4.5.1 函数的零点与方程的解(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

4.5.1　函数的零点与方程的解 1.函数f（x）＝lg ｜x｜的零点是（　　） A.（1，0） B.（1，0）和（－1，0） C.1 D.1和－1 2.函数f（x）＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间（　　） A.（5，6） B.（3，4） C.（2，3） D.（1，2） 3.已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下x，f（x）的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f（x） 15 10 －7 6 －4 －5 则函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.已知f（x）为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于（　　） A.0 B.1 C.－1 D.不能确定 5.已知函数f（x）在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f（a）f（b）＜0，则方程f（x）＝0在区间[a，b]上（　　） A.至少有一实数解 B.至多有一实数解 C.没有实数解 D.必有唯一的实数解 6.〔多选〕下列函数存在零点的是（　　） A.y＝x－ B.y＝ C.y＝logax2（a＞0且a≠1） D.y＝ 7.已知函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是　　　　. 8.已知函数f（x）＝则函数f（x）的零点为　　　　. 9.方程－＝0的解的个数为　　　　. 10.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点： （1）f（x）＝－x2＋2x－1； （2）f（x）＝x4－x2； （3）f（x）＝4x＋5； （4）f（x）＝log3（x＋1）. 11.已知函数f（x）＝若k＞0，则函数y＝｜f（x）｜－1的零点个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 12.〔多选〕已知定义域和值域均为[－a，a]（a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A.方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解 B.方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解 C.方程f[f（x）]＝0有且仅有九个解 D.方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解 13.已知函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是　　　　.（用“＜”连接） 14.已知函数f（x）＝x2＋ax＋b的零点是－1和2，判断函数g（x）＝ax3＋bx＋4的零点所在的大致区间. 15.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋＋m. （1）确定实数m的值及函数f（x）在R上的解析式； （2）求函数y＝f（x）的零点. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5　函数的应用（二） 4.5.1　函数的零点与方程的解 1.D　函数f（x）的定义域为{x｜x≠0}，令f（x）＝0，则lg ｜x｜＝0，解得x＝±1，即函数f（x）的零点是1和－1. 2.B　f（3）＝log33－8＋2×3＝－1＜0，f（4）＝log34－8＋2×4＝log34＞0.又因为f（x）在（0，＋∞）上为增函数，所以其零点一定位于区间（3，4）. 3.B　由题表可知f（2）·f（3）＜0，f（3）·f（4）＜0，f（4）·f（5）＜0，又函数f（x）的图象是连续不断的，故f（x）在区间[1，6]上至少有3个零点. 4.A　因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f（x）有三个零点，则其和必为0. 5.D　由题意知函数f（x）为连续函数，∵f（a）·f（b）＜0，∴函数f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，又∵函数f（x）在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f（x）在区间[a，b]上至多有一个零点，故函数f（x）在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f（x）＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数解. 6.ABC　令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；选项B中函数的零点为－和1；只有选项D中函数无零点. 7.－，－　解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2，3，∴即a＝5，b＝－6，∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－，－，即为函数g（x）的零点. 8.0　解析：当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝（舍）.综上所述，函数f（x）的零点为0. 9.2　解析：方程－＝0的解的个数， 即函数y＝和函数y＝的图象的交点个数，如图所示.数形结合可得，函数y＝和函数y＝的图象的交点个数为2，故方程－＝0的解的个数为2. 10.解：（1）令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1， 所以函数f（x）＝－x2＋2x－1的零点为1. （2）令f（x）＝x2（x－1）（x＋1）＝0， 解得x＝0或x＝1或x＝－1， 故函数 f（x）＝x4－x2的零点为0，－1和1. （3）令4x＋5＝0，则4x＝－5， 因为4x＞0，－5＜0，所以方程4x＋5＝0无实数解. 所以函数f（x）＝4x＋5不存在零点. （4）令log3（x＋1）＝0，解得x＝0， 所以函数f（x）＝log3（x＋1）的零点为0. 11.D　法一　令y＝｜f（x）｜－1＝0，得｜f（x）｜＝1，即f（x）＝1或f（x）＝－1.当x＞0时，由ln x＝1或ln x＝－1，得x＝e或x＝；当x≤0时，由kx＋2＝1或kx＋2＝－1，得x＝－＜0或x＝－＜0.则函数y＝｜f（x）｜－1的零点个数是4. 法二　y＝f（x）的图象如图1所示，故y＝｜f（x）｜的图象如图2所示.令y＝｜f（x）｜－1＝0，即｜f（x）｜＝1，y＝｜f（x）｜的图象与y＝1有4个交点，故函数y＝｜f（x）｜－1的零点个数是4. 　　 12.AD　设f（x）的零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3.由f[g（x）]＝0，得g（x）＝x1或g（x）＝x2或g（x）＝x3.由g（x）的图象可知满足条件的x的值有三个，故方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解，故A正确；同理，f[f（x）]＝0最多有九个解，故C错误；因为g（x）＝0有一个解，又g（x）每个对应的值只有一个相应的解，故g[g（x）]＝0有且仅有一个解，而g[f（x）]＝0最多有三个解，故B错误，D正确. 13.a＜b＜c　解析：画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，观察图象可知，函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c. 14.解：∵－1和2是函数f（x）＝x2＋ax＋b的零点， ∴－1和2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数解， ∴－1＋2＝－a，－1×2＝b，即a＝－1，b＝－2. ∴g（x）＝－x3－2x＋4. ∵g（1）＝1，g（2）＝－8，g（1）g（2）＜0， ∴g（x）在区间（1，2）内有零点. 又∵g（x）在R上是减函数， ∴g（x）只有一个零点. 综上可知，函数g（x）的零点所在的大致区间为（1，2）. 15.解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数， 所以f（0）＝4＋m＝0，m＝－4. 所以当x≥0时，f（x）＝2x＋－4. 设x＜0，则－x＞0， 所以f（－x）＝2－x＋－4＝3×2x＋－4. 因为f（－x）＝－f（x）， 所以当x＜0时，f（x）＝－3×2x－＋4. 所以f（x）＝ （2）当x≥0时，f（x）＝2x＋－4， 令f（x）＝0，得2x＋－4＝0，即（2x）2－4×2x＋3＝0， 解得2x＝1或2x＝3，所以x1＝0，x2＝log23. 因为f（x）是定义在R上的奇函数， 所以当x＜0时，方程－3×2x－＋4＝0的根为x＝－log23， 所以方程f（x）＝0的根为x1＝0，x2＝log23，x3＝－log23， 即函数y＝f（x）的零点是0，log23，－log23. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $