4.4.3 不同函数增长的差异(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

4.4.3　不同函数增长的差异 1.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x的函数关系较为近似的是（　　） A.y＝0.2x B.y＝（x2＋2x） C.y＝ D.y＝0.2＋log16x 2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是（　　） 3.某企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元.从今年起，计划每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年，那么第x年企业付给工人的工资总额y（万元）表示成x的函数，其表达式为（　　） A.y＝（3x＋5）1.1x＋2.4 B.y＝8×1.1x＋2.4x C.y＝（3x＋8）1.1x＋2.4 D.y＝（3x＋5）1.1x－1＋2.4 4.y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有（　　） A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y1＞y3 C.y1＞y3＞y2 D.y2＞y3＞y1 5.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.函数y＝log3x增长的速度越来越慢 B.在指数函数y＝ax（a＞1）中，底数a越大，其增长速度越快 C.存在一个实数m，使得当x＞m时，10x＞10100 D.在区间（0，＋∞）内，对任意的x，总有log2 x＜2x＜2x成立 6.〔多选〕下面对函数f（x）＝lox与g（x）＝在区间（0，＋∞）上的衰减情况的说法中正确的有（　　） A.f（x）的衰减速度越来越慢 B.f（x）的衰减速度越来越快 C.g（x）的衰减速度越来越慢 D.g（x）的衰减速度越来越快 7.函数y＝x2与函数y＝xln x在区间（1，＋∞）上增长较快的一个是　　　　. 8.今有一组实验数据如下： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律：①v＝log2t；②v＝lot；③v＝；④v＝2t－2.则其中最接近的一个是　　　　.（填上代表函数的序号） 9.生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位时间内进水量相同）时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应　　　　；B对应　　　　；C对应　　　　；D对应　　　　. 10.1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据： 行星编号（x） 1（金星） 2（地球） 3（火星） 4（谷神星） 5（木星） 6（土星） 离太阳的距离（y） 0.7 1.0 1.6 5.21 10.01 （1）为了描述行星离太阳的距离y与行星编号x之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）.①y＝ax＋b；②y＝a×2x＋b；③y＝alog2x＋b. （2）根据你的选择，依表中前两组数据求出函数解析式，并用最后两组数据检验模型的吻合情况（误差小于0.2的为吻合）；请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离. 11.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法中错误的是（　　） A.投资3天以内（含3天），采用方案一 B.投资4天，不采用方案三 C.投资6天，采用方案一 D.投资12天，采用方案二 12.〔多选〕已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（　　） A.随着x的逐渐增大，y1增长速度越来越快于y2 B.随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1 C.当x∈（0，＋∞）时，y1增长速度一直快于y3 D.当x∈（0，＋∞）时，y2增长速度有时快于y1 13.如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数y＝3x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝9x的图象于点C.若AC平行于y轴，则点A的坐标是　　　　. 14.科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标，准备制订一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%. （1）现有三个奖励函数模型：①f（x）＝0.03x＋8，②f（x）＝0.8x＋200，③f（x）＝100log20x＋50，x∈[3 000，9 000]，试分析这三个函数模型是否符合公司要求； （2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？ 15.如图是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：y＝at（t≥0，a＞0且a≠1）的图象.有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于；②每月减少的有害物质质量都相等；③若残留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中所有正确叙述的序号是　　　　. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4.3　不同函数增长的差异 1.C　将x＝1，2，3，y＝0.2，0.4，0.76分别代入验算. 2.C　小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A；因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D；后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B. 3.A　第一年企业付给工人的工资总额为8×1.1＋3×0.8（万元），第二年企业付给工人的工资总额为（8＋3）×1.12＋3×0.8（万元），…，以此类推，第x年企业付给工人的工资总额应为y＝[8＋3（x－1）]×1.1x＋2.4＝（3x＋5）1.1x＋2.4（万元）. 4.B　由题意可知，三个函数在区间（2，4）上都是单调递增的，所以4＜y1＜16，4＜y2＜16，1＜y3＜2，所以y3最小，由函数y1，y2的图象可知，在区间（2，4）上，函数y2的图象恒在函数y1的图象上方，所以y2＞y1＞y3. 5.ABC　对于A，由对数函数y＝log3x图象可知，y的增长速度越来越慢，A正确；对于B，因指数函数y＝ax（a＞1）为增函数且底数越大增长的速度越快，故B正确；对于C，要使10x＞10100，两边取对数x＞100，即存在m＝100，使得x＞m时，10x＞10100成立，故C正确；对于D，由三类函数在直角同坐标系中的图象可知，D不正确.故选A、B、C. 6.AC　在平面直角坐标系中画出y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图所示.由图象可知，f（x）的衰减速度越来越慢，g（x）的衰减速度也越来越慢.故选A、C. 7.y＝x2　解析：当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快. 8.③　解析：对于①，当t＝4时，v＝2，可知①不适合，应排除.对于②，当t＝4时，v＝－2，可知②不适合，应排除.对于④，当t＝1.99时，v＝1.98；当t＝3.0时，v＝4.0；当t＝4.0时，v＝6.0；当t＝5.1时，v＝8.2；当t＝6.12时，v＝10.24.各组数据均有较大差异，应排除.③最接近. 9.（4）　（1）　（3）　（2）　解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与（4）对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与（1）对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器水高度变化快，与（3）对应，D容器水高度变化慢，与（2）对应. 10.解：（1）散点图如图所示， 根据散点图可知，模型②符合题意. （2）将（1，0.7），（2，1），分别代入y＝a×2x＋b， 得解得a＝0.15，b＝0.4， 所以y＝0.15×2x＋0.4（x∈N*）. 当x＝5时，y＝0.15×25＋0.4＝5.2，误差为5.21－5.2＝0.01＜0.2，吻合， 当x＝6时，y＝0.15×26＋0.4＝10，误差为10.01－10＝0.01＜0.2，吻合， 所以模型与数据吻合. 当x＝4时，y＝0.15×24＋0.4＝2.8，即谷神星距太阳的距离为2.8 AU. 11.D　若投资3天以内（含3天），由图易知方案一每天的回报最大，故采用方案一；若投资4天，方案三回报最小，故不采用；若投资6天，方案一为40×6＝240（元），方案二为10＋20＋…＋60＝210（元），故采用方案一；若投资12天，易知采用方案三回报最大. 12.BD　对于y1＝x2，y2＝2x，从负无穷开始，y1大于y2，然后y2大于y1，再然后y1再次大于y2，最后y2大于y1，此后y1再也追不上y2，故随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1，A错误，B、D正确；对于y1＝x2，y3＝x，由于y3＝x的增长速度是不变的，当x∈（0，1）时，y3大于y1，当x∈（1，＋∞）时，y1大于y3，y3再也追不上y1，其中y1增长速度有时快于y3，C错误.故选B、D. 13.（log32，2）　解析：由题意设A（n，3n），B（m，3m），由9n＝＝3m得m＝2n，解得n＝，则C，A.又因为A，B，O三点共线，设直线AB对应的解析式为y＝kx（k＞0），则解得m＝2log32，所以n＝log32.所以点A的坐标为（log32，2）. 14.解：（1）由题意符合公司要求的函数f（x）在[3 000，9 000]上单调递增，且∀x∈[3 000，9 000]，恒有f（x）≥100且f（x）≤. 对于①，函数f（x）＝0.03x＋8，当x＝3 000时，f（3 000）＝98＜100，不符合要求； 对于②，函数f（x）＝0.8x＋200为减函数，不符合要求； 对于③，函数f（x）＝100log20x＋50在[3 000，9 000]上单调递增， 且当x＝3 000时，f（3 000）＝100×log203 000＋50＞100， 又因为f（x）≤f（9 000）＝100log209 000＋50＜100·log20160 000＋50＝450，而≥＝600， 所以当x∈[3 000，9 000]时，f（x）max≤，所以f（x）≤恒成立. 因此，f（x）＝100log20x＋50为满足条件的函数模型. （2）由100log20x＋50≥350得log20x≥3，所以x≥8 000， 所以要使奖金金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到8 000万元. 15.①③　解析：根据题意，函数的图象经过点，故函数解析式为y＝.当t＝4时，y＝＜，故①正确；当t＝1时，y＝，减少了，当t＝2时，y＝，减少了，每月减少的有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝，，，解得t1＝lo，t2＝lo，t3＝lo，则t1＋t2＝t3，故③正确. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $