2.3 培优课 一元二次不等式恒、能成立问题(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

培优课　一元二次不等式恒、能成立问题 1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数的条件是（　　） A. B. C. D. 2.关于x的不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是（　　） A.{m｜0＜m＜4} B.{m｜m＜－2或m＞2} C.{m｜－2≤m≤2} D.{m｜－2＜m＜2} 3.对任意实数x，式子均有意义，则实数k的取值范围是（　　） A.k≤8 B.0≤k＜8 C.0≤k≤8 D.k＞8 4.若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是（　　） A.{m｜m≤－2或m≥2} B.{m｜－2≤m≤2} C.{m｜m＜－2或m＞2} D.{m｜－2＜m＜2} 5.若关于x的一元二次不等式x2－tx＋4≥0在x≥1时恒成立，则实数t的取值范围是（　　） A.t≤2 B.t≥2 C.t≤4 D.t≥4 6.〔多选〕不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是（　　） A.a＜1 B.a≤1 C.a＜2 D.a＜0 7.〔多选〕不等式x2＋bx＋c≥2x＋b对任意的x∈R恒成立，则（　　） A.b2－4c＋4≤0 B.b≤0 C.c≥1 D.b＋c≥0 8.若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是　　　　. 9.若不等式x2＋（m－3）x＋m＜0无解，则实数m的取值范围是　　　　. 10.命题p：∃x∈R，（m－3）x2－mx＋3＜0为真命题，则实数m的取值范围为　　　　. 11.已知关于x的不等式（m2＋4m－5）x2－4（m－1）x＋3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 12.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点A（1，－2），B（－1，0），且与反比例函数y＝交于点M（3，4）. （1）求二次函数与反比例函数的表达式； （2）若对∀x∈R，ax2＋bx＋c≥mx－3恒成立，求实数m的取值范围. 13.已知关于x的函数y＝x2－（a＋2）x＋4（a∈R）. （1）若关于x的不等式y≤4－2a的解集恰好为{x｜2≤x≤5}，求实数a的值； （2）若对任意的x∈{x｜1≤x≤4}，y＋a＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　一元二次不等式恒、能成立问题 1.D　一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要 2.D　∵不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，∴函数y＝x2－mx＋1的图象在x轴上方，∴方程x2－mx＋1＝0无实数解，∴Δ＜0，即m2－4＜0，解得－2＜m＜2，∴实数m的取值范围是{m｜－2＜m＜2}.故选D. 3.C　由对任意实数x，式子均有意义知，kx2＋kx＋2≥0恒成立，若k＝0，则2≥0恒成立，满足题意；若k≠0，则有解得0＜k≤8.综上可知，实数k的取值范围是0≤k≤8. 4.A　∵关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，且函数y＝－x2＋mx－1的图象开口向下，∴函数图象与x轴有交点，∴Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.故选A. 5.C　∵x2－tx＋4≥0在x≥1时恒成立，∴t≤＝x＋在x≥1时恒成立，∴t≤，∵x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，∴＝4，则t≤4. 6.BC　因为ax2－2x＋1＜0的解集非空，显然当a≤0时恒成立，又由解得0＜a＜1.综上，ax2－2x＋1＜0的解集非空的充要条件为a＜1，所以不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的必要不充分条件应该比a＜1的范围大，故选项B、C正确. 7.ACD　x2＋bx＋c≥2x＋b可整理为x2＋（b－2）x＋c－b≥0，则Δ＝（b－2）2－4（c－b）＝b2－4c＋4≤0，故A正确；当b＝1，c＝2时，满足Δ≤0，即原不等式成立，故B错误；由Δ≤0，得c≥＋1，所以c≥1，故C正确；b＋c≥＋b＋1＝≥0，故D正确. 8.　解析：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需解得a＞.综上，所求实数a的取值范围是. 9.{m｜1≤m≤9}　解析：x2＋（m－3）x＋m＜0无解，则Δ＝（m－3）2－4m＝m2－10m＋9≤0，解得1≤m≤9. 10.{m｜m≠6}　解析：因为命题p：∃x∈R，（m－3）x2－mx＋3＜0为真命题，所以不等式（m－3）x2－mx＋3＜0在R上有解.当m＝3时，不等式可化为－3x＋3＜0，得x＞1，符合题意；当m＞3时，由题意得Δ＝（－m）2－12（m－3）＞0，即m2－12m＋36＝（m－6）2＞0，解得m≠6；当m＜3时，一定存在x∈R，使得（m－3）x2－mx＋3＜0成立.综上，实数m的取值范围为{m｜m≠6}. 11.解：令y＝（m2＋4m－5）x2－4（m－1）x＋3. ①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件； ②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数大于0对一切实数x恒成立， 得 解得1＜m＜19. 综合①②得，实数m的取值范围为{m｜1≤m＜19}. 12.解：（1）∵点M（3，4）在反比例函数y＝的图象上，故有4＝， 解得k＝12，从而反比例函数为y＝. 又∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点A，B，M， ∴解得 ∴二次函数为y＝x2－x－2. （2）由（1）知，二次函数的表达式为y＝x2－x－2，故有x2－x－2≥mx－3在R上恒成立，即x2－（m＋1）x＋1≥0在R上恒成立，∴Δ≤0， 又Δ＝[－（m＋1）]2－4＝m2＋2m－3， ∴m2＋2m－3≤0，解得－3≤m≤1. 故实数m的取值范围为{m｜－3≤m≤1}. 13.解：（1）y≤4－2a，即x2－（a＋2）x＋2a≤0，即（x－a）（x－2）≤0， 因为不等式的解集恰好为{x｜2≤x≤5}，所以a＝5. （2）由题意得，对任意的x∈{x｜1≤x≤4}，x2－（a＋2）x＋5＋a≥0恒成立， 即a（x－1）≤x2－2x＋5恒成立. 当x＝1时，0≤4恒成立，此时a∈R； 当x∈{x｜1＜x≤4}时，a≤＝x－1＋恒成立， 因为0＜x－1≤3，所以x－1＋≥2＝4，当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立， 所以a≤4. 综上可得a的取值范围为{a｜a≤4}. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $