3.2.2 第2课时 函数奇偶性的应用(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第二课时　函数奇偶性的应用 1.D　对于A，f（x）＝－｜x｜，x∈R，f（－x）＝－｜－x｜＝－｜x｜＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝x，在（－∞，0）上单调递增，不符合题意；对于B，f（x）＝，定义域为{x｜x≠0}，f（－x）＝－＝－f（x），为奇函数，不符合题意；对于C，f（x）＝1－x2，x∈R，f（－x）＝1－（－x）2＝1－x2＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝1－x2，在（－∞，0）上单调递增，不符合题意；对于D，f（x）＝－，定义域为{x｜x≠0}，f（－x）＝－＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝，在（－∞，0）上单调递减，符合题意.故选D. 2.C　由已知可得g（－1）＝f（－1）＝－f（1）＝－（1－2）＝1. 3.A　当x＜0时，－x＞0，∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）.即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1.故3a＋2b＝－1. 4.B　因为f（x）是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递减，则f（x）在（－∞，0]上也单调递减，所以f（x）在R上为减函数，因为－1＜0＜2＜3，所以f（3）＜f（2）＜f（－1）. 5.B　首先函数定义域是R，再者根据f（2x－1）＜f（1）和偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，可得｜2x－1｜＜1，解得0＜x＜1. 6.AC　根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7，0]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，在其定义域内的最小值不是－7. 7.CD　当x＝0时，f（0）＝0，选项B错误；函数y＝f（x）是R上的奇函数，故f（－x）＝－f（x）.当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝x2＋2x－3＝－f（x），故f（x）＝－x2－2x＋3，故C正确，A错误；又x＝－2＜0，故f（－2）＝－4＋4＋3＝3，故D正确.故选C、D. 8.（－2，2）　解析：由题意知，画出函数f（x）的草图如图所示，所以使得f（x）＜0的x的取值范围是（－2，2）. 9.x2－2　x　解析：f（－x）＋g（－x）＝x2－x－2，由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数得，f（x）－g（x）＝x2－x－2，又f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，两式联立得f（x）＝x2－2，g（x）＝x. 10.解：（1）因为函数f（x）是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f（0）＝0，解得b＝0（经检验符合题意）. （2）因为函数f（x）在[0，2]上单调递增，又f（x）是奇函数，所以f（x）在[－2，2]上是增函数. 因为f（m）＋f（m－1）＞0， 所以f（m－1）＞－f（m）＝f（－m）， 所以m－1＞－m， ① 又需要不等式f（m）＋f（m－1）＞0在函数f（x）定义域内有意义， 所以 ② 解①②得＜m≤2， 所以m的取值范围为. 11.B　法一（奇函数的图象特征）　当x＜0时，f（x）＝x2＋x＝－，所以f（x）有最小值－，因为f（x）是奇函数，所以当x＞0时，f（x）有最大值. 法二（直接法）　当x＞0时，－x＜0，所以f（－x）＝－x（1－x）.又f（－x）＝－f（x），所以f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x＝－＋，所以f（x）有最大值.故选B. 12.C　f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x2－x，所以当x＜0时，－x＞0，f（x）＝－f（－x）＝－[2×（－x）2－（－x）]＝－2x2－x，所以a＝－1. 13.（－∞，－1）∪（1，＋∞）　解析：因为f（x）为奇函数，＜0，即＜0，因为f（x）在（0，＋∞）上单调递减且f（1）＝0，所以当x＞1时，f（x）＜0.因为奇函数图象关于原点对称，所以在（－∞，0）上f（x）单调递减且f（－1）＝0，即x＜－1时，f（x）＞0.综上使＜0的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 14.解：设h（x）＝f（x）g（x）， 则h（－x）＝f（－x）g（－x）＝－f（x）·g（x）＝－h（x）， 所以h（x）是奇函数， 由图象可知，当－4＜x＜－2时， f（x）＞0，g（x）＜0， 即h（x）＜0， 当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0， 即h（x）＜0， 所以h（x）＜0的解集为（－4，－2）∪（0，2）. 15.解：（1）f（x）在[－1，1]上单调递增.证明如下： 任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，则－x2∈[－1，1]. ∵f（x）为奇函数， ∴f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝·（x1－x2）. 由已知得＞0，又x1－x2＜0， ∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）. ∴f（x）在[－1，1]上单调递增. （2）∵f（x）在[－1，1]上单调递增， ∴ ∴－≤x＜－1. 故原不等式的解集为{x｜－≤x＜－1}. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　函数奇偶性的应用 1.下列四个函数中是偶函数，且在（－∞，0）上单调递减的是（　　） A.f（x）＝－｜x｜ B.f（x）＝ C.f（x）＝1－x2 D.f（x）＝－ 2.设函数f（x）＝若f（x）是奇函数，则g（－1）＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 3.已知函数f（x）＝为奇函数，则3a＋2b＝（　　） A.－1 B.1 C.0 D.2 4.已知函数f（x）是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递减，则下列结论正确的是（　　） A.f（3）＜f（－1）＜f（2） B.f（3）＜f（2）＜f（－1） C.f（－1）＜f（2）＜f（3） D.f（2）＜f（－1）＜f（3） 5.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）＜f（1）的x的取值范围是（　　） A.（－1，0） B.（0，1） C.（1，2） D.（－1，1） 6.〔多选〕一个偶函数定义在区间[－7，7]上，它在[0，7]上的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A.这个函数有三个单调递增区间 B.这个函数有两个单调递减区间 C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值－7 7.〔多选〕函数y＝f（x）是R上的奇函数，当x＞0时f（x）＝x2－2x－3，则下列说法正确的是（　　） A.x＜0时f（x）＝x2＋2x＋3 B.f（0）＝－3 C.x＜0时f（x）＝－x2－2x＋3 D.f（－2）＝3 8.若二次函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞，0]上单调递减，且f（2）＝0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是　　　　. 9.已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，则f（x）＝　　　　，g（x）＝　　　　. 10.设定义在[－2，2]上的奇函数f（x）＝x5＋x3＋b. （1）求b的值； （2）若f（x）在[0，2]上单调递增，且f（m）＋f（m－1）＞0，求实数m的取值范围. 11.若奇函数f（x）在（－∞，0）上的解析式为f（x）＝x（1＋x），则f（x）在（0，＋∞）上有（　　） A.最大值－ B.最大值 C.最小值－ D.最小值 12.设函数f（x）＝是奇函数，则实数a的值为（　　） A.0 B.1 C.－1 D.±1 13.设奇函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（1）＝0，则不等式＜0的解集为　　　　. 14.已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（－4，4），且在（－4，0]上的图象如图所示，求关于x的不等式f（x）g（x）＜0的解集. 15.已知f（x）是定义在[－1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，则有＞0成立. （1）判断f（x）在[－1，1]上的单调性，并证明； （2）解不等式：f＜f. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $