4.5 培优课 函数零点的综合问题（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦函数零点存在定理应用及一元二次方程根的分布，系统梳理已知零点区间、个数求参数范围的方法，递进至根的分布问题，构建完整知识支架。 通过分层例题（如零点区间与个数问题）、规律方法总结（直接法、分离参数法等），结合数形结合（例2换元转化图象交点）与逻辑推理（例3根分布分类讨论），培养直观想象与数学运算素养，课中助教师授课，课后利学生巩固查漏。

重点解读 1.进一步应用函数零点存在定理，已知零点（方程的解）的情况求参数范围（逻辑推理、数学运算）. 2.掌握一元二次方程的根的分布情况（直观想象、数学运算）. 一、根据零点情况求参数值（范围） 角度1　已知零点区间求参数范围 【例1】　函数f（x）＝2x＋log2（x－1）－的零点在区间（2，3）内，则实数a的取值范围为（　　） A. B.（4，18） C.（8，9） D.（8，18） 解析：D　函数f（x）＝2x＋log2（x－1）－在定义域（1，＋∞）上连续且单调递增，已知函数零点在区间（2，3）内，则f（2）＜0，f（3）＞0，解得a∈（8，18）.故选D. 角度2　已知零点个数求参数 【例2】　已知函数f（x）＝a·9x＋3x－2. （1）当a＝1时，求函数f（x）的零点； 解：当a＝1时，f（x）＝9x＋3x－2＝＋3x－2＝（3x＋2）（3x－1）， 令f（x）＝0，则3x－1＝0，解得x＝0， ∴f（x）有唯一零点x＝0. （2）若函数f（x）恰好有两个零点，求实数a的取值范围. 解：令f（x）＝0，则a＝＝2×－， 令＝t，∵＞0，∴t＞0，令g（t）＝2t2－t（t＞0）， ∵f（x）恰好有两个零点，∴y＝a与g（t）图象有两个不同的交点， ∵y＝g（t）＝2t2－t的对称轴为t＝－＝，开口向上，∴g（t）min＝2×－＝－， 又当t＝0时，g（0）＝0，g（t）图象如图所示， ∴当－＜a＜0时，y＝a与g（t）有两个不同的交点，即f（x）恰好有两个零点， ∴实数a的取值范围为. 【规律方法】 　　已知函数有零点（方程有根）求参数值（范围）的方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用数形结合的方法求解. 训练1　（1）已知函数f（x）＝20·3－x－x的零点x0∈（k，k＋1），k∈Z，则k＝2； 解析：因为函数y＝3－x为R上的减函数，故函数f（x）＝20·3－x－x为R上的减函数，又f（2）＝20·3－2－2＝－2＝＞0，f（3）＝20·3－3－3＝－3＜0，故f（x）＝20·3－x－x在（2，3）上有唯一零点，结合题意可知k＝2. （2）已知函数f（x）＝g（x）＝f（x）－m，若函数g（x）有三个零点，则m的取值范围是（0，1）. 解析：由题得y＝f（x）与y＝m的图象有三个交点，作出函数y＝f（x）的图象如图所示， 当x＝e时，f（e）＝1，则m的取值范围是0＜m＜1. 二、一元二次方程根的分布问题 【例3】　已知关于x的方程x2＋2（m－1）x＋2m＋6＝0. （1）若方程有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4，求实数m的取值范围； 解：设f（x）＝x2＋2（m－1）x＋2m＋6， f（x）的大致图象如图1所示， ∴ 解得－＜m＜－， ∴实数m的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围. 解：方程至少有一个正根，则有三种可能的情况， ①有两个正根，此时如图2，可得 即∴－3＜m≤－1. ②有一个正根，一个负根，此时如图3，可得f（0）＜0，得m＜－3. ③有一个正根，另一根为0，此时如图4，可得∴m＝－3. 综上所述，当方程至少有一个正根时，实数m的取值范围为（－∞，－1]. 【规律方法】 　　一元二次方程根的分布问题可转化为二次函数的图象与x轴交点的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负情况，用根与系数的关系进行限制. 训练2　（1）已知关于x的方程x2－2x＋m＝0的两根同号，则m的取值范围是（　C　） A.m≤1 B.m≤0 C.0＜m≤1 D.0≤m≤1 解析：关于x的方程x2－2x＋m＝0的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零，则有解得0＜m≤1，故选C. （2）已知二次函数y＝x2－6x＋m的两个零点都在区间[2，＋∞）内，则实数m的取值范围是（　C　） A.（－∞，9） B.（8，9） C.[8，9） D.（8，＋∞） 解析：设f（x）＝x2－6x＋m，因为二次函数y＝x2－6x＋m的两个零点都在区间[2，＋∞）内，所以则即故实数m的取值范围是[8，9）.故选C. 1.已知2是函数f（x）＝xn－8（n为常数）的零点，且f（m）＝56，则m的值为（　　） A.－3 B.－4 C.4 D.3 解析：C　因为2是函数f（x）＝xn－8（n为常数）的零点，所以2n＝8，得n＝3，所以f（x）＝x3－8，因为f（m）＝56，所以m3－8＝56，得m＝4，故选C. 2.若函数f（x）＝mx－m＋1在区间[0，1]上无零点，则m的取值范围为（　　） A.0＜m＜1 B.m＞1 C.m＜0 D.m＜1 解析：D　当m＝0时，则f（x）＝1，此时f（x）无零点，符合题意；当m≠0时，令f（x）＝0，则x＝，故x＝＜0或x＝＞1，解得0＜m＜1或m＜0，综上可知f（x）＝mx－m＋1在区间[0，1]上无零点，则m＜1，故选D. 3.若函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c有三个零点0，1，x0，且x0∈（1，2），则a的取值范围是（　　） A.（－2，0） B.（1，2） C.（2，3） D.（－3，－2） 解析：D　因为函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c有三个零点0，1，x0，所以解得所以f（x）＝x3＋ax2＋（－1－a）x＝x（x－1）（x＋a＋1），所以x0＝－1－a，又x0∈（1，2），所以1＜－1－a＜2，解得－3＜a＜－2. 4.已知函数f（x）＝若函数y＝f（x）－m2有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（　　） A.（0，1） B.{－1，0，1} C.[0，1] D.{0，1} 解析：B　由y＝f（x）－m2有两个不同的零点，即方程f（x）＝m2有两个不同的解，即函数y＝f（x）与y＝m2的图象有两个不同的交点，画出函数y＝f（x）的图象，如图所示，结合图象可得m2＝1或m2＝0，解m＝±1或m＝0，即m∈{－1，0，1}.故选B. 5.已知f（x）＝（x－a）（x－b）－2的零点为α，β，那么a，b，α，β大小关系可能是（　　） A.α＜a＜b＜β B.a＜α＜β＜b C.a＜α＜b＜β D.α＜a＜β＜b 解析：A　由题意：f（x）＝（x－a）（x－b）－2的零点为α，β，则f（α）＝0，f（β）＝0，令g（x）＝（x－a）（x－b），则g（a）＝0，g（b）＝0，而f（x）＝g（x）－2，则其图象可由g（x）＝（x－a）（x－b）图象向下平移2个单位长度得到，故可作出函数f（x），g（x）的大致图象如图，由此可知a，b应介于α，β两数之间，结合选项可知可能的结果为α＜a＜b＜β，故B、C、D错误，A正确，故选A. 6.〔多选〕已知函数f（x）＝ax－x－a（a＞0，a≠1），则下列说法中正确的是（　　） A.当a＞1时，f（x）有1个零点 B.当a＞1时，f（x）有2个零点 C.当0＜a＜1时，f（x）没有零点 D.当0＜a＜1时，f（x）有1个零点 解析：BD　在同一平面直角坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，当a＞1时，如图1，y＝ax与y＝x＋a有2个交点，则f（x）有2个零点；当0＜a＜1时，如图2，y＝ax与y＝x＋a有1个交点，则f（x）有1个零点. 7.〔多选〕已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），分析该函数图象的特征，若方程f（x）＝0一根大于3，另一根小于2，则下列推理一定成立的是（　　） A.2＜－＜3 B.4ac－b2≤0 C.f（2）＜0 D.f（3）＜0 解析：CD　函数f（x）的大致图象如图所示，方程f（x）＝0一定有两实数根，故Δ＝b2－4ac＞0，所以4ac－b2＜0，故B错误；由图可知，必有f（2）＜0，f（3）＜0，所以C、D一定成立；若f（x）＝x2－7x＋6，方程f（x）＝0的根为x1＝1＜2，x2＝6＞3，此时－＝，所以此时2＜－＜3不成立.故A错误.故选C、D. 8.已知函数f（x）＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝1，b＝2. 解析：∵函数f（x）＝3x＋x－5，∴f（1）＝31＋1－5＝－1＜0，f（2）＝32＋2－5＝6＞0，∴f（1）f（2）＜0，且函数f（x）在R上是增函数，∴f（x）的零点x0在区间[1，2]内.∴a＝1，b＝2. 9.试写出一个实数a＝1（答案不唯一），使得函数f（x）＝ax2＋4x－1在（－1，1）上恰有一个零点. 解析：不妨取a＝1，则f（x）＝x2＋4x－1，则f（1）＝4，f（－1）＝－4，即得f（1）f（－1）＜0，又f（x）＝x2＋4x－1图象的对称轴为x＝－2，则f（x）在（－1，1）上单调递增，故f（x）＝x2＋4x－1在（－1，1）上恰有一个零点. 10.已知函数f（x）＝若存在实数x1，x2，x3，当x1＜x2＜x3时，有f（x1）＝f（x2）＝f（x3）成立，则（x1＋x2）·f（x3）的取值范围是（－8，－4]. 解析：由解析式可得图象如图所示， 由图象知，∃x1，x2，x3∈R，当x1＜x2＜x3时，有f（x1）＝f（x2）＝f（x3）成立，则f（x1）＝f（x2）＝f（x3）∈[2，4），且＝－1，即x1＋x2＝－2，∴（x1＋x2）·f（x3）∈（－8，－4]. 11.已知函数f（x）＝x2－bx＋3. （1）若f（0）＝f（4），求函数f（x）的零点； （2）若函数f（x）一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围. 解：（1）由f（0）＝f（4）得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f（x）＝x2－4x＋3，令f（x）＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1. 所以f（x）的零点是1和3. （2）因为f（x）的零点一个大于1，另一个小于1，如图. 需f（1）＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4. 故b的取值范围为（4，＋∞）. 12.已知函数f（x）＝2x－4x－m，x∈[－1，1]. （1）当m＝－2时，求函数f（x）的零点； （2）若函数f（x）在[－1，1]上有零点，求实数m的取值范围. 解：（1）当m＝－2时，f（x）＝2x－4x＋2， 令2x－4x＋2＝0，得2x＝2或2x＝－1（舍去），解得x＝1. ∴函数f（x）的零点为1. （2）f（x）＝2x－4x－m＝0⇔2x－4x＝m， 令g（x）＝2x－4x， 函数f（x）有零点等价于方程2x－4x＝m有解，等价于m在g（x）的值域内， 设t＝2x，∵x∈[－1，1]，∴t∈， 则y＝t－t2＝－＋， 当t＝时，ymax＝，当t＝2时，ymin＝－2. ∴g（x）的值域为. ∴m的取值范围为. 13.若在定义域内存在实数x0，使f（x0＋1）＝f（x0）＋f（1）成立，则称函数有“漂移点”x0. （1）请判断函数f（x）＝是否有漂移点？并说明理由； （2）求证：函数f（x）＝x2＋3x在（0，1）上存在漂移点； （3）若函数f（x）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移点，求实数a的取值范围. 解：（1）假设函数f（x）＝有“漂移点”x0，则＝＋2， 即＋x0＋1＝0，由此方程无实根，与题设矛盾，所以函数f（x）＝没有漂移点. （2）证明：令h（x）＝f（x＋1）－f（x）－f（1）＝（x＋1）2＋－（x2＋3x）－4＝2×3x＋2x－3， 所以h（0）＝－1，h（1）＝5. 所以h（0）h（1）＜0，又h（x）在（0，1）上连续，所以h（x）＝0在（0，1）上至少有一个实根x0， 即函数f（x）＝x2＋3x在（0，1）上存在漂移点. （3）若f（x）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移点x0，所以lg ＝lg ＋lg a成立，即＝·a，a＞0， 整理得a＝＝， 由x0＞0，得0＜＜1，则0＜a＜1. 则实数a的取值范围是（0，1）. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $