－1，1]， 当t＝时，h（t）min＝－， 当t＝－1时，h（t）max＝2， ∴a的取值范围是［－，2］. 15.解：（1）因为f（x）＝cos（2x－），所以函数f（x）的最小正周期T＝＝π， 由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 故函数f（x）的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］（k∈Z）. （2）由（1）可知：f（x）＝cos（2x－）在区间［－，］上单调递增，在区间［，］上单调递减，又f（－）＝0，f（）＝，f（）＝－1， 所以当a∈[0，）时，方程f（x）＝a恰有两个不同的实根.所以实数a的取值范围为[0，）. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三课时　正弦、余弦函数性质的综合问题 1.（2025·朝阳期中）函数y＝2sin（2x＋）的图象的一条对称轴是（　　） A.x＝－ B.x＝0 C.x＝ D.x＝ 2.（2025·嘉兴期末）函数y＝3cos（2x－）的一个对称中心是（　　） A.（，0） B.（，0） C.（，0） D.（，0） 3.已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）对任意x都有f（＋x）＝f（－x），则f（）＝（　　） A.3或0 B.－3或0 C.0 D.－3或3 4.（2025·南昌期末）已知y＝（cos x－a）2－1，当cos x＝－1时，y取最大值，当cos x＝a时，y取最小值，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－1] B.[－1，0] C.[0，1] D.[1，＋∞） 5.〔多选〕（2025·大理期末）设函数f（x）＝2sin（2x＋），则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的最小正周期为π B.f（x）的图象关于直线x＝对称 C.f（x）的一个零点为x＝－ D.f（x）的最大值为1 6.〔多选〕（2025·太原期中）已知函数f（x）＝7cos（ωx－）（ω＞0）的最小正周期为，则（　　） A.ω＝2 B.直线x＝－是f（x）图象的一条对称轴 C.f（）＞f（） D.函数f（x）图象的对称中心为（＋，0）（k∈Z） 7.已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数图象的对称中心为　　　　. 8.（2025·达州期末）已知函数f（x）＝1－sin2x＋sin x（0≤x≤），当x＝　　　　时，f（x）取得最大值. 9.设函数f（x）＝cos（ωx－）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为　　　　. 10.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－≤φ＜）的图象关于直线x＝对称，且图象相邻两个最高点的距离为π. （1）求ω和φ的值； （2）求f（x）的单调递增区间. 11.（2025·眉山期末）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜｜φ｜＜）的最小正周期为π，且关于（，0）中心对称，则下列结论正确的是（　　） A.f（1）＜f（0）＜f（2） B.f（0）＜f（2）＜f（1） C.f（2）＜f（0）＜f（1） D.f（2）＜f（1）＜f（0） 12.〔多选〕对a，b∈R，定义min{a，b}＝若函数f（x）＝min{sin x，cos x}，则下列四个结论中正确的有（　　） A.f（x）是以2π为周期的函数 B.当且仅当x＝2kπ＋（k∈Z）时，f（x）取得最小值－1 C.f（x）图象的对称轴为直线x＝＋kπ（k∈Z） D.当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤ 13.（2025·齐齐哈尔期末）已知函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若f（x）在（－m，m）上单调递增，则正数m的取值范围是　　　　. 14.已知函数f（x）＝－sin2x＋sin x＋a.当f（x）＝0有实数解时，求a的取值范围. 15.已知函数f（x）＝cos（2x－），x∈R. （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）当x∈［－，］时，方程f（x）＝a恰有两个不同的实数根，求实数a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $