4.5.2 用二分法求方程的近似解(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

4.5.2　用二分法求方程的近似解 1.用二分法求函数y＝f（x）在区间[2，4]上的唯一零点的近似值时，验证f（2）f（4）＜0，取区间（2，4）的中点x1＝＝3，计算得f（2）f（x1）＜0，则此时零点x0所在的区间是（　　） A.（2，4） B.（2，3） C.（3，4） D.无法确定 2.用二分法求如图所示的函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是（　　） A.x1 B.x2 C.x3 D.x4 3.用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是（　　） A.｜a－b｜＜0.1 B.｜a－b｜＜0.001 C.｜a－b｜＞0.001 D.｜a－b｜＝0.001 4.若函数f（x）在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f（a）·f（b）＜0，f（a）·f＞0，则（　　） A.f（x）在上有零点 B.f（x）在上有零点 C.f（x）在上无零点 D.f（x）在上无零点 5.用二分法求方程x－2lg ＝3的近似解，可以取的一个区间是（　　） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4） 6.用二分法求方程的近似解，求得f（x）＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为（　　） A.1.6 B.1.7 C.1.8 D.1.9 7.〔多选〕在用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值可以为（　　） A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.6 8.函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是　　　　. 9.在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称　　　　次就可以发现假币. 10.已知函数f（x）＝3x＋，方程f（x）＝0在（－1，＋∞）内是否有根？若有根，有几个？若函数有零点，请写出函数零点的大致区间. 11.用二分法求函数f（x）＝ln（x＋1）＋x－1在区间（0，1）上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 12.〔多选〕利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表. x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3 y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 x －0.6 －0.4 －0.2 0 … y＝2x 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1 … y＝x2 0.36 0.16 0.04 0 … 若方程2x＝x2有一个根位于区间（a，a＋0.4）内，则a可以取（　　） A.－1.4 B.－1 C.－0.8 D.－0.6 13.某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解（精确度为0.1）”时，设f（x）＝lg x＋x－2，算得f（1）＜0，f（2）＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是　　　　. 14.已知函数f（x）＝x3－x2＋1. （1）证明方程f（x）＝0在区间（0，2）内有实数解； （2）使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f（x）＝0（x∈[0，2]）的实数解x0在哪个较小的区间内. 15.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间（a，b）内，当｜a－b｜＜ε（ε为精确度）时，求函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.2　用二分法求方程的近似解 1.B 2.C　能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f（a）f（b）＜0.而x3左右两侧的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件. 3.B　根据二分法的步骤知当｜b－a｜小于精确度ε时，便可结束计算. 4.B　由f（a）·f（b）＜0，f（a）·f＞0，可知f·f（b）＜0，根据函数零点存在定理可知f（x）在上有零点. 5.C　令f（x）＝x－2lg －3，则f（2）＝2－2lg －3＝2－2×lg 2－3＝lg 2－1＜0，f（3）＝3－3lg －3＝lg 3＞0，∴用二分法求方程x－2lg ＝3的近似解，可以取的一个区间是（2，3）. 6.C　由表格可得，函数f（x）＝x3＋2x－9的零点在区间（1.75，1.812 5）内.结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为1.8.故选C. 7.ABC　已知f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，则函数f（x）的零点的初始区间为（0.64，0.72），又因为0.68＝×（0.64＋0.72），且f（0.68）＜0，所以零点在区间（0.68，0.72）上，｜0.72－0.68｜＝0.04＜0.05，所以0.68，0.7，0.72都符合. 8.a2＝4b　解析：∵函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，∴函数f（x）＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b. 9.3　解析：将12枚硬币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚硬币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚硬币里面；将这3枚硬币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则轻的那一枚即是假币，依据上述分析，最多称3次就可以发现这枚假币. 10.解：方程f（x）＝0在（－1，＋∞）内有根， f（x）＝3x＋＝3x＋1－， 当x∈（－1，＋∞）时，函数f（x）为增函数， 所以若方程f（x）＝0有根，则最多有一个根. 因为f（0）＝－1＜0，f（1）＝＞0， 所以方程f（x）＝0有一个根，函数f（x）在区间（0，1）上有唯一零点. 11.C　开区间（0，1）的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确度为0.01，所以＜0.01.又n∈N*，所以n≥7且n∈N*，故所需二分区间的次数最少为7，故选C. 12.BC　令f（x）＝2x－x2，则f（－1.6）＜0，f（－1.4）＜0，f（－1.2）＜0，f（－1）＜0，f（－0.8）＜0，f（－0.6）＞0，f（－0.4）＞0，f（－0.2）＞0，f（0）＞0，f（－1.4）·f（－1）＞0，f（－1）f（－0.6）＜0，f（－0.8）f（－0.4）＜0，f（－0.6）·f（－0.2）＞0，故a可能取－1或－0.8. 13.1.5，1.75，1.875，1.812 5 解析：第一次用二分法计算得区间（1.5，2），第二次得区间（1.75，2），第三次得区间（1.75，1.875），第四次得区间（1.75，1.812 5）. 14.解：（1）证明：因为f（0）＝1＞0，f（2）＝－＜0，所以f（0）·f（2）＜0，由函数零点存在定理可得方程f（x）＝0在区间（0，2）内有实数解. （2）取x1＝×（0＋2）＝1，得f（1）＝＞0， 由此可得f（1）·f（2）＜0，下一个有解区间为（1，2）. 再取x2＝×（1＋2）＝，得f＝－＜0， 所以f（1）·f＜0，下一个有解区间为. 再取x3＝×＝，得f＝＞0， 所以f·f＜0，下一个有解区间为. 综上所述，所求的实数解x0在区间内. 15.解：真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝＜， 所以误差的取值范围为. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $