3.4 第2课时 二次函数性质的综合应用-【木牍中考】安徽中考十年（2016-2025）数学真题分类汇编

3.4 二次函数 第2课时 二次函数性质的综合应用 一、二次函数性质的综合应用 1．（2025安徽中考第23题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 2．（2024安徽中考第23题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 3.（2023安徽中考第23题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 4．（2021安徽中考第22题）已知抛物线的对称轴为直线． （1）求a的值； （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比． 5．（2019安徽中考第22题）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点 （1）求k，a，c的值； （2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值. 6．（2016安徽中考第22题）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值． 参考答案与解析 一、二次函数性质的综合应用 1．（2025安徽中考第23题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】(1)对称轴是直线 (2) ； ， 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得， ，即， 所以， 故所求抛物线的对称轴是直线． （2）解：①由（1）可知，抛物线的解析式为． 又， 故． 因为抛物线过原点，且点A与原点不重合，所以． 于是， 故． ②由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，． 故，即． 于是． 依题意知，是与无关的定值． 则，解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． 所以，． 2．（2024安徽中考第23题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）3；（ⅱ） 【详解】（1）解：， ∴的顶点为， ∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1， ∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2， ∴， ∴； （2）由（1）得 ∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ， 整理得： （ⅰ）∵， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）将代入， 整理得， ∵， ∴当，即时，h取得最大值为． 3.（2023安徽中考第23题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（2） 【详解】（1）解：依题意，，解得：， ∴； （2）（ⅰ）设直线的解析式为， ∵，∴,解得，∴直线， 如图所示，依题意，，，，    ∴， ， ∴当时，与的面积之和为， （ⅱ）当点在对称右侧时，则，∴， 当时，， ∴，∴， 解得：，    当时，， ∴， ∴， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，． 4．（2021安徽中考第22题）已知抛物线的对称轴为直线． （1）求a的值； （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【详解】解：（1）由题意得： （2）抛物线对称轴为直线，且 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大． 当时，y1随x1的增大而减小， 时，，时，, 同理：时，y2随x2的增大而增大 时，．             时， ,   （3）令        令, AB与CD的比值为 5．（2019安徽中考第22题）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点 （1）求k，a，c的值； （2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值. 【答案】（1）k=2，a=2，c=4；（2）, W取得最小值7. 【详解】解：（1）由题意得，k+4=2，解得k=2， ∴一次函数解析式为：y=2x+4 又二次函数顶点横坐标为0，∴顶点坐标为（0,4）,∴c=4 把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=2 （2）由（1）得二次函数解析式为y=2x2+4，令y=m，得2x2+m4=0 ∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则， ∴W=OA2+BC2= ∴当m=1时，W取得最小值7 6．（2016安徽中考第22题）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值． 【答案】（1） , b=3 ;（2）16 【详解】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2+bx， 得，解得：； （2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD、CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F， 设C坐标为（x，x2+3x）， S△OAD＝OD•AD＝×2×4＝4； S△ACD＝AD•CE＝×4×（x2）＝2x4； S△BCD＝BD•CF＝×4×（x2+3x）＝x2+6x， 则S＝S△OAD+S△ACD+S△BCD＝4+2x4x2+6x＝x2+8x， ∴S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+8x（2＜x＜6）， ∵S＝﹣x2+8x＝（x4）2+16， ∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16． 试卷第1页，共3页 立足安徽 精准备考 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $