4.4.1 对数函数的概念(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

4.4.1　对数函数的概念 1.函数f（x）＝lg（x－1）＋的定义域为 （　　） A.（1，4] B.（1，4） C.[1，4] D.[1，4） 2.若函数f（x）＝loga（x＋1）（a＞0，a≠1）的图象过点（7，3），则a＝（　　） A. B.2 C. D. 3.下列函数为同一个函数的是（　　） A.y＝log3x2与y＝2log3x B.y＝lg 10x与y＝10lg x C.y＝log3x2与y＝2log3｜x｜ D.y＝lg x与y＝ln x 4.设函数f（x）＝则f（f（10））＝（　　） A.lg 101 B.1 C.2 D.0 5.我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式C＝W·log2，其中W是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（瓦），N是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比.根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，则λ的值大约为（参考数据：100.2≈1.58）（　　） A.1 559 B.3 943 C.1 579 D.2 512 6.〔多选〕函数y＝log（a－2）[（5－a）x]的定义域为{x｜x＞0}，则实数a的值可能是（　　） A. B.3 C.4 D.5 7.函数f（x）＝（m－1）logax（a＞0，且a≠1）是对数函数，且过点（4，2），则f（m）＝　　　　. 8.设f（x）是对数函数，且f（）＝－，那么f（）＝　　　　. 9.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为　　　　万元. 10.设函数f（x）＝lg ，a∈R，若当x∈（－∞，1）时，f（x）都有意义，求实数a的取值范围. 11.设函数f（u）＝log2u的定义域为（0，1），则函数f（ex）的定义域为（　　） A.（0，1） B.（－1，0） C.（0，＋∞） D.（－∞，0） 12.〔多选〕下列点中，既在指数函数y＝ax的图象上，也在对数函数y＝logax的图象上的点是（　　） A.（1，1） B.（2，2） C.（2，4） D. 13.已知函数y＝lg（x2＋2x＋a）的定义域为R，则实数a的取值范围为　　　　. 14.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为V（m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q（Q＞0），研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1. （1）求出V关于Q的函数解析式； （2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数. 15.国际视力表值（又叫小数视力值，用V表示，范围是[0.1，1.5]）和我国现行视力表值（又叫对数视力值，由缪天荣创立，用L表示，范围是[4.0，5.2]）的换算关系式为L＝5.0＋lg V. （1）请根据此关系式将下面视力对照表补充完整； V 1.5 ② 0.4 ④ L ① 5.0 ③ 4.0 （2）甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值.（所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4　对数函数 4.4.1　对数函数的概念 1.A　由题意得所以1＜x≤4. 2.B　由题意得3＝loga（7＋1），可得a3＝8，则a＝2.故选B. 3.C　由函数的三要素可知，只有C成立. 4.C　f（f（10））＝f（lg 10）＝f（1）＝12＋1＝2. 5.C　由题意得 ≈60%，则≈1.6，1＋λ≈1001.6＝103.2＝103×100.2≈1 580，∴λ≈1 579. 6.AC　由题意可知，即因此2＜a＜5且a≠3.故选A、C. 7.1　解析：由题意m＝2.又2＝loga4，故a＝2，因此f（x）＝log2x.所以f（m）＝f（2）＝log22＝1. 8.－　解析：设f（x）＝logax（a＞0且a≠1）.由f（）＝－，解得a＝，∴f（x）＝lox.∴f（）＝lo＝－. 9.128　解析：由题意得5＝2log4x－2，即7＝log2x，得x＝128. 10.解：f（x）＝lg ＝lg（4x＋2x＋a）， 依题意，4x＋2x＋a＞0在x∈（－∞，1）上恒成立， 即a＞－（4x＋2x）对任意x∈（－∞，1）都成立， 令t＝2x，x∈（－∞，1），则t∈（0，2）， 易知y＝－t2－t＝－＋在（0，2）上单调递减， ∴－t2－t∈（－6，0），∴a≥0. 11.D　函数f（u）的定义域为（0，1），即u∈（0，1），所以0＜ex＜1，解得x∈（－∞，0），故函数f（ex）的定义域为（－∞，0）. 12.BD　对于A，y＝ax和y＝logax的图象不过点（1，1），不符合题意；对于B，若点（2，2）在函数y＝ax图象上，解得a＝，此时对数函数y＝logx也过点（2，2），所以符合题意；对于C，若点（2，4）在函数y＝ax图象上，解得a＝2，此时对数函数y＝log2x不过点（2，4），不符合题意；对于D，若点在函数y＝ax图象上，解得a＝，此时对数函数y＝lox也过点，所以符合题意.故选B、D. 13.（1，＋∞）　解析：因为y＝lg（x2＋2x＋a）的定义域为R，所以x2＋2x＋a＞0恒成立，所以Δ＝4－4a＜0，所以a＞1.故实数a的取值范围是（1，＋∞）. 14.解：（1）设V＝k·log3（Q＞0）， 因为当Q＝900时，V＝1， 所以1＝k·log3， 所以k＝，所以V关于Q的函数解析式为V＝log3（Q＞0）. （2）令V＝1.5，则1.5＝log3，所以Q＝2 700， 即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位. 15.解：（1）因为5.0＋lg 1.5＝5.0＋lg＝5.0＋lg＝5.0＋lg 3－lg 2≈5.0＋0.477 1－0.301 0≈5.2，所以①应填5.2； 因为5.0＝5.0＋lg V，所以V＝1，②处应填1.0； 因为5.0＋lg 0.4＝5.0＋lg＝5.0＋lg 4－1＝5.0＋2lg 2－1≈5.0＋2×0.301 0－1≈4.6，所以③处应填4.6； 因为4.0＝5.0＋lg V，所以lg V＝－1.所以V＝0.1.所以④处应填0.1. 视力对照表补充完整如表： V 1.5 1.0 0.4 0.1 L 5.2 5.0 4.6 4.0 （2）先将甲的对数视力值换算成小数视力值， 则有4.5＝5.0＋lg V甲，所以V甲＝10－0.5， 则V乙＝2×10－0.5. 所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg（2×10－0.5）＝5.0＋lg 2－0.5≈5.0＋0.301 0－0.5≈4.8. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $