专题06 圆锥曲线中的定点、定值、定直线9类综合问题（期末专项训练）高二数学上学期苏教版

专题06 圆锥曲线中的定点、定值、定直线9类综合问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线过定点问题（共6小题） 1．（25-26高三上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为上有两个不同动点. (1)若直线过点，求证：； (2)已知定点，若线段的长度依次成等差数列； （i）求证：线段的垂直平分线经过一个定点； （ii）若（i）中的定点到原点的距离为，求面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）设直线，与抛物线方程联立，再利用韦达定理求解； （2）（i）设，利用抛物线定义结合已知得到，写出的垂直平分线方程求解； （ii）结合（i）由，得到，令，得到，与抛物线方程联立，求得弦长和Q到AB的距离，得到，方法一：利用基本不等式求解；方法二：令，得到，再令，利用导数法求解. 【详解】（1）显然直线AB的斜率不为，又，所以可设直线的方程为， 联立，消去x得，由韦达定理得. （2）如图所示：    （i）证明：设， 则由已知及抛物线定义得，，即， 当时，的垂直平分线方程为， 令，得， 所以的垂直平分线经过一个定点， 当时，由对称性知的垂直平分线为轴，也经过点， 综上，的垂直平分线经过一个定点； （ii）由题意，，解得，所以， 故抛物线的方程为，， 令，则的中点，所以， 当时，直线的方程为， 联立消得， 且依题意，解得且，且， 由弦长公式得， 又Q到直线的距离， 所以， 方法一：， ， 当且仅当，即时取等号， 所以； 方法二：令，则， 记，令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以， 当时，线段的中点， 由对称性知为通径，不妨取、， 则. 综上得，此时直线的方程为或. 2．（25-26高二上·江苏常州·期中）椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，过点作关于轴对称的直线，，与椭圆交于，两点，且直线不平行轴，那么直线是否过定点？若是，求出定点；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率计算可得，再将代入椭圆方程中计算可得其交点，结合弦长即可得解； （2）设、直线与椭圆另一交点为，则有，设出并联立椭圆方程，可得与横坐标有关韦达定理，再表示出直线后，令计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，则， 当直线平行于轴时，，联立，则， 故，解得，则， 即椭圆的方程为； （2）设，若直线与椭圆仅有交点，则直线与椭圆仅有交点， 且平行轴，不符，故可设直线与椭圆另一交点为， 由直线，关于轴对称且直线不平行轴，则， 且两直线斜率存在，设， 联立，消去得， ，即， 有、， 则， 由对称性可得，若直线过定点，则定点必在轴上， 令，则 ， 故直线过定点. 3．（25-26高二上·江苏扬州·期中）动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，，当面积最大时，求的值； (3)已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)直线过定点. 【分析】（1）设，然后根据列等式，最后整理即可； （2）根据三角形面积公式得到，即可得到当时，面积最大，然后利用等腰三角形的性质列方程，解方程即可； （3）根据圆的性质得到为以为直径的圆与圆的相交线，然后根据圆的方程得到的方程，最后求定点即可. 【详解】（1）由题意得，所以. 设，因为点，，所以， 化简得. 所以曲线的方程为. （2）曲线是圆心为，半径的圆， ， 当时，面积最大，所以为等腰直角三角形， 圆心到直线距离为，解得或. （3） 圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点，则可设， 因为，都是圆的切线，所以，， 所以，也在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为，即①，化为②， 由①-②整理得， 所以直线的方程为，即， 令，解得，所以直线过定点. 4．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知双曲线(，)经过，两点，其左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)记点，直线，与的左支分别交于点，，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析. 【分析】（1）代入两点坐标得到方程组，解出即可； （2）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再利用弦长公式得到方程，解出即可； （3）写出直线的方程，将其与双曲线方程联立，求出点坐标，写出直线方程，化简得到定点坐标. 【详解】（1）由双曲线经过点，两点， 得，解得， 故的方程为． （2）由（1）知，显然直线的斜率不为0， 则设直线，代入整理得． 由题知，， 设，则． 因为,均在的右支上，所以，所以， 所以 ，解得， 所以直线的方程为或． （3）由题意得直线的方程为． 代入，得． 设，则， 所以， 则，所以． 同理得． 当时，， 所以， 所以直线的方程为，即． 所以直线过定点． 当时，的方程为，易求． 所以过定点． 综上，直线过定点． 5．（2025·江苏·一模）已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为．点在的渐近线上，过的直线与交于两点，直线分别与轴交于两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； (3)证明：线段的中点为定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由顶点到渐近线距离建立方程解得的值，从而得到曲线方程； （2）设直线方程，联立方程组得到一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理得到根与系数的关系，由三角形面积建立方程得到的值，从而得到直线方程； （3）设坐标，然后得到直线方程，联立方程组得到一元二次方程，由韦达定理得到点坐标，同理求得点坐标.从而得到，由向量共线建立等式，从而得到点纵坐标的关系，即可得证. 【详解】（1）因为的一条渐近线方程为， 到渐近线的距离为， 过得， 解得：， 所以的方程为①． （2）显然直线的斜率存在，设的方程为②， ①②联立得：． 则有③，④， 设， 则⑤，⑥， 把⑤⑥代入：， 所以， 得：，解得：． 满足③④式，则直线的方程为． （3）设，不妨设．则直线⑦， 联立①⑦得：， 则， 则； 同理：． 而，， 又三点共线，则有， 则， 得：， 所以的中点为定点． 【点睛】技巧点睛，三角形在直角坐标的面积可以用铅锤高乘水平宽来表示，例如本题中(表示点的水平宽) . 6．（2025·浙江宁波·一模）已知椭圆的离心率为，是上的点. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由离心率及点在椭圆上，椭圆参数关系列方程组求得，即可得椭圆方程； （2）（i）设DE的方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式表示出，利用点到直线的距离公式表示出T到DE的距离，表示出面积，利用基本不等式即可求得面积的最大值； （ii）设，设出过点的椭圆的切线方程，与椭圆方程联立，消元得到一元方程，由相切得，再设，与切线方程联立，表示出点，点的横坐标，再由则，化简可得，可得直线MN过定点. 【详解】（1）已知椭圆的离心率为，是上的点. 则，解得， 所以椭圆的方程为； （2）（i）显然当DE与轴垂直时，TD，TE的倾斜角不互补， 设DE的方程为：，设， 联立,消x得：， 所以，， 则， 所以， 代入得：， 所以，即直线DE过定点. 所以，， 所以， 又T到DE的距离为， 所以，当时取等号. 即面积的最大值为； （ii）设，设过点的椭圆的两条切线为，， 联立， 得， 由相切得，化简得， 所以，， 设，联立，解得， 联立，解得， 则，化简得：， 所以直线MN过定点. 题型二 圆过定点问题（共5小题） 7．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知双曲线：的离心率为，与轴交于点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若动直线：与双曲线交于异于点的不同两点，. ①若，求此时直线的方程； ②经过，，三点的动圆是否经过异于点的定点，如果存在，请求出定点坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在，定点. 【分析】（1）由双曲线的离心率为，且与轴交于点，得到，求解； （2）①由，得到，再根据，由求解；②设经过，，三点的动圆方程，与直线方程联立消去y与，利用待定系数法求解. 【详解】（1）已知双曲线的离心率为，且与轴交于点. 则，， 则， 所以双曲线的标准方程是：； （2）如图所示：    ①由，得， 则恒成立， 且，. 设，，由，得，即. 则，. 即. 即. 解得（舍）或，即直线的方程是. ②设经过，，三点的动圆方程， 将代入，得， 设，，则， 消去得， 由，得， 即， 即，. 所以，，. 所以圆的方程为， 即， 令，（舍）或 所以经过，，三点的动圆经过异于点的定点. 8．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程． (2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点． ①求证：直线过定点； ②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在， 【分析】（1）由抛物线的性质求得抛物线方程． （2）①设，设过点的切线，与抛物线方程联立，由判别式等于，得，设的斜率分别为，由韦达定理及中点坐标公式求出的中点为，由点斜式写出直线的方程即可求解； ②设，得到直线与的斜率，由斜率乘积为,得，再将①问中的韦达定理代入上式化简得，即可求解. 【详解】（1）设抛物线方程为，由抛物线定义知，， 抛物线的方程． （2）①设，由于切线斜率一定存在， 故设过点的切线， 代入中，得：， ，． 设的斜率分别为， 则 ，，， 得 ， 的中点为． 又，直线的方程：， 即：，过定点． ②设，则．同理：． ，． 把代入中得：， 所以由， ， ，解得． 存在定点，使得以为直径的圆恰过点． 9．（25-26高三上·上海·月考）已知抛物线的焦点为F，准线为l. (1)写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线与相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，和 【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求椭圆的，即可得解； （2）解法一：设点，根据题意可得点P的轨迹方程为，从而求出点P的坐标，可得解直线方程； 解法二：根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程； （3）设直线的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点. 【详解】（1），设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b， 因为离心率为，所以，得，. 所以椭圆的标准方程为. （2）解法一：的准线方程为， 设点，因为， 所以，得， 因为，所以，所以， 因为P在第一象限，所以点P的坐标为. 所以直线EP的斜率为，直线EP的方程为. 解法二：的准线方程为， 过点P作的准线的垂线，垂足为M,， 因为，所以， 因为P在第一象限，所以直线EP的倾斜角为. 所以直线EP的方程为. （3）设点. 由已知直线的方程为. 将代入抛物线方程得. 所以. 因为直线OA的方程为，直线OB的方程为， 令，得M，N的纵坐标分别为. 得到圆C方程为. 因为，所以整理得. 令，得或. 所以圆C过定点和. 10．（24-25高二上·重庆·月考）已知椭圆的左右焦点为，点为椭圆上异于左右顶点的任意一点，的周长为6，椭圆的离心率为. (1)求该椭圆的方程； (2)已知定点，过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点（与点不重合），延长分别与直线交于两点. （i）当直线斜率不存在时，求的面积； （ii）证明：以线段为直径的圆与轴的交点为定点. 【答案】(1)； (2)（i），（ii）证明见详解. 【分析】（1）根据题意，列出的方程组进而求出得解； （2）（i）当的斜率不存在时，求出的坐标，进而求得的面积；（ii）设，，，以线段为直径的圆与轴的交点为，与椭圆联立可得根与系数关系，由，运算求得为常数，得证. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则，解得， ，， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由题，，当的斜率不存在时，可得， 则，，， 直线，令，解得，即， ， 所以的面积为. （ii）根据题意，设，，，以线段为直径的圆与轴的交点为， 联立，消去整理得， ，则，， 所以直线的方程为：，令，求得， ，同理，可得， ，， 由，即， 又 ， ，解得或， 所以以线段为直径的圆与轴的交点为定点和. 11．（24-25高二上·天津·期中）已知椭圆：，A点为椭圆短轴的上端点，P点为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知，椭圆的离心率 (1)求椭圆的标准方程； (2)试判断椭圆是否是“圆椭圆”?并证明你的结论； (3)Q点为P点关于原点O的对称点，Q点也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点?证明你的结论． 【答案】(1)； (2)椭圆是“圆椭圆”，证明见解析； (3)过定点，证明见解析. 【分析】（1）由给定的离心率及短半轴长求出即可. （2）设点，利用两点间距离公式，结合椭圆方程求出取得最大值的点位置即可推理得证. （3）由（2）中点，求出点的坐标，由直线的点斜式方程求出点的坐标，再结合对称性可得圆过的定点必在轴上，设出此点坐标，利用向量数量积列式计算即得. 【详解】（1）由，椭圆的离心率，得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，设，则， 于是， 而，因此当且仅当时，，此时点， 即点P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到， 所以椭圆是“圆椭圆”. （3）由（2）知，，设，则，， 直线，则， 若以线段为直径的圆过定点，由对称性知点在轴上， 设，则，而， 于是，即，解得， 所以以线段为直径的圆过定点. 题型三 定点类探索性问题（共7小题） 12．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．    (1)求椭圆的方程； (2)已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标：若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，列出方程组，起度呃的值，得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，求得和，设，使得，根据，得到恒成立，求得的值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为椭圆的离心率，且椭圆过点， 可得 ，解得，所以椭圆的方程为. （2）解：由题意，显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，则， 因为点为的中点，可得， 则，即， 令，可得，即， 假设存在点，使得，此时 因为，可得， 整理得， 因为，所以，即恒成立， 所以 ，解得，即， 即存在定点，使得.    13．（2025·江苏宿迁·三模）已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6. (1)求的方程； (2)已知是上一动点，，当为的右顶点时，取得最小值，求的取值范围； (3)若动直线与交于点，点是轴正半轴上异于点的一定点，若直线的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值. 【答案】(1) (2) (3)，. 【分析】（1）将代入椭圆方程，可得，再利用椭圆的定义可得，即可得椭圆方程； （2）根据两点距离公式，结合二次式的性质即可求解； （3）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据正切和差角公式以及斜率公式化简求解. 【详解】（1）由已知，将代入椭圆方程得，解得， 又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设，则， ， 因为当为的右顶点时，取得最小值， 即时，取得最小值， 所以，即， 所以的取值范围是. （3）设，（且），，， 将与联立得， 则，， 又分别为直线的倾斜角， 因为， 所以为定值， 又 ， 又为定值，则，所以， 当时，，为定值， ， 所以，. 14．（2025·江苏常州·模拟预测）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴､轴，且点和点在椭圆上 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，若，是否存在定点，使得直线的倾斜角互补？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）设出椭圆方程，利用待定系数法求出中. （2）假设存在点，由倾斜角互补可知斜率和为，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式列式求出即可. 【详解】（1）设椭圆的方程为：， 由点和点在椭圆上，得，解得， 所以椭圆的方程为：. （2）当时，直线， 假设存在点，使直线的倾斜角互补，即直线的斜率之和为， 由消去得， ，设， ，，由， 得，而，即， 于是，整理得，解得， 所以存在点，使得直线的倾斜角互补. 15．（24-25高三上·北京通州·期末）已知椭圆，以椭圆的一个焦点和短轴端点为顶点的三角形是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)斜率存在且不为0的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点. 在轴上是否存在定点，使得（为坐标原点）？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，或 【分析】(1)由题可知，进而得到椭圆方程和离心率； (2)假设存在定点，使得，原问题等价于满足，表示直线、的方程，可表示出，，据此计算可得点的坐标. 【详解】（1）因为以椭圆的一个焦点和短轴端点为顶点的三角形是边长为2的等边三角形， 所以，即，，故椭圆的方程：， ，故离心率； （2）假设轴上存在点，使得， 当时，所以，设，， 所以满足，设，， 由题意可知直线斜率存在且不为0，故,, 直线的方程为，所以当时， 即， 因为点与点关于轴对称，所以． 同理可得， 因为，， 所以， 因为，在椭圆上，即，， ，所以或， 故在轴上存在点，使得，点的坐标为或． 16．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线 与椭圆C交于A、B两点. ①若直线l过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线l过定点 ，且， 在x轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可； （2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解k的值； ②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. 【详解】（1）椭圆C 的右焦点到直线的距离为， 可得： 因为， 所以解得， 由椭圆的一个顶点为，可得， 所以由 即椭圆C的标准方程为 （2）①直线过椭圆右焦点 可得：， 即， 所以由直线与椭圆C的标准方程 联立方程组，消去y得： 设两交点，则有 又椭圆左焦点到直线的距离为 所以 解得： 或 (舍去)，即 ; ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，由于直线过定点， 且， 可知直线方程为，与椭圆 联立方程组， 消去y得：由 且， 解得 设两交点， AB中点，则有 所以 即  整理得 又因为 所以 当且仅当时，所以， 则 . 【点睛】关键点点睛：本题关键点是把以为邻边的平行四边形为菱形，转化为对角线互相垂直，再利用求解中点坐标来表示斜率，最后利用斜率乘积等于，从而得到关于的函数来求取值范围. 17．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）根据题意列出方程组，求解即可； （2）①写出直线的方程，与双曲线方程联立，求出弦长和点到的距离即可；②设，，当直线斜率不为0时，设，与双曲线方程联立，表示并化简得，根据为常数得出时；再验证当直线斜率时也满足即可. 【详解】（1）因为点在双曲线上，得 又因为渐近线方程为，所以， 解得，所以双曲线的方程为. （2）①直线斜率为，故直线的方程为， 代入双曲线得， ， 所以， 又点到的距离为， 故的面积为. ②设，， 当直线斜率不为0时，设，代入双曲线得， ，， 所以 ， 若为常数，则为常数，设为常数，则对任意的实数恒成立，，所以， 所以，此时. 当直线斜率时为，对于 所以，解得或（舍），所以在轴上存在定点，使得为定值. 18．（2025·广东·二模）已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上.点为直线上的动点，直线与直线的斜率之比为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的长轴上是否存在定点，使得直线与椭圆交于两点，当点在直线上运动时，恒构成等差数列？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，定点 【分析】（1）利用斜率公式可求参数，再由点在椭圆上可求参数，即可得椭圆方程； （2）利用斜率取特殊值0时，找到定点的坐标，再利用一般斜率来进行证明即可得证. 【详解】（1） 设，且点， 得，. 由直线与直线的斜率之比为，得： 又因为点在上， 所以，， 将代入，解得， 所以的方程为. （2） 当直线斜率为0时，分别为轴上两个端点， 此时，要满足成立， 则，此时点，点，猜想直线斜率不为0时，定点， 当直线斜率不为0时，设 由得 ， 根据猜想有， 此时，满足也成立， 所以综上，椭圆的长轴上存在定点，使得直线与椭圆交于两点时，恰好成等差数列. 题型四 面积为定值问题（共6小题） 19．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的渐近线与圆相切． (1)求双曲线的方程． (2)已知双曲线，（在轴上方，在轴下方）是右支上两个不同的点，直线与的一个交点为，，连接（为坐标原点）分别交于点． ①判断四边形的形状； ②证明的面积为定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2)①平行四边形；②证明见解析， 【分析】（1）求出双曲线渐近线方程，利用圆的切线性质，结合点到直线距离求解. （2）①求出曲线的方程，设出点坐标，再联立直线与曲线的方程求出的坐标即可判断；②法1，设出方程，与曲线的方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积推理计算即得；法2，利用①的信息求出的坐标，再利用三角形面积公式结合向量运算求解即得. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即， 圆的圆心为，半径为，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）①由（1）知双曲线的方程为， 设，，， 则直线的方程为，与联立，得，， 则，同理得，分别为的中点， 则，， 又，因此，， 所以四边形为平行四边形． ②方法一  显然直线的斜率不为0，设直线， 由得， ，， 设，则，， 由，得， 则，， 两式分别平方后作差得， 即，得， 因此，即， ，解得， ， 到直线的距离， ． 所以的面积为定值，此定值为. 方法二  由①知，设点， 则， 得，，即， 由点在上，则，即， 整理得，因此，即， 设，则 ， 则， 所以的面积为定值，此定值为. 20．（2025·内蒙古包头·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 【答案】(1)的方程为；的方程为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由离心率结合，可求出，即可求出双曲线的方程，再由抛物线焦点到准线的距离为1，求出，即可抛物线的方程； （2），求得坐标，进而得到再结合面积公式求解即可； （3）设，，，通过导数求得切线方程，结合韦达定理求得弦长，点到线的距离公式求得高，代入面积公式，进而可求解； 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 又因为离心率为，所以，代入得，解得， 所以双曲线的方程为． 因为抛物线焦点到准线的距离为1，所以， 所以抛物线的方程为． （2）证明：设，不妨设为渐近线为渐近线， 直线的方程为， 联立方程，解得， 所以 同理可得，所以 由于直线的斜率，因此，所以， 所以平行四边形的面积为， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以平行四边形的面积为; （3）设， 因为函数的导数为，所以直线的方程为， 由于在直线上，则， 同理，所以均满足方程， 所以直线的方程为， 联立方程，得，所以， 则， 又因为到直线的距离， 所以面积， 又因为， 所以，当为时取最小值， 所以面积最小值为． 21．（2025·江苏·模拟预测）如图所示，分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，扇形的面积为． （注：题目中把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中为半椭圆的右焦点） (1)求的值； (2)过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于两点，试将的周长表示为的函数； (3)在（2）的条件下，当的周长取得最大值时，探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的面积不是定值，取值范围是 【分析】（1）由扇形的面积得，由及得； （2）分、、三种情况讨论，利用椭圆的定义表示出的周长； （3）联立直线方程和椭圆方程，由弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式表示出的面积，根据求出取值范围. 【详解】（1）扇形的面积为，解得， 半椭圆与轴的交点，右焦点， 所以在中，， 又因为，所以. （2）显然直线的斜率不为，所以， 由（1）知半椭圆方程为，圆弧方程为，恰为椭圆的左焦点， ①当时，分别在圆弧和半椭圆上， 因为，所以是腰为的等腰三角形，且，所以， 因为在半椭圆上，所以， 所以的周长； ②当时，在半椭圆上， 因为在半椭圆上，所以， 所以的周长； ③当时，分别在半椭圆和圆弧上， 因为，所以是腰为的等腰三角形，且，所以， 因为在半椭圆上，所以， 所以的周长； 综上，. （3）由（2）知，当时，， 当时，， 所以当时，取得最大值，此时在半椭圆上， 设直线的方程为， 联立得，， ， 点到直线的距离， 所以， 令，因为，所以，， ， 因为在上单调递增，所以即， 所以， 即的面积不是定值，取值范围是. 22．（24-25高三上·江苏南通·期末）已知椭圆（）的离心率为，且经过点.定义第n（）次操作为：经过C上点作斜率为k的直线与C交于另一点，记关于x轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. (1)求C的方程； (2)若为C的左顶点，经过3次操作后停止，求k的值； (3)若，是C在第一象限与A不重合的一点，证明：的面积为定值. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由离心率、椭圆所过的点列方程求参数，即可得椭圆方程； （2）设，则直线的方程为，联立椭圆方程消去y，结合求得，根据题设定义，利用对称性有得到方程，即可求参数值； （3）由（2）易得与关于原点对称，结合椭圆对称性有与关于原点对称，与重合，进而有是以4为周期的周期点列，得的面积等于的面积，再应用点线距离公式、三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由题设有，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设，则直线的方程为，与的方程联立， 消去得. 因为，所以. 因为是它的一根，所以， 即.（*） 若，经过3次操作后停止，即为. 将代入（*）式得，， 因为关于原点对称，，所以与关于原点对称， 因为与关于轴对称，与关于轴对称，所以与关于原点对称， 所以，解得， 综上，当时，. （3）当时，由（*）式得，同理，所以与关于原点对称. 如图，由椭圆的对称性可知，与关于原点对称，与重合， 所以是以4为周期的周期点列，所以的面积等于的面积. 因为直线的方程为， 点到直线的距离， 所以. 【点睛】关键点点睛：第二、三问，找到相关点的对称性，利用对称性得到、的面积等于的面积为关键. 23．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3. (1)求椭圆C的方程； (2)若点P在第一象限且轴，求的角平分线所在直线的方程； (3)过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴对称的点为D（异于点B），直线交x轴于点E，记与的面积分别为，.求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】(1)由题可得，解方程即可求解. (2)求出点坐标，设的角平分线所在直线与轴的交点为，根据角平分线性质可知点到直线和的距离相等即可求解； (3)设直线的方程为：,,联立,由韦达定理可得,由直线的方程为：, 令，可得点,由三角形面积公式即可证明. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3， 所以，解得：, 则, 所以椭圆C的方程为:, （2）由题可得，，因为点P在第一象限且轴， 所以,解得：或(舍去)， 则点 所以，则直线的方程为：，即 设的角平分线所在直线与轴的交点为，显然 则，解得:或(舍去)； 所以, 则， 所以的角平分线所在直线的方程为，即, 故的角平分线所在直线的方程为； （3）由题可得直线的斜率不为，设直线的方程为：,, 则, 联立,得, 所以,, 直线的方程为：, 令，则, 所以, 即点, 则,, 所以，则为定值 24．（2024·江苏苏州·模拟预测） 已知椭圆 与圆 在第一、第四象限分别交于 Q、P 两点，且满足 (1)求椭圆γ的标准方程； (2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆和圆的对称性可得，，再代入椭圆和圆的方程中，解方程组求出和的值即可； （2）设，，易知四边形是平行四边形，设直线的方程为，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，弦长公式以及椭圆的方程，推出，再利用点到直线的距离公式，表示出四边形的面积，然后化简即可得定值． 【详解】（1）由对称性知，， 因为，，所以△是边长为1的等边三角形， 因为位于第一象限，所以,， 代入椭圆的方程有， 代入圆的方程有， 联立解得，， 所以椭圆的标准方程为． （2）证明：设，，则直线的斜率为，且，即， 因为，所以四边形是平行四边形，， 设直线的方程为，,，,， 联立，得， 所以，， 所以， 因为， 所以， 整理得，即， 而点到直线的距离为， 所以四边形的面积，为定值． 题型五 斜率为定值问题（共6小题） 25．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知椭圆 的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程. (2)点在上，过点的直线交椭圆于两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线的斜率分别为. ①证明：为定值; ②证明：直线过线段的中点. 【答案】(1)直线的方程为 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）运用点差法，设，代入椭圆方程后作差，结合中点坐标，解得斜率，即可解出直线的方程. （2）①按直线的斜率是否为0分类讨论，联立椭圆方程，结合韦达定理和判别式，将的表达式化简，即可得证； ②设线段的中点为，根据中点坐标公式表示，结合直线的方程，解出， 得出点在直线上，即可得证. 【详解】（1）根据题意作图如下： 由已知椭圆 ，则右焦点，又线段的中点为， 所以直线的斜率存在且不为0，设点. 则，两式相减得，又， 整理得，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）根据题意作图如下： ①证明：由已知直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在. 当直线的斜率为0时，，此时两点坐标为， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去得， 整理得，则，即， 解得或，且， 所以 ， 代入， 得. 综上，为定值，且. ②证明：由已知设线段的中点为， 易得，直线，则， 直线，则， 由①知，所以， 又直线，所以点在直线上. 综上，直线过线段的中点. 26．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）①设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论；②利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c，由题意得，渐近线方程不妨取，即， 则，而， 故双曲线方程为； （2）①由题意知，设直线PQ的方程为， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故， 则， 则； 当直线PQ斜率不存在时，, 故为定值； ②由题意可得， 直线AP的方程为，则， 直线AQ的方程为，则， 则， 所以， 由于。即，，故， 当直线PQ斜率不存在时，， 直线AP方程为， 直线AQ方程为，可得， 综上的取值范围为. 【点睛】难点点睛：本题综合考查了直线和双曲线位置关系中的三角形面积问题，解答的难点在于的取值范围的确定，解答时要注意结合直线和双曲线方程联立求出的表达式，计算过程比较复杂，计算量较大. 27．（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. (1)求双曲线E的方程； (2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将点的坐标代入方程计算即可. （2）假设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求得斜率范围，然后假设圆的方程，并于双曲线方程联立，最后将联立之后的两方程系数对应成比例，计算即可. 【详解】（1）因为，在双曲线E上， 所以，故，所以E的标准方程为． （2）如图： 设直线l：，由 得，① 所以，因为直线l与双曲线E的左支交于A，B两点， 所以，且，故， 设圆P：，，由， 得，② 由双曲线的右顶点D在圆上得， 由①②得. 由，可得③ 由，可得④ 所以3④③可得，即． 28．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2，且点在椭圆M上．过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B，C两点． (1)求椭圆M的方程； (2)证明直线BC的斜率为定值； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据给定的点求出即得椭圆M的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理并结合斜率坐标公式化简计算得证. （3）利用（2）的信息，利用弦长公式及点到直线的距离求出三角形面积关系式，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）设椭圆M的右焦点，则，而，解得， 所以椭圆M的方程为. （2）设直线的方程为，显然直线不过点，即， 由消去得，， 设，则， 由直线的倾斜角互补，得， 即， 整理得， 则， 整理得，因此， 所以直线BC的斜率为定值.    （3）由（2）知，直线的方程为，， ，即，， ， 点到直线的距离，的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值是. 29．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线、的斜率分别为、，且过定点 ①设和的面积分别为、，求的最大值； ②求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）①分析可知直线斜率不为零，设直线的方程为，设点、，将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值；②利用韦达定理，化简，可得定值. 【详解】（1）当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为， 由题意可得，解得， 所以，椭圆的标准方程为. （2） ①设点、. 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，不合乎题意. 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ， ，则， 因为函数在上单调递增，故， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. ②由， 所以， ， 即为定值. 30．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)①②证明见解析 【分析】（1）根据离心率得出关系，再代入点的坐标即可求出，写出标准方程； （2）①点斜式设出直线方程，联立双曲线方程，利用判别式为0求解； ②根据直线与方程联立后根与系数的关系、斜率公式，求和后化简即可得证. 【详解】（1）由，可得，即， 所以双曲线方程为，代入点， 可得， 所以双曲线方程为. （2）如图， ①由题意，直线斜率存在，设直线l的方程为， 联立，消元可得： ， 由直线与双曲线相切，则， 即，解得, 所以直线l的方程为，即. ②由题意知，， 设，直线l的方程为， 联立双曲线方程，化简可得， ， 由①知， 所以， ， 所以 ， 即为定值. 题型六 线段长为定值问题（共6小题） 31．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据，求出，代入圆的方程，可得解； （2）设，求出直线，从而得到点的坐标，化简，得证. 【详解】（1）根据题意，，， 设，则， 由于，所以， 则，得，将其代入， 得，故点的轨迹方程为； （2）设，则， 直线方程是，代入，得， 直线方程是，代入，得， 所以 ，即为定值．    32．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且椭圆经过点 (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆上任意一点，求证：到距离与到直线距离之比为定值； 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆离心率的定义列式求出. （2）由（1）的结论，利用椭圆范围，结合两点间距离、点到直线距离公式计算得证. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆经过点，得，于是， 所以所求椭圆的方程为. （2）由（1）得，设，则， 令到直线距离为，则 ， 所以到距离与到直线距离之比为定值.    33．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知动点P到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数．其中，，且，记点P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明轨迹的形状； (2)当时，记C的左、右顶点分别为，过点的直线与C的左支交于D，E两点，直线与交于点Q，求证：点Q在定直线上； (3)当时，设，若C上两动点M，N均在x轴上方，，且与相交于点R，求证：的周长为定值． 【答案】(1),形状见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）设点，由题意得到方程，分和，得到轨迹形状； （2）设过点的直线为：，与双曲线方程联立，得，由韦达定理得，直线：，直线：，联立得：，即可求解； （3），设，根据题干结论表达出，，所以，由椭圆定义和平行关系计算出，则的周长为定值． 【详解】（1）依题意，设点， 则， 化简得，， 当时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆， 当时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线． （2）当时，曲线C的方程为：，则， 设过点的直线为：， 由，消去x得， 设， 得，， 则， 直线：，直线：， 联立得：，解得， 直线与交于点Q在定直线上． （3）当时，曲线C的方程为：，， 设点，其中， 由对称性可知， 因为，所以， 因此，三点共线， 且， 由题干条件可得， 动点P到定点的距离与它到定直线的距离的比为常数， 设（不妨记为锐角），过点N作⊥轴于点，作⊥直线于点T， 直线与x轴交点为W， 则，， 故， 所以，解得， 同理由，解得， 所以， 所以为定值； 由椭圆定义，得，， 解得，同理可得， 所以 , 因为， 所以的周长为定值. 34．（2025·江苏·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，若上任一点到两条直线和的距离的平方差为． (1)求双曲线的方程； (2)设点为上任意一点，为过的直线．记过且与轴垂直的直线为．若与交于点，与直线交于点，证明：当时，为定值，并求出这个定值； 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为；【分析】（1）首先设任一点的坐标为，然后根据点到直线的距离公式结合已知条件列出等式，化简即可求得双曲线的方程. （2）首先根据已知条件将点的坐标求出来，然后根据两点距离公式列出的表达式，然后化简即可求得定值；【详解】（1）设上任一点，而直线转化为. 根据点到直线的距离公式可得： . 根据题意，化简得， 即. （2）由（1）可知，所以，所以点. 证明：依题意可知直线的方程为. 因为直线与直线交于点，所以将代入直线方程 可得到点的坐标为. 因为线与直线交于点，所以将代入直线方程 可得到点的坐标为. 所以，， 所以. 因为直线过点，所以，即. 所以为定值，且定值为. 35．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为． (1)求直线在y轴上的截距之和； (2)若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值； 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）设两条平行线的方程分别为，，联立椭圆并应用韦达定理及弦长公式得，进而可得，即得结果； （2）根据已知有，由（1）知点A与点C、点B与点D关于原点对称，结合韦达公式得，进而有，再应用平行线的距离公式证明结论； （3）由等比中项的性质得，设直线的方程为并联立得到、，再根据四边形的面积、求面积的范围. 【详解】（1）设两条平行线的方程分别为，， 由，得， 所以，即， 又． 所以 ， 同理，． 由平行四边形得，所以， 因为，所以，即， 所以两条平行线在y轴上的截距之和为0． （2）由四边形为菱形得，所以， 由（1）知关于原点对称， 由椭圆的对称性知点A与点C，点B与点D均关于原点对称， 所以 ． 整理得，所以直线之间的距离， 所以直线之间的距离为定值． 36．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知椭圆的一个焦点坐标是，短轴长是长轴长的 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，可得，，进而可得； （2）设直线的方程为，则，联立椭圆可得，进而得，，由直线的方程为，得，进而可得； 【详解】（1）由，，,得，， 所以椭圆的方程为； （2）    显然直线的的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，， 则点的坐标为，， 联立方程，消去整理， 则，且，， 又因为直线的方程为， 令，得Q的横坐标为 代入，，得 所以为定值. 题型七 向量数量积为定值问题（共7小题） 37．（25-26高二上·江苏常州·期中）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)设圆上的任意一点处的切线交椭圆于点，问： 是否为定值? 若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）由题意得，得，再由椭圆右顶点到双曲线渐近线的距离求得，进而得椭圆方程； （2）当切线的斜率不存在时，求出的坐标，计算；当切线的斜率存在时，设方程为，因为与圆相切求得的关系，将切线的方程代入椭圆，结合韦达定理及数量积的坐标运算得计算. 【详解】（1）双曲线的左右顶点分别为， 由题意得：，故， 双曲线渐近线方程为， 故椭圆右顶点到双曲线渐近线距离为， 因为，解得：，故， 所以椭圆方程为. （2）当切线的斜率不存在时，其方程为， 将代入，得， 不妨设，， ，， 所以； 当切线的斜率存在时，设方程为， 因为与圆相切，所以，即， 将代入，得， 所以， 又 ， 综上，. 38.已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【详解】（1）设，，因为，所以． 由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 将直线方程代入抛物线方程得． 因为，所以，得． 设线段AB的中点，则， 所以线段AB的中点到x轴的距离为1． （2）准线方程，设，，，，， 直线AM的斜率为，直线BM的斜率为， 直线AM的方程为，直线BM的方程为， 所以， ． 设直线AB的方程为：，代入抛物线方程得， ，所以， 所以 ． 所以为常数．    39．（2025高二上·江苏·专题练习）已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切． (1)求双曲线的方程； (2)已知点为双曲线的左焦点，在轴上存在定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值，求出此定值和所有的定点的坐标. 【答案】(1) (2)定点，定值1 【分析】（1）根据题意，利用点到直线的距离公式，求得，再由，求得，即可求得双曲线的方程； （2）法一、假设存在点满足条件，当直线方程为时，求得；再设直线，联立方程组，由，得到，且和，求得，结合，求得的值，得到答案； 法二：设，联立方程组，得到，且和，求得，结合，求得的值；当轴时，求得的坐标，得到，进而得到答案. 【详解】（1）解：由原点到直线的距离， 因为以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切，所以， 又因为双曲线的焦距为4，可得，所以，则， 所以双曲线的方程为. （2）解：法一：假设存在点满足条件， ①当直线方程为时，则， 所以； ②当直线方程不是时，可设直线， 联立方程组，整理得， 由，即，可得， 设，则， 所以， 当且仅当时，为定值1，解得， 因为不满足对任意时，所以不合题意，舍去； 当时，满足时， 综上可得：过定点任意作一条直线交双曲线于两点，使为定值1．- 法二：当直线不垂直轴时，设， 联立方程组，整理得， 由，可得， 设，可得， 则， 当且仅当时，为定值1，解得， 因为不满足对任意时，所以不合题意，舍去； 当时，满足时， 当直线轴时，，联立方程组，解得， 可得，且， 所以； 综上可得：过定点任意作一条直线交双曲线于两点，使为定值1．- 40．（2025·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过联立直线和抛物线方程得到交点纵坐标的关系，再根据直线方程求出特定点的纵坐标，最后通过坐标关系判断中点. （2）方法1通过对两个向量数量积等式进行变形和运算，消去从而得到的值；方法2则是利用向量数量积的关系以及等式之间的运算，结合一些代数恒等式来求解的值. 【详解】（1）设. 设，与抛物线联立，得， 则，即，同理可得. 又因为，令，得，同理， 将代入得，所以为的中点. （2）方法1：设，因为，得①， 由，得， ①②， 得， 即， 即. 因为，所以， 则，即为定值-4. 方法2：设，因为，所以， 即，同理得， 所以， 由，得①， 同理②，③， 由①-②，得④， 由①+②+③，得， 即， 而 故结合④可得， 则 ， 所以为定值-4. 41．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知两定点，，动点P满足到A与B的连线斜率乘积为1 (1)求P的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于A、B， （ⅰ）若A、B在y轴的右侧，且的面积为，求的方程； （ⅱ）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（）； (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在点. 【分析】（1）结合斜率公式利用直接法求轨迹方程即可； （2）（ⅰ）设直线l：，设，，联立直线与轨迹的方程，利用韦达定理和三角形的面积公式即可求解； （ⅱ）设，利用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合定值思想，可得. 【详解】（1）设，，， 由，化简得（）. （2） 设直线l：，代入得：， 整理得： 设，， 因为，均在双曲线的右支上，所以，且， 所以，. （ⅰ）所以， ，可得， ∴直线的方程为：. （ⅱ）假设存在轴上的定点，使得为定值. 因为，， 所以 . 因为为常数，所以， 此时. 所以存在点，使得为定值. 42．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若均在的右支上，且的周长为，求的方程； (3)是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点，使得为定值. 【分析】（1）根据双曲线中的意义和关系，可求的值，得到双曲线的方程. （2）先根据双曲线的定义，求出弦的长度；设直线：，与双曲线方程联立，利用弦长公式，可求的值，即得直线方程. （3）假设存在轴上的定点，使得为定值.结合（2）中的结论，根据为定值，可求的值. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. 所以双曲线的方程为：. （2）因为均在的右支上，且的周长为， 所以. 如图：    因为，设直线：，代入得： ， 整理得：. 设，， 因为均在的右支上，所以，且，所以， . 所以. 所以. 所以. 所以直线的方程为：，即. （3）假设存在轴上的定点，使得为定值. 因为，， 所以 . 因为为常数，所以. 此时. 所以存在点，使得为定值. 43．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点．是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）根据条件先求解出的值，再根据求解出的值，则椭圆方程可求； （2）设出的方程，联立椭圆方程与直线的方程可得纵坐标的韦达定理形式，再表示出的坐标，根据向量数量积运算以及韦达定理进行化简，从而可确定出符合条件的点坐标. 【详解】（1）由题意可知，，所以，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设，由题意可知直线的斜率不为，设， 联立，可得， 所以， 且，即， 直线的方程为，代入，则，所以， 同理可得， 所以， 所以 ， 当时，即，此时， 当时，即(舍去)，此时， 综上所述，存在或使得为定值. 题型八 定值类探索性问题（共5小题） 44.（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)点为双曲线的左右顶点，为双曲线上异于的点，求的值； (3)点在双曲线上，且为垂足，证明：存在定点，使得为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程，结合代入法进行求解即可； （2）根据直线斜率公式进行求解即可； （3）根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系、直角三角形的性质进行运算证明即可. 【详解】（1）由，因为在双曲线上， 所以有； （2）由题意可知，设， 则有， 所以； （3）因为，所以直线的斜率存在， 因此设直线的方程为，设， ， ，且 ， ，或， 当时，， 直线过点，不符合题意； 当时，， 因为， 所以是直角三角形，且， 当定点为斜边中点时，， 即存在定点，使得为定值. 45．（25-26高三上·上海·月考）已知椭圆的左，右焦点分别为、，直线与椭圆交于M、N两点，（点M在点N的上方），与y轴交于点E.    (1)求椭圆的离心率e； (2)若直线l过点时，设，，求证：为定值，并求出该值； (3)当k为何值时，恒为定值，并求此时三角形面积的最大值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，定值为； (3)，此时三角形面积的最大值为1. 【分析】（1）根据椭圆方程确定椭圆参数，应用直接法求离心率即可； （2）联立与得到一元二次方程，由已知向量的线性关系及其坐标表示得，结合韦达定理求出答案； （3）先联立椭圆与直线，应用韦达定理表示出，结合为定值得，并求出，和点到直线的距离，利用基本不等式得. 【详解】（1）由，则，故，所以离心率； （2）由题设，联立与得，，    设，则， 因为，所以 ； （3）由题设，联立，消元得，设， 当，即时，则， ， 则 ， 当为定值时，即与无关，故，得， 此时， 又点到直线的距离， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 经检验，此时成立，所以面积的最大值为1. 46．（25-26高二上·河南·期中）已知右焦点为的椭圆过点. (1)求的方程； (2)若点在上，点为圆上一点，求的最大值； (3)过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在 【分析】（1）由求解； （2）利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可； （3）由题意得直线的斜率不为0，故设的方程为，将直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可. 【详解】（1）由题意得 解得，所以的方程为. （2）设，由题意知， 所以， 因为，所以当时，， 所以. （3）由题意得直线的斜率不为0， 故设的方程为 联立直线与的方程，得消去并整理，得， 所以. 所以. 联立直线与抛物线的方程， 得消去并整理， 得， 所以， 所以， 所以， 若为定值，则，即， 所以存在，使得为定值.    47．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)为定值 【分析】（1）根据条件，列式求的值，可得双曲线的标准方程. （2）中点弦的问题，可用“点差法”求解. （3）设直线方程，代入双曲线方程，利用韦达定理，表示出，，再结合，探索的值. 【详解】（1）由题意可得：. 所以双曲线的标准方程为：. （2）设，， 则， 两式相减得：， 又线段的中点为，所以， 所以，即直线的斜率为1. 所以直线的方程为：即. 直线过点，故直线与双曲线相交，满足条件； （3）如图： 因为直线过点，且与轴相交，所以直线必存在斜率. 设直线方程为：，代入双曲线方程得. 整理得：（）. 设，， 则，. 又，， 所以 ，为定值. 48．（2025·上海徐汇·一模）已知抛物线的焦点为，准线为．    (1)若点在抛物线上，求所在直线的斜率； (2)若准线，点为抛物线准线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．若两条切线、与轴分别交于点、，求的最小值； (3)若点到准线的距离为，过抛物线的准线上一点作圆的两条切线、，且、分别与交于、两点和、两点．问：是否存在某个圆，使得当点运动时，为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，且定值为 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出该抛物线的标准方程，可求出其焦点的坐标，再利用斜率的斜率公式可求出直线的斜率； （2）设点，由题意可知，切线、的斜率都存在，设这两条切线的斜率分别为、，设过点的切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径得出，结合韦达定理得出，，求出、的坐标，结合韦达定理可求出的最小值； （3）设点，设过点的切线的方程为，因为圆心到切线的距离为，可得出，设切线、的斜率分别为、，则、为该方程的两根，利用韦达定理得出，，将直线的方程与抛物线的方程联立，可得出，同理可得出，化简的表达式，根据韦达定理结合为定值可求得的值，即可得出结论. 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得， 故抛物线的标准方程为，其焦点为， 故直线的斜率为. （2）圆的标准方程为，则圆心为，半径为， 因为抛物线的准线方程为，即，可得，故抛物线的方程为， 设点，由题意可知，切线、的斜率都存在，设它们的斜率分别为、， 不妨设过点的切线方程为，即， 由题意知，圆心到直线的距离为，即， 整理可得， 依题意，、是关于的方程的两根， 所以，且，， 易知直线的方程为，令可得，即得点，同理点， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. （3）若点到准线的距离为，即，故抛物线的方程为， 其准线的方程为，设点， 圆的圆心为，半径为，    由题意可知，过点的切线的斜率存在，设过点的切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离为，则， 整理可得， 设切线、的斜率分别为、， 则、为关于的方程的两根， 故，， 将直线的方程与抛物线的方程联立，可得， 由韦达定理可得，同理可得， 故 为定值，则， 因为，解得， 故当时，即存在定圆，使得当点运动时，为定值. 题型九 定直线问题（共8小题） 49.（25-26高二上·吉林长春·期中）已知椭圆分别是的左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且， ①若直线交于点，证明点在定直线上，并求出该定直线的方程； ②证明：直线过定点，并求出此定点坐标. 【答案】(1) (2)①证明见详解，；②证明见详解，. 【分析】（1）根据条件得出的关系，求解方程可得答案； （2）①根据斜率关系分别设出直线方程，求解交点可证；②联立方程分别求出的坐标，写出直线方程，化简可得直线过定点. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为的最大值为3，所以； 因为当为椭圆上顶点时，为等边三角形，所以，解得， 所以，即椭圆的标准方程为. （2）①证明：由（1）知，; 设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为， 直线的方程为， 联立，可得，即点在定直线上. ②证明：设，联立，得， 则有，解得，，即； 联立，得， 由得，，即； 设直线的斜率为， 当时，即时， 则. 所以直线的方程为， 即，所以直线过定点. 当，若，则,,此时直线的方程为； 若，则,,此时直线的方程为； 综上可得，直线恒过定点. 50.（25-26高二上·江苏连云港·期中）在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过的直线交曲线于两点，过与直线垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． 求证：（ⅰ）直线过定点； （ⅱ）直线，的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）结合抛物线的定义即可求解； （2）（ⅰ）分别联立直线与抛物线、直线与抛物线方程得到点，的坐标，从而得到直线的方程，即可得到直线过定点；（ⅱ）联立直线与的方程得到，即可求证； 【详解】（1）因为直线和距离为1， 由题意点到直线的距离与到点的距离相等， 由抛物线的定义可得动点的轨迹方程为： （2） 设，，，， （ⅰ）设直线的方程为，的方程为，因为直线与直线垂直，所以， 联立得， 则，，，， 所以， 同理可得 当时，：， 即 ， 因为，所以直线的方程为， 故当时，，此时过定点， 当时，由得，此时直线的方程为，同样经过点， 所以直线过定点，该定点为. （ⅱ）由抛物线方程得，， 则：， 同理可得：， 联立得， 即， 由，同理， 故， 所以， 即直线，的交点在定直线上. 51.（25-26高三上·江苏南京·期中）已知双曲线，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，点在线段上，且与端点不重合． (1)求双曲线的离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线分别与轴交于点，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1)2 (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）根据双曲线方程得，利用，最后利用离心率公式即可求解； （2）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （3）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上. 【详解】（1）由双曲线方程得，，， 所以焦距，离心率； （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意， 故直线的斜率存在，设直线的方程为， 所以，得． 设，， 由题意，得， 解得， 因为为中点，所以， 由，因，则, 得， 又，解得， 所以直线的斜率为； （3）直线的方程为，令，得， 同理可得，，， 由为中点，可得， 即， 所以， 即， 所以在定直线上． 52.（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件先找出直线的方程，联立直线和抛物线方程解出，从而得出的值建立方程求出的值即可； （2）由抛物线的对称性进行分析后，设直线，联立直线和抛物线方程，分析写出韦达定理，分别求出直线的方程，联立两直线方程分析即可得出结论. 【详解】（1）如图所示： 抛物线的焦点，则直线， 由得， 依题意，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由抛物线对称性，不妨令点在轴上方， 由（1）知，，焦点， 显然直线不垂直于坐标轴， 设其方程为，如图所示： 由消去得：， 因为， 设，，所以， 直线的斜率为:，方程为， 直线的斜率为:，方程为， 由，消去得：， 整理得： ， 因此点的横坐标恒为， 所以点在定直线上. 53.（24-25高三上·江苏扬州·期末）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆，它的离心率是其伴随双曲线的离心率的倍． (1)求双曲线的方程； (2)过和的右焦点分别作两条平行直线，直线与交于两点，直线与的右支交于两点，且在轴上方． （ⅰ）若的面积为，求直线的方程； （ⅱ）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）：或．（ⅱ）T在定直线上． 【分析】（1）根据离心率公式即可求解， （2）联立直线与曲线方程，得韦达定理，根据三角形的面积公式即可求解得解（ⅰ），对于（ⅱ），根据求根公式可得方程的根，猜测T所在的直线方程即为，然后利用，代入斜率公式化简验证猜想即可求解，或者利用思路2，联立两直线方程可得，代入两根化简可得求解，或者利用设点法，根据斜率公式或者向量共线的坐标关系，化简求解. 【详解】（1）因为椭圆的离心率是双曲线离心率的倍， 所以，解之得． 所以椭圆伴随双曲线的方程为． （2）（ⅰ）由题可知，， 因为直线，所以设直线：，：． 设，，，． 由得（*）， 则 因为，所以P到直线的距离等于到直线的距离， 所以， 又，所以，即， 即，则， 所以或（舍），所以， 经检验此时直线与的右支有两个交点， 故：或． （ⅱ）方法一：设线法 由（ⅰ）中的方程（*），可得， 因为，所以． 由得（**）， 因为与右支交于P、Q两点，所以 由方程（**），可得， 因为，所以． 思路1：由图形的对称性可知直线FP与直线的交点T在垂直于x轴的直线上，当MN、PQ均垂直于x轴时，，此时T在直线上，故猜测T所在的直线方程即为． 又，，若T在直线上，则，也即． 下面，证明． 路径①：因为， 又，所以， 又，所以， 所以， 则，所以，所以T在线段的中垂线上， 故T在定直线上． 路径②：因为， 而 ， 则，所以，所以T在线段的中垂线上，故T在定直线上． 思路2：因为： ， 由得， 所以，解之得．故T在定直线上． 方法二：设点法 思路1：由图形的对称性可知直线FP与直线的交点T在垂直于x轴的直线上，当MN、PQ均垂直于x轴时，，此时T在直线上，故猜测T所在的直线方程即为． 当时，此时轴，轴，，矩形对角线的交点T在线段的中垂线上． 当时，只要证明，即只要证明． 由直线可得，即， 所以只要证，即只要证， 又点在椭圆上，点在双曲线上，所以则， 所以，即， 关于整理得， 即， 则，所以或． 下面证明不符合要求． 因为，所以，所以或 而当时，；当时，． 所以不符合要求，故． 综上所述，T在定直线上． 思路2：由（ⅰ）知，，， 由直线可得，设， 则，即则 因为点M在椭圆上，点P在双曲线上， 所以 两式相加得， 则， 又，所以，即， 令，则， 故T在定直线上． 54.（24-25高三上·江苏常州·期末）平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，其右焦点与抛物线的焦点重合． (1)求，的方程； (2)点是上位于第一象限的动点，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．问点是否在一条定直线上，若在，求出直线的方程；若不在，说明理由． 【答案】(1)，． (2)点在定直线上 【分析】（1）易知椭圆的焦点在轴上，根据离心率求出的方程，得到焦点坐标，进而得到的方程； （2）利用导数求出点处切线的斜率，设，，利用点差法得到直线的斜率与直线的斜率之间的关系，进而得到直线的方程，令即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合， 所以椭圆的焦点在轴上，又因为椭圆离心率为， 所以，解得， 所以椭圆，右焦点为，所以，， 所以抛物线； （2） 由题可设， 当时，由得，， 所以点处切线的斜率为， 设，，则， 因为，在椭圆上，所以， 两式作差得，即， 所以直线的方程为， 令，解得，所以， 所以点在定直线上运动. 55.（24-25高二上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义，以及题中条件，即可得出双曲线的方程； （2）设，，先由题中条件，得到直线斜率为正，设直线的方程为：，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，以及，列出方程组求解即可； （3）同（2）设，，直线的方程为：，得，；直线的方程为；写出直线的方程，进而求出点横坐标，得出点坐标，求出直线的方程与联立，即可求出点横坐标，从而证明结论成立. 【详解】（1）因为， 所以点P的轨迹是以,为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，，则，， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得代入②可得，即，解得(负值舍去)， 因此直线的方程为：，即； （3）同（2）设，，直线的方程为：， 则，； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由得， 则，所以， 即, 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 56.（24-25高二上·江苏南京·期中）设a为实数，点在双曲线上． (1)求双曲线C的方程； (2)过点作斜率为k的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足． ①求斜率k的取值范围； ②证明：点H恒在一条定直线上． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）由点在双曲线上，代入解出即可； （2）①设出直线方程，直曲联立，消去，利用方程有两个正根，得到判别式大于零，两根之和和积大于零求出取值范围即可； ②设，表示出韦达定理，由题中线段长度的关系得到，再结合韦达定理化简，求出定直线即可； 【详解】（1）因为点在双曲线C上，所以，整理得， 即，解得，则双曲线C的方程为； （2）（ⅰ）易知直线l的方程为，即， 联立，消去y并整理得， 设，， 因为直线l与双曲线的右支有两个不同的交点M，N， 所以关于x的方程有两个不同的正数根，， ， 解得，则斜率k的取值范围为； （ⅱ）设， 由（ⅰ）得，， 因为，，， 又P，M，N，H在同一直线l上，所以，， 由得，即， 化简得，所以， 整理得，解得，即 又点在直线上，所以 即，整理得，故点H恒在定直线上．    $专题06 圆锥曲线中的定点、定值、定直线9类综合问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线过定点问题（共6小题） 1．（25-26高三上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为上有两个不同动点. (1)若直线过点，求证：； (2)已知定点，若线段的长度依次成等差数列； （i）求证：线段的垂直平分线经过一个定点； （ii）若（i）中的定点到原点的距离为，求面积的最大值. 2．（25-26高二上·江苏常州·期中）椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，过点作关于轴对称的直线，，与椭圆交于，两点，且直线不平行轴，那么直线是否过定点？若是，求出定点；若不是，说明理由. 3．（25-26高二上·江苏扬州·期中）动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，，当面积最大时，求的值； (3)已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 4．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知双曲线(，)经过，两点，其左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)记点，直线，与的左支分别交于点，，证明：直线过定点． 5．（2025·江苏·一模）已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为．点在的渐近线上，过的直线与交于两点，直线分别与轴交于两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； (3)证明：线段的中点为定点． 6．（2025·浙江宁波·一模）已知椭圆的离心率为，是上的点. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 题型二 圆过定点问题（共5小题） 7．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知双曲线：的离心率为，与轴交于点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若动直线：与双曲线交于异于点的不同两点，. ①若，求此时直线的方程； ②经过，，三点的动圆是否经过异于点的定点，如果存在，请求出定点坐标；如果不存在，请说明理由. 8．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程． (2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点． ①求证：直线过定点； ②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 9．（25-26高三上·上海·月考）已知抛物线的焦点为F，准线为l. (1)写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线与相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 10．（24-25高二上·重庆·月考）已知椭圆的左右焦点为，点为椭圆上异于左右顶点的任意一点，的周长为6，椭圆的离心率为. (1)求该椭圆的方程； (2)已知定点，过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点（与点不重合），延长分别与直线交于两点. （i）当直线斜率不存在时，求的面积； （ii）证明：以线段为直径的圆与轴的交点为定点. 11．（24-25高二上·天津·期中）已知椭圆：，A点为椭圆短轴的上端点，P点为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知，椭圆的离心率 (1)求椭圆的标准方程； (2)试判断椭圆是否是“圆椭圆”?并证明你的结论； (3)Q点为P点关于原点O的对称点，Q点也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点?证明你的结论． 题型三 定点类探索性问题（共7小题） 12．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．    (1)求椭圆的方程； (2)已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标：若不存在说明理由． 13．（2025·江苏宿迁·三模）已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6. (1)求的方程； (2)已知是上一动点，，当为的右顶点时，取得最小值，求的取值范围； (3)若动直线与交于点，点是轴正半轴上异于点的一定点，若直线的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值. 14．（2025·江苏常州·模拟预测）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴､轴，且点和点在椭圆上 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，若，是否存在定点，使得直线的倾斜角互补？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 15．（24-25高三上·北京通州·期末）已知椭圆，以椭圆的一个焦点和短轴端点为顶点的三角形是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)斜率存在且不为0的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点. 在轴上是否存在定点，使得（为坐标原点）？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 16．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线 与椭圆C交于A、B两点. ①若直线l过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线l过定点 ，且， 在x轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 17．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 18．（2025·广东·二模）已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上.点为直线上的动点，直线与直线的斜率之比为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的长轴上是否存在定点，使得直线与椭圆交于两点，当点在直线上运动时，恒构成等差数列？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 题型四 面积为定值问题（共6小题） 19．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的渐近线与圆相切． (1)求双曲线的方程． (2)已知双曲线，（在轴上方，在轴下方）是右支上两个不同的点，直线与的一个交点为，，连接（为坐标原点）分别交于点． ①判断四边形的形状； ②证明的面积为定值，并求出这个定值． 20．（2025·内蒙古包头·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 21．（2025·江苏·模拟预测）如图所示，分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，扇形的面积为． （注：题目中把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中为半椭圆的右焦点） (1)求的值； (2)过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于两点，试将的周长表示为的函数； (3)在（2）的条件下，当的周长取得最大值时，探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围． 22．（24-25高三上·江苏南通·期末）已知椭圆（）的离心率为，且经过点.定义第n（）次操作为：经过C上点作斜率为k的直线与C交于另一点，记关于x轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. (1)求C的方程； (2)若为C的左顶点，经过3次操作后停止，求k的值； (3)若，是C在第一象限与A不重合的一点，证明：的面积为定值. 23．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3. (1)求椭圆C的方程； (2)若点P在第一象限且轴，求的角平分线所在直线的方程； (3)过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴对称的点为D（异于点B），直线交x轴于点E，记与的面积分别为，.求证：为定值. 24．（2024·江苏苏州·模拟预测） 已知椭圆 与圆 在第一、第四象限分别交于 Q、P 两点，且满足 (1)求椭圆γ的标准方程； (2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值. 题型五 斜率为定值问题（共6小题） 25．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知椭圆 的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程. (2)点在上，过点的直线交椭圆于两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线的斜率分别为. ①证明：为定值; ②证明：直线过线段的中点. 26．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 27．（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. (1)求双曲线E的方程； (2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 28．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2，且点在椭圆M上．过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B，C两点． (1)求椭圆M的方程； (2)证明直线BC的斜率为定值； (3)求面积的最大值． 29．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线、的斜率分别为、，且过定点 ①设和的面积分别为、，求的最大值； ②求证：为定值，并求出该定值． 30．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 题型六 线段长为定值问题（共6小题） 31．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 32．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且椭圆经过点 (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆上任意一点，求证：到距离与到直线距离之比为定值； 33．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知动点P到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数．其中，，且，记点P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明轨迹的形状； (2)当时，记C的左、右顶点分别为，过点的直线与C的左支交于D，E两点，直线与交于点Q，求证：点Q在定直线上； (3)当时，设，若C上两动点M，N均在x轴上方，，且与相交于点R，求证：的周长为定值． 34．（2025·江苏·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，若上任一点到两条直线和的距离的平方差为． (1)求双曲线的方程； (2)设点为上任意一点，为过的直线．记过且与轴垂直的直线为．若与交于点，与直线交于点，证明：当时，为定值，并求出这个定值； 35．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为． (1)求直线在y轴上的截距之和； (2)若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值； 36．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知椭圆的一个焦点坐标是，短轴长是长轴长的 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值； 题型七 向量数量积为定值问题（共7小题） 37．（25-26高二上·江苏常州·期中）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)设圆上的任意一点处的切线交椭圆于点，问： 是否为定值? 若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 38.已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 39．（2025高二上·江苏·专题练习）已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切． (1)求双曲线的方程； (2)已知点为双曲线的左焦点，在轴上存在定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值，求出此定值和所有的定点的坐标. 40．（2025·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 41．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知两定点，，动点P满足到A与B的连线斜率乘积为1 (1)求P的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于A、B， （ⅰ）若A、B在y轴的右侧，且的面积为，求的方程； （ⅱ）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 42．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若均在的右支上，且的周长为，求的方程； (3)是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 43．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点．是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型八 定值类探索性问题（共5小题） 44.（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)点为双曲线的左右顶点，为双曲线上异于的点，求的值； (3)点在双曲线上，且为垂足，证明：存在定点，使得为定值. 45．（25-26高三上·上海·月考）已知椭圆的左，右焦点分别为、，直线与椭圆交于M、N两点，（点M在点N的上方），与y轴交于点E.    (1)求椭圆的离心率e； (2)若直线l过点时，设，，求证：为定值，并求出该值； (3)当k为何值时，恒为定值，并求此时三角形面积的最大值. 46．（25-26高二上·河南·期中）已知右焦点为的椭圆过点. (1)求的方程； (2)若点在上，点为圆上一点，求的最大值； (3)过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 47．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 48．（2025·上海徐汇·一模）已知抛物线的焦点为，准线为．    (1)若点在抛物线上，求所在直线的斜率； (2)若准线，点为抛物线准线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．若两条切线、与轴分别交于点、，求的最小值； (3)若点到准线的距离为，过抛物线的准线上一点作圆的两条切线、，且、分别与交于、两点和、两点．问：是否存在某个圆，使得当点运动时，为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 题型九 定直线问题（共8小题） 49.（25-26高二上·吉林长春·期中）已知椭圆分别是的左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且， ①若直线交于点，证明点在定直线上，并求出该定直线的方程； ②证明：直线过定点，并求出此定点坐标. 50.（25-26高二上·江苏连云港·期中）在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过的直线交曲线于两点，过与直线垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． 求证：（ⅰ）直线过定点； （ⅱ）直线，的交点在定直线上． 51.（25-26高三上·江苏南京·期中）已知双曲线，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，点在线段上，且与端点不重合． (1)求双曲线的离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线分别与轴交于点，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程． 52.（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 53.（24-25高三上·江苏扬州·期末）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆，它的离心率是其伴随双曲线的离心率的倍． (1)求双曲线的方程； (2)过和的右焦点分别作两条平行直线，直线与交于两点，直线与的右支交于两点，且在轴上方． （ⅰ）若的面积为，求直线的方程； （ⅱ）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 54.（24-25高三上·江苏常州·期末）平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，其右焦点与抛物线的焦点重合． (1)求，的方程； (2)点是上位于第一象限的动点，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．问点是否在一条定直线上，若在，求出直线的方程；若不在，说明理由． 55.（24-25高二上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 56.（24-25高二上·江苏南京·期中）设a为实数，点在双曲线上． (1)求双曲线C的方程； (2)过点作斜率为k的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足． ①求斜率k的取值范围； ②证明：点H恒在一条定直线上． $