1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 1.命题“任意x∈A，2x∈B”的否定为（　　） A.任意x∈A，2x∉B B.任意x∉A，2x∉B C.存在x∉A，2x∈B D.存在x∈A，2x∉B 2.已知命题p：∀x∈R，｜x｜≥0，则下列说法正确的是（　　） A.p的否定是存在量词命题，且是真命题 B.p的否定是全称量词命题，且是假命题 C.p的否定是全称量词命题，且是真命题 D.p的否定是存在量词命题，且是假命题 3.对某次考试，有命题p：所有学生都会做第1题，那么命题p的否定是（　　） A.所有学生都不会做第1题 B.存在一个学生不会做第1题 C.存在一个学生会做第1题 D.至少有一个学生会做第1题 4.已知命题p：∀x∈R，x＜｜x｜＜x3，命题q：∃x∈R，x2－5x＋4＝0，则下列命题中为真命题的是（　　） A.p，q B.􀱑p，q C.p，􀱑q D.􀱑p，􀱑q 5.〔多选〕关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（　　） A.􀱑p：∃x∈R，x2＋1＝0 B.􀱑p：∀x∈R，x2＋1＝0 C.p是真命题，􀱑p是假命题 D.p是假命题，􀱑p是真命题 6.〔多选〕下列说法正确的有（　　） A.命题“∃x∈R，1＜y≤2”的否定是“∀x∈R，y≤1或y＞2” B.“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题 C.“∃x∈R，x－2＞”是真命题 D.“∀x∈R，x2＞0”的否定是真命题 7.“有一个平行四边形，它的对角线不相等”的否定是　　　　命题（填“真”或“假”）. 8.已知命题“∃x≥2，2x－3＜a”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　. 9.已知命题p：“∀x≥3，2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是　　　　. 10.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假. （1）对任意的实数x，都有x2≥｜x｜； （2）存在实数x，使得x2＋x－2≤0； （3）所有有理数的平方都是有理数； （4）方程x2－3x＋1＝0的每一个根都是正数. 11.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.命题“∀x∈R，x2＞－1”的否定是“∃x∈R，x2＜－1” B.命题“∃x∈{x｜x＞－3}，x2≤9”的否定是“∀x∈{x｜x＞－3}，x2＞9” C.“x2＞y2”是“x＞y”的必要不充分条件 D.“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件 12.某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围，乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求m的取值范围.你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？　　　　（填“是”或“否”）. 13.已知命题p：∀x∈{x｜1≤x≤3}，都有m≥x；命题q：∃x∈{x｜1≤x≤3}，使m≥x.若命题p为真命题，q的否定为假命题，则实数m的取值范围是　　　　. 14.已知方程（a＋5）x2＋2（a＋1）x＋a－5＝0. （1）若∃a∈R，使方程只有一个实根，求a的值； （2）若∀a∈M，方程至少有一个实根，求集合M. 15.已知命题p：∀x∈{x｜1≤x≤2}，x2＋x－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋3x＋2－a＝0. （1）当p为假命题时，求实数a的取值范围； （2）若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 1.D　命题“任意x∈A，2x∈B”是一个全称量词命题，其命题的否定为“存在x∈A，2x∉B”，故选D. 2.D　命题p是全称量词命题，且是真命题，故p的否定是存在量词命题，且是假命题. 3.B　根据全称量词命题的否定是存在量词命题，命题p：所有学生都会做第1题的否定是存在一个学生不会做第1题.故选B. 4.B　对于命题p，采用特殊值法，取x＝1，可知p为假命题，则􀱑p为真命题；命题q：当x0＝1时，－5x0＋4＝0成立，故q为真命题，则􀱑q为假命题.故选B. 5.AC　命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”.所以p是真命题，􀱑p是假命题. 6.ACD　由存在量词命题的否定是全称量词命题，知选项A中说法正确；“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量词命题，故选项B中说法错误；当x＝9时，x－2＞，即7＞3成立，故选项C中说法正确；命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，当x＝0时，x2≤0成立，故选项D中说法正确. 7.假　解析：原命题是一个真命题，因此其否定是一个假命题. 8.{a｜a≤1}　解析：由题意可知，∀x≥2，2x－3≥a为真命题，故a≤（2x－3）min＝2×2－3＝1. 9.5　解析：当x≥3时，2x≥6⇒2x－1≥5，因为“∀x≥3，2x－1≥m”是真命题，所以m≤5. 10.解：（1）全称量词命题. 原命题的否定：存在一个实数x，使得x2＜｜x｜.原命题的否定是真命题. （2）存在量词命题. 原命题的否定：对任意的实数x，都有x2＋x－2＞0.原命题的否定是假命题. （3）全称量词命题. 原命题的否定：存在一个有理数，它的平方不是有理数，是假命题. （4）全称量词命题. 原命题的否定：方程x2－3x＋1＝0至少有一个根不是正数.原命题的否定是假命题. 11.BD　命题“∀x∈R，x2＞－1”的否定是“∃x∈R，x2≤－1”，故A错误；命题“∃x∈{x｜x＞－3}，x2≤9”的否定是“∀x∈{x｜x＞－3}，x2＞9”，B正确；x2＞y2⇔｜x｜＞｜y｜，｜x｜＞｜y｜不能推出x＞y，x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜，所以“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根⇔⇔m＜0，所以“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件，D正确，故选B、D. 12.是　解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的. 13.{m｜m≥3}　解析：因为q的否定为假命题，所以q为真命题，所以m≥1.因为命题p为真命题，所以m≥3，故实数m的取值范围为{m｜m≥3}∩{m｜m≥1}＝{m｜m≥3}. 14.解：（1）当a＋5＝0，即a＝－5时，方程化为－8x－10＝0，解得x＝－，符合题意； 当a＋5≠0，即a≠－5时，方程只有一个实根， 则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－25）＝8（a＋13）＝0，解得a＝－13. 综上所述，a的值为－5或－13. （2）由（1）知，a＝－5时符合题意； 当a≠－5时，方程至少有一个实根，则Δ＝8（a＋13）≥0，解得a≥－13. 综上所述，集合M＝{a｜a≥－13}. 15.解：（1）由p为假命题，得􀱑p为真命题， 即∃x∈{x｜1≤x≤2}，x2＋x－a＜0， 即a＞x2＋x在x∈{x｜1≤x≤2}时有解， 所以a＞（x2＋x）min，x∈{x｜1≤x≤2}， 易知当x＝1时，（x2＋x）min＝2， 所以a＞2，即实数a的取值范围是{a｜a＞2}. （2）由（1）可知，当p为真命题时，a≤2；当p为假命题时，a＞2. 当q为真命题时，方程x2＋3x＋2－a＝0在x∈R上有解，故Δ＝9－4（2－a）≥0，解得a≥－；当q为假命题时，a＜－. 所以当p为真命题，q为假命题时，a＜－；当p为假命题，q为真命题时，a＞2. 所以当p和q中有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是{a｜a＜－或a＞2}. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $