4.4.2 第2课时 对数函数的图象和性质的应用(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第二课时　对数函数的图象和性质的应用 1.已知函数f（x）＝5－log3x，x∈（3，27]，则f（x）的值域是（　　） A.（2，4] B.[2，4） C.[－4，4） D.（6，9] 2.函数y＝lg ｜x｜是（　　） A.偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增 B.偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递减 C.奇函数，且在区间（0，＋∞）上单调递增 D.奇函数，且在区间（0，＋∞）上单调递减 3.函数f（x）＝log2（1－x）的图象为（　　） 4.已知函数y＝log2（x2－2kx＋k）的值域为[WT][WTHZ]R[WT][WTBX]，则k的取值范围是（　　） A.0＜k＜1 B.0≤k＜1 C.k≤0或k≥1 D.k＝0或k≥1 5.函数f（x）＝lg（＋x）的奇偶性为（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 6.〔多选〕已知函数f（x）＝（log2x）2－log2x2－3，则下列说法正确的是（　　） A.f（4）＝－3 B.函数y＝f（x）的图象与x轴有两个交点 C.函数y＝f（x）的最小值为－4 D.函数y＝f（x）的最大值为4 7.函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，则下列结论正确的是　　　　（填写序号）. ①f（x2）＝2f（x）；②f（2x）＝f（x）＋f（2）；③f＝f（x）－f（2）；④f（2x）＝2f（x）. 8.设a＞1，函数f（x）＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝　　　　. 9.函数f（x）＝log2·lo（2x）的最小值为　　　　. 10.已知函数f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1）. （1）求函数f（x）的定义域； （2）若函数f（x）的最小值为－2，求实数a的值. 11.〔多选〕任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f＞恒成立，则f（x）称为[a，b]上的凸函数，下列函数中在其定义域上为凸函数的是（　　） A.y＝2x B.y＝log2x C.y＝－x2 D.y＝ 12.若函数f（x）＝｜log2x｜的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则b－a的最小值为　　　　. 13.已知函数f（x）＝lo 的图象关于原点对称，其中a为常数，则a＝　　　　. 14.已知函数f（x）＝log2（1＋x2）. 求证：（1）函数f（x）是偶函数； （2）函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增. 15.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax（a＞1）的图象上，求实数a的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　对数函数的图象和性质的应用 1.B　f（x）＝5－log3x在x∈（3，27]上单调递减，所以f（27）≤f（x）＜f（3），即2≤f（x）＜4. 2.B　易知函数y＝lg ｜x｜是偶函数.当x＞0时，y＝lg ｜x｜＝lg x，所以在区间（0，＋∞）上单调递增.由偶函数的性质知，函数在区间（－∞，0）上单调递减. 3.A　函数的定义域为（－∞，1），排除B、D项；函数f（x）＝log2（1－x）为减函数，排除C项，故A项正确. 4.C　令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2（x2－2kx＋k）的值域为[WT][WTHZ]R[WT][WTBX]，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1. 5.A　易知该函数的定义域为R，又f（x）＋f（－x）＝lg（＋x）＋lg（－x）＝lg[（＋x）·（－x）]＝lg 1＝0，∴f（x）＝－f（－x），∴f（x）为奇函数. 6.ABC　A正确，f（4）＝（log24）2－log242－3＝－3；B正确，令f（x）＝0，得（log2x＋1）（log2x－3）＝0，解得x＝或x＝8，即f（x）的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f（x）＝（log2x－1）2－4（x＞0），所以当log2x＝1，即x＝2时，f（x）取最小值－4；D错误，f（x）没有最大值. 7.①②③　解析：因为函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，所以f（x）＝logax（a＞0且a≠1）.所以f（x2）＝logax2＝2logax＝2f（x），f（2x）＝loga2x＝loga2＋logax＝f（x）＋f（2），f＝logax＝logax－loga2＝f（x）－f（2）.所以①②③正确. 8.4　解析：∵a＞1，∴f（x）＝logax在[a，2a]上单调递增，∴loga（2a）－logaa＝，即loga2＝，∴＝2，a＝4. 9.－　解析：由题意得f（x）＝log2x·（2＋2log2x）＝（log2x）2＋log2x＝－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时，等号成立，因此函数f（x）的最小值为－. 10.解：（1）由题意得解得－1＜x＜3.所以f（x）的定义域为（－1，3）. （2）f（x）＝loga[（1＋x）（3－x）]＝loga（－x2＋2x＋3）＝loga[－（x－1）2＋4]，－1＜x＜3， 若0＜a＜1，则当x＝1时，f（x）有最小值loga4， 所以loga4＝－2，即a－2＝4.又0＜a＜1，所以a＝. 若a＞1，则当x＝1时，f（x）有最大值loga4，f（x）无最小值. 综上可知，a＝. 11.BCD　由题意知，若函数f（x）为凸函数，则在函数y＝f（x）的图象上任取两个不同的点A，B，线段AB（原点除外）总在f（x）图象的下方，分别作出四个函数的图象，如图所示.观察各函数在定义域上的图象，知y＝log2x，y＝－x2，y＝是凸函数，故选B、C、D. 12.　解析：根据题意，画出函数f（x）的图象如图，令｜log2x｜＝2可得x＝或x＝4.由图象可知，当值域为[0，2]时，定义域的最小区间是，则b－a的最小值为1－＝. 13.－1　解析：∵函数f（x）的图象关于原点对称，∴函数f（x）的定义域关于原点对称，∵＞0，∴（x－1）（1－ax）＞0，令（x－1）（1－ax）＝0，得x1＝1，x2＝，∴＝－1，a＝－1，经验证，a＝－1满足题意. 14.证明：（1）函数f（x）的定义域是R， f（－x）＝log2[1＋（－x）2]＝log2（1＋x2）＝f（x）， 所以函数f（x）是偶函数. （2）∀x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝log2（1＋）－log2（1＋）＝log2. 由于0＜x1＜x2，则0＜＜，0＜1＋＜1＋， 所以0＜＜1，所以log2＜0， 所以f（x1）＜f（x2）， 所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增. 15.解：设B（x，2logax），∵BC平行于x轴，∴C（x'，2logax），即logax'＝2logax，∴x'＝x2， ∴正方形ABCD的边长｜BC｜＝x2－x＝2，解得x＝2. 由已知得AB垂直于x轴，∴A（x，3logax）， 正方形ABCD边长｜AB｜＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a＝. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $