2.2.1 基本不等式(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

2.2　基本不等式 第一课时　基本不等式 1.B　因为不等式成立的前提条件是x－2y和均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y. 2.B　A中，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立，又t＞1，所以等号取不到；B中，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立；C中，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3；D中，y＝t＋＋1≥3. 3.D　3（x2＋1）＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D. 4.C　法一　（1＋x）（1＋y）＝xy＋x＋y＋1＝xy＋9≤＋9＝25，当x＝y＝4时取等号，故选C. 法二　10＝（x＋1）＋（y＋1）≥2，解得（x＋1）（y＋1）≤25，当x＝y＝4时取等号，故选C. 5.CD　当a＝－1，b＝－1时，ab＞0，＋＞不成立，故A不符合题意；当a＜0时，a＋≥2不成立，故B不符合题意；｜＋｜＝｜｜＋｜｜≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立，故C符合题意；∵2（a2＋b2）－（a＋b）2＝a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2，故D符合题意.故选C、D. 6.BD　x＋≥2，需x＞0，故A不正确.因为a＜0，b＜0，所以＞0，＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，故B正确.因为x2＋2＞0，所以x2＋2＋≥2＝2，当且仅当x2＋2＝，即x2＋2＝1时，等号成立，显然x2＋2＝1不成立，故C不正确.因为a＞0，b＞0，所以（a＋b）＝1＋＋＋1＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，故D正确. 7.36　解析：∵y＝4x＋（x＞0，a＞0），∴y＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝即x＝时，等号成立.又∵y＝4x＋（x＞0，a＞0）在x＝3时取得最小值，∴＝3，∴a＝36. 8.3　解析：由a＋b＝0，a＞0，得b＝－a，－＝＞0，所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号. 9.－2　解析：y＝＝2－x－，∵x＞0，∴x＋≥4.∴y＝2－≤2－4＝－2.当且仅当x＝（x＞0），即x＝2时取等号，∴ymax＝－2. 10.解：解答过程有错误，错误原因：x·不是定值，所以最小值不一定在x＝处取得. 正确解答： 因为x＞3，所以x－3＞0，y＝x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝7，其中等号成立当且仅当x－3＝， 解得x＝5或x＝1（舍去）， 所以当x＝5时，y＝x＋取得最小值7. 11.C　因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a时等号成立. 12.2　解析：∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋（3x＋2y）＝20，当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立.∴W≤2，即W的最大值为2. 13.　解析：因为t＞0，y＝，所以＝＝t＋＋4≥2＋4＝6，所以0＜y≤，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立，所以y＝的最大值为. 14.解：因为x＞0，y＞0，且（x＋2）（y＋1）＝9，所以x＋3y＋5＝（x＋2）＋3（y＋1）≥2＝6，当且仅当x＋2＝3（y＋1），（x＋2）（y＋1）＝9，即时，等号成立，故当时，（x＋3y＋5）min＝6. 15.解：∵GH是梯形ABDC的中位线， ∴GH＝（AB＋CD）＝（a＋b）； ∵梯形ABLK与梯形KLDC相似， ∴＝，∴KL＝； ∵△AEO∽△ACD，△DOF∽△DAB， ∴＝，＝，∴＋＝1，同理＋＝1，∴EF＝； ∵S梯形MNDC＝S梯形ABNM＝S梯形ABDC，设这三个梯形的高分别为h1，h2，h，且h1＋h2＝h， 则有（a＋b）h＝（b＋MN）h1＝（a＋MN）h2， ∴MN＝. 由几何图形中线段长可知EF＜KL＜GH＜MN， 即＜＜＜. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一课时　基本不等式 1.不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为（　　） A.x≥2y B.x＞2y C.x≤2y D.x＜2y 2.下列各式中最小值为2的是（　　） A.y＝t＋（t＞1） B.y＝＋ C.y＝t＋（t＞1） D.y＝t＋＋1（t＞0） 3.3x2＋的最小值是（　　） A.3－3 B.3 C.6 D.6－3 4.已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则（1＋x）·（1＋y）的最大值为（　　） A.9 B.16 C.25 D.36 5.〔多选〕已知实数a，b，下列不等式一定成立的是（　　） A.＋＞ B.a＋≥2 C.｜＋｜≥2 D.2（a2＋b2）≥（a＋b）2 6.〔多选〕下列说法正确的有（　　） A.x＋（x≠0）的最小值是2 B.＋（a＜0，b＜0）的最小值是2 C.x2＋2＋的最小值是2 D.（a＋b）（a＞0，b＞0）的最小值是4 7.已知y＝4x＋（x＞0，a＞0）在x＝3时取得最小值，则a的值为　　　　. 8.若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为　　　　. 9.已知x＞0，则y＝的最大值为　　　　. 10.已知x＞3，求y＝x＋的最小值，并说明x为何值时，y取得最小值.下面是某位同学的解答过程： 解：因为x＞3，所以＞0，根据基本不等式有y＝x＋≥2，其中等号成立当且仅当x＝，即x（x－3）＝4，解得x＝4或x＝－1（舍），所以y＝x＋的最小值为2＝8，因此，当x＝4时，y＝x＋取得最小值8. 该同学的解答过程是否有错误？如果有，请指出错误的原因，并给出正确的解答过程. 11.若a，b都是正数，则的最小值为（　　） A.5 B.7 C.9 D.13 12.已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝＋的最大值为　　　　. 13.已知t＞0，则y＝的最大值为　　　　. 14.若x＞0，y＞0，且（x＋2）（y＋1）＝9，求x＋3y＋5的最小值. 15.如图，ABDC为梯形，其中AB＝a，CD＝b，设O为对角线的交点.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行于两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段. 试研究线段GH，KL，EF，MN与代数式，，，之间的关系，并据此几何图形推测这四个代数式之间的大小关系. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $