3.2 培优课 函数性质的综合问题（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

重点解读 1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件（直观想象、数学抽象）. 2.掌握函数性质的综合应用问题（逻辑推理、数学运算）. 一、函数的奇偶性与对称性 函数图象的对称性 （1）轴对称 设函数f（x）的定义域为I，且x＝a是f（x）的对称轴，则有： ①f（a＋x）＝f（a－x）； ②f（x）＝f（2a－x）； ③f（－x）＝f（2a＋x）. （2）中心对称 设函数f（x）的定义域为I，且（a，0）是f（x）的对称中心，则有： ①f（a＋x）＝－f（a－x）； ②f（x）＝－f（2a－x）； ③f（－x）＝－f（2a＋x）. （3）拓展 ①若f（a＋x）＝f（b－x），则f（x）关于x＝对称； ②若f（x）＝－f（a－x），则f（x）关于对称； ③若f（a＋x）＝－f（b－x），则f（x）关于对称； ④f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则f（x）关于对称. 　　提醒：（1）若函数f（x＋a）是偶函数，则函数f（x）关于x＝a对称； （2）若函数f（x＋a）是奇函数，则函数f（x）关于（a，0）对称. 【例1】　（1）定义在R上的偶函数y＝f（x），其图象关于点（1，0）对称，且x∈[0，2]时，f（x）＝－x＋1，则f＝（　D　） A.－1　　　　　　 　B.0 C.1 D.－ 解析：∵y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称，∴f（2＋x）＋f（－x）＝0.又∵y＝f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴f（2＋x）＋f（x）＝0，即f（2＋x）＝－f（x），∴f＝－f＝－. （2）〔多选〕已知y＝f（x＋4）是定义域为R的奇函数，y＝g（x－2）是定义域为R的偶函数，且y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于y轴对称，则（　ACD　） A.y＝f（x）是奇函数 B.y＝g （x）是偶函数 C.y＝f（x）关于直线x＝2对称 D.y＝g（x）关于点（4，0）对称 解析：由于y＝f（x＋4）是定义域为R的奇函数，则y＝f（x）的图象关于点（4，0）成中心对称，y＝g（x－2）是定义域为R的偶函数，则y＝g（x）的图象关于x＝－2对称，因为y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于y轴对称，则y＝f（x）的图象关于x＝2对称，C正确；又y＝f（x）的图象关于点（4，0）成中心对称，则y＝f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，故y＝f（x）为奇函数，A正确；因为y＝f（x）为奇函数，故f（－x）＝－f（x），由y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于y轴对称，可得f（x）＝g（－x），g（x）＝f（－x），故g（－x）＝f（x）＝－f（－x）＝－g（x），故y＝g（x）为奇函数，B错误；由A的分析可知y＝f（x）的图象关于点（4，0）成中心对称，y＝f（x）为奇函数，则y＝f（x）的图象也关于点（－4，0）成中心对称，而y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于y轴对称，则y＝g（x）的图象关于点（4，0）成中心对称，故D正确，故选A、C、D. 【规律方法】 解决对称性和奇偶性综合问题的方法 （1）图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论； （2）性质法，根据对称性和奇偶性的性质，逐步推导转化，即结合奇偶性将已知函数进行转化，利用合适的式子判断函数图象的对称轴或对称中心.也可利用图象变换关系得出函数图象的对称轴或对称中心.也可由对称性判断函数的奇偶性； （3）若函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x＝m对称，则函数f（x）上的任意一点（x0，y0）关于直线x＝m的对称点（2m－x0，y0）必然在函数g（x）的图象上，反之亦成立. 训练1　已知函数f（x）的定义域为R，若f（1－x）为奇函数，f（x－1）为偶函数.设f（－2）＝1，则f（2）＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 解析：A　∵f（x－1）为偶函数，∴f（－x－1）＝f（x－1），∴f（x）图象关于直线x＝－1对称，∴f（－2）＝f（0）＝1；∵f（1－x）为奇函数，∴f（1＋x）＝－f（1－x），∴f（x）图象关于点（1，0）对称，∴f（2）＝－f（0）＝－1，故选A. 二、函数的奇偶性与最值（值域） 【例2】　（1）已知f（x），g（x）均为奇函数，且F（x）＝af（x）＋bg（x）＋2在（0，＋∞）上的最大值为5，则F（x）在（－∞，0）上的最小值为－1； 解析：法一（利用奇函数对称性）　F（x）＝af（x）＋bg（x）＋2在（0，＋∞）上的最大值为5，则F（x）－2＝af（x）＋bg（x）在（0，＋∞）上的最大值为3.因为f（x），g（x）均为奇函数，所以F（－x）－2＝af（－x）＋bg（－x）＝－af（x）－bg（x）＝－[af（x）＋bg（x）]＝－[F（x）－2]，所以y＝F（x）－2为奇函数.根据奇函数的性质可知，F（x）－2＝af（x）＋bg（x）在（－∞，0）上的最小值为－3，故F（x）＝af（x）＋bg（x）＋2在（－∞，0）上的最小值为－3＋2＝－1. 法二（巧用结论）　设G（x）＝af（x）＋bg（x），因为f（x），g（x）均为奇函数，所以G（x）为奇函数，所以F（x）max＋F（x）min＝2×2＝4.又因为F（x）max＝5，所以F（x）min＝4－5＝－1. （2）奇函数f（x）在区间[3，6]上单调递增，且在区间[3，6]上的最大值是4，最小值是－1，则2f（－6）＋f（－3）＝－7. 解析：由题意，函数f（x）在[3，6]上单调递增，在区间[3，6]上的最大值为4，最小值为－1，故f（3）＝－1，f（6）＝4.∵f（x）是奇函数，∴2f（－6）＋f（－3）＝－2f（6）－f（3）＝－2×4＋1＝－7. 【规律方法】 已知奇偶性求函数的值域或最值的方法 （1）利用奇、偶函数的对称性：对于奇（偶）函数，若在[a，b]上，f（x）的最大值是f（x0），在图象上表现为点（x0，f（x0））是函数图象在[a，b]上的最高点，由图象的对称性可知，（－x0，－f（x0））（（－x0，f（x0）））一定是图象在[－b，－a]上的最低（高）点，结合图象即可得出最值； （2）利用结论：①若f（x）为奇函数，则f（x）max＋f（x）min＝0；②若g（x）为奇函数，f（x）＝g（x）＋m，则f（x）max＋f（x）min＝2m. 训练2　已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，且图象经过点（－1，0）和（3，5），则当x∈[－3，－1]时，函数f（x）的值域是（　　） A.[0，5] B.[－1，5] C.[1，3] D.[3，5] 解析：A　因为偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则函数f（x）在[－3，－1]上单调递减，且f（－3）＝f（3）＝5，f（－1）＝0，故当x∈[－3，－1]时，函数f（x）的值域为[0，5]. 三、函数性质的综合应用 【例3】　函数y＝f（x）在区间（0，2）上单调递增，函数y＝f（x＋2）是偶函数，则下列结论正确的是（　　） A.f（1）＜f＜f B.f＜f（1）＜f C.f＜f＜f（1） D.f＜f（1）＜f 解析：B　因为y＝f（x＋2）是偶函数，所以f（2－x）＝f（2＋x），所以y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，f（1）＝f（3）.又f（x）在区间（0，2）上单调递增，所以f（x）在（2，4）上单调递减.又2＜＜3＜＜4，所以f＞f（3）＞f，即f＜f（1）＜f. 【规律方法】 函数性质综合应用中的等价转化 （1）奇函数与单调性的等价结论 ①若奇函数f（x）在R上单调递增，则a＋b≥0⇔f（a）＋f（b）≥0； ②若奇函数f（x）在R上单调递减，则a＋b≥0⇔f（a）＋f（b）≤0； ③偶函数的一个重要性质：f（｜x｜）＝f（x），它能使自变量化归到[0，＋∞）上，避免分类讨论. （2）奇偶性与对称性的等价结论 ①若f（x＋a）为奇函数⇔f（x）的图象关于点（a，0）成中心对称； ②若f（x＋a）为偶函数⇔f（x）的图象关于直线x＝a对称； ③函数y＝f（｜x－a｜）的图象关于直线x＝a对称. 训练3　已知f（x），g（x）是定义域为R的函数，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，满足f（x）＋g（x）＝ax2＋x＋2，若对任意的1＜x1＜x2＜2，都有＞－3成立，求实数a的取值范围. 解：由题意可得f（－x）＋g（－x）＝ax2－x＋2， 因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， 所以－f（x）＋g（x）＝ax2－x＋2， 联立解得g（x）＝ax2＋2， 又因为对于任意的1＜x1＜x2＜2，都有＞－3成立， 所以g（x1）－g（x2）＜－3x1＋3x2， 所以g（x1）＋3x1＜g（x2）＋3x2成立， 构造h（x）＝g（x）＋3x＝ax2＋3x＋2， 所以由上述过程可得h（x）＝ax2＋3x＋2在x∈（1，2）单调递增， （1）若a＜0，则对称轴x0＝－≥2，解得－≤a＜0； （2）若a＝0，则h（x）＝3x＋2在x∈（1，2）单调递增，满足题意； （3）若a＞0，则对称轴x0＝－≤1恒成立； 综上，a∈. 　　函数y＝f（x）图象关于点P（a，b）成中心对称的充要条件及其推广 　　教材P87习题13题的结论及其推广. 1.（1）函数F（x）＝f（x＋a）－b为奇函数⇔f（－x＋a）－b＝－[f（x＋a）－b]⇔f（－x＋a）＋f（x＋a）＝2b； （2）几何解析：将奇函数y＝f（x＋a）－b的图象向上平移b个单位长度，得到函数y＝f（x＋a）的图象，再向右平移a个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象.因此函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形. 2.（1）函数F（x）＝f（x＋a）为偶函数⇔f（－x＋a）＝f（x＋a）； （2）几何解析：将偶函数y＝f（x＋a）的图象向右平移a个单位长度得到函数y＝f（x）的图象，因此函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a成轴对称图形. 【典例】　〔多选〕对于定义在R上的函数f（x），下列结论正确的有（　　） A.若f（x）是奇函数，则f（x－1）的图象关于点A（1，0）对称 B.若f（x＋1）＝f（x－1），则f（x）的图象关于直线x＝1对称 C.若函数f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，则f（x）为偶函数 D.函数y＝f（1＋x）与函数y＝f（1－x）的图象关于直线x＝1对称 解析：AC　∵f（x）是奇函数，∴f（x）的图象关于原点对称，而f（x－1）的图象是将f（x）的图象向右平移1个单位长度得到的，∴f（x－1）的图象关于点A（1，0）对称，故A正确.令t＝x－1，则由f（x＋1）＝f（x－1）可知，f（t）＝f（t＋2），即f（x）＝f（x＋2），其图象不一定关于直线x＝1对称.如图所示，函数图象不关于直线x＝1对称，故B不正确.若g（x）＝f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，则有g（x＋1）＝g（－x＋1），即f（x）＝f（－x），故C正确.易知函数y＝f（x＋1）的图象与函数y＝f（1－x）的图象关于y轴对称，故D不正确. 【迁移应用】 设f（x）是定义在R上的奇函数，且y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＝0. 解析：因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，f（－x）＝－f（x）.因为f（x）的图象关于直线x＝对称，所以f（x）＝f（1－x），所以f（1）＝f（0）＝0，f（2）＝f（－1）＝－f（1）＝0，f（3）＝f（－2）＝－f（2）＝0，f（4）＝f（－3）＝－f（3）＝0，f（5）＝f（－4）＝－f（4）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＝0. 1.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）＝f（4－x），当－2≤x＜0时，f（x）＝，则f（）＝（　　） A.－2　　 　B.－ C.　　 　D.2 解析：D　∵f（x）＝f（4－x），∴f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f（）＝f（）.又∵函数f（x）为奇函数，∴f（）＝－f（－）＝－（－2）＝2，即f（）＝2. 2.已知定义在R上的奇函数f（x），且当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则不等式f（2x＋1）＋f（1）≥0的解集是（　　） A.（－∞，1） B.（－1，＋∞） C.[－1，＋∞） D.（－∞，1] 解析：C　因为函数f（x）是奇函数，所以不等式f（2x＋1）＋f（1）≥0等价于f（2x＋1）≥f（－1）.又当x≥0时，函数f（x）单调递增，所以函数f（x）在R上为增函数，所以f（2x＋1）≥f（－1）等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1. 3.已知定义在R上的偶函数y＝f（x），其图象关于点对称，且当x∈[0，1]时，f（x）＝－x＋，则f＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D. 解析：B　∵y＝f（x）的图象关于点对称，∴f＋f＝0，即f（1＋x）＋f（－x）＝0.又∵y＝f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴f（1＋x）＋f（x）＝0，即f（1＋x）＝－f（x），∴f＝－f＝0. 4.已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的图象关于（1，0）中心对称，f（2x＋2）是偶函数，则（　　） A.f（0）＝0 B.f＝0 C.f（2）＝0 D.f（3）＝0 解析：D　f（x）的图象关于（1，0）中心对称，则f（x）＝－f（－x＋2）①；f（2x＋2）是偶函数，则f（2x＋2）＝f（－2x＋2），则f（x）的图象关于x＝2轴对称，则f（x）＝f（－x＋4）②；令x＝1代入①得，f（1）＝－f（1），解得f（1）＝0，代入②得到f（1）＝f（3）＝0. 5.若函数y＝f（x）是奇函数，且函数g（x）＝af（x）＋b＋2在（0，＋∞）上有最大值10，则函数y＝g（x）在（－∞，0）上有（　　） A.最大值－8 B.最小值－8 C.最小值－6 D.最小值－4 解析：C　由题意知f（x）为奇函数，所以af（x）＋b为奇函数.因为g（x）＝af（x）＋b＋2在（0，＋∞）上有最大值10，即af（x）＋b在（0，＋∞）上有最大值8，则af（x）＋b在（－∞，0）上有最小值－8，故函数y＝g（x）在（－∞，0）上有最小值－6，故选C. 6.〔多选〕若函数f（x）是定义域为R的偶函数，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是（　　） A.3个交点的横坐标之和为0 B.3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关 C.f（0）＝0 D.f（0）的值与函数解析式有关 解析：AC　因为函数f（x）是定义域为R的偶函数，所以其图象关于y轴对称，所以当函数图象与x轴的交点有3个时，则必有一个交点是原点，另两个交点关于y轴对称，所以3个交点的横坐标之和为0，且f（0）＝0，故A、C正确，B、D错误. 7.〔多选〕设y＝f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x＋1）＝－f（x），且在[－1，0]上单调递增，给出下列关于函数y＝f（x）的判断正确的是（　　） A.f（x＋2）＝f（x） B.y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称 C.y＝f（x）在[0，1]上单调递增 D.f＝0 解析：ABD　因为y＝f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x＋1）＝－f（x），f（x＋2）＝f（x＋1＋1）＝－f（x＋1）＝－（－f（x））＝f（x），所以A正确；因为f（－x）＝f（x），所以f（－x）＝f（x＋2），所以对称轴x＝＝1，即关于x＝1对称，所以B正确；由函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，又在[－1，0]上单调递增，所以在[0，1]上单调递减，故C不正确；因为f（x＋1）＝－f（x），令x＝－可得f（）＝－f（－），即f（）＝－f（），所以f（）＝0，所以D正确.故选A、B、D. 8.已知函数f（x）＝若f（x－1）＜f（2x＋1），则x的取值范围为（－∞，－2）∪（0，＋∞）. 解析：若x＞0，则－x＜0，f（－x）＝（－x）2＋2x＝x2＋2x＝f（x），同理可得，当x＜0时，f（－x）＝f（x），且x＝0时，f（0）＝0，所以f（x）是偶函数.因为当x＞0时，函数f（x）单调递增，所以不等式f（x－1）＜f（2x＋1）等价于｜x－1｜＜｜2x＋1｜，整理得x（x＋2）＞0，解得x＞0或x＜－2. 9.已知定义域为R的函数f（x）在（－∞，－1）上单调递增，且f（x－1）为偶函数，给出下列结论：①f（x）的图象关于直线x＝1对称；②f（x）在（－1，＋∞）上单调递减；③f（－1）为f（x）的最大值；④f（－3）＜f（0）＜f.正确的为②④（填序号）. 解析：因为f（x－1）为偶函数，且函数f（x）在（－∞，－1）上单调递增，所以f（x）的图象关于直线x＝－1对称，且f（x）在（－1，＋∞）上单调递减，①错误，②正确；因为f（x）在（－∞，－1）上单调递增，在（－1，＋∞）上单调递减，但没有明确函数是否连续，不能确定f（－1）的值，所以③错误；因为f（0）＝f（－2），f＝f，且f（x）在（－∞，－1）上单调递增，所以f（－3）＜f（－2）＜f，即f（－3）＜f（0）＜f，所以④正确. 10.定义在R上的函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线x＝1对称，且函数y＝g（2x－1）＋1为奇函数，则函数y＝f（x）图象的对称中心是（3，－1）. 解析：因为y＝g（2x－1）＋1为奇函数，所以g（－2x－1）＋1＝－g（2x－1）－1，即g（－2x－1）＋g（2x－1）＝－2，故g（x）的对称中心为，即（－1，－1），由于函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线x＝1对称，且（－1，－1）关于x＝1的对称点为（3，－1），故y＝f（x）的对称中心为（3，－1）. 11.已知函数f（x）是R上的增函数，设F（x）＝f（x）－f（a－x）. （1）用函数单调性的定义证明F（x）是R上的增函数； （2）证明：函数y＝F（x）的图象是关于点成中心对称的图形. 证明：（1）∀x1，x2∈R，且x1＜x2， 则F（x1）－F（x2） ＝[f（x1）－f（a－x1）]－[f（x2）－f（a－x2）] ＝[f（x1）－f（x2）]＋[f（a－x2）－f（a－x1）]. ∵函数f（x）是R上的增函数，x1＜x2， ∴a－x2＜a－x1， ∴f（x1）＜f（x2），f（a－x2）＜f（a－x1）， ∴[f（x1）－f（x2）]＋[f（a－x2）－f（a－x1）]＜0， ∴F（x1）＜F（x2）， ∴F（x）是R上的增函数. （2）设点M（x0，F（x0））是函数F（x）图象上的任意一点，则点M（x0，F（x0））关于点对称的点为M'（a－x0，－F（x0））. ∵F（a－x0）＝f（a－x0）－f[a－（a－x0）] ＝f（a－x0）－f（x0） ＝－[f（x0）－f（a－x0）] ＝－F（x0）， ∴点M'（a－x0，－F（x0））也在函数F（x）的图象上. 又∵点M（x0，F（x0））是函数F（x）的图象上任意一点， ∴函数y＝F（x）的图象是关于点成中心对称的图形. 12.定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数y＝f（x）满足f（xy）＝f（x）－f，且函数f（x）在（－∞，0）上单调递减. （1）求f（－1），并证明函数y＝f（x）是偶函数； （2）若f（2）＝1，解不等式f－f≤1. 解：（1）令y＝≠0，则f＝f（x）－f（x），得f（1）＝0， 再令x＝1，y＝－1，可得f（－1）＝f（1）－f（－1），　 得2f（－1）＝f（1）＝0，所以f（－1）＝0， 令y＝－1，可得f（－x）＝f（x）－f（－1）＝f（x）， 又该函数的定义域关于原点对称，所以f（x）是偶函数. （2）因为f（2）＝1，又该函数为偶函数，所以f（－2）＝1. 因为函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增. 又f－f＝f＝f（2x－4）， 所以f（｜2x－4｜）≤f（2），即 解得1≤x＜2或2＜x≤3. 所以不等式f－f≤1的解集为[1，2）∪（2，3]. 13.设a为实数，函数f（x）＝x2＋｜x－a｜＋1. （1）讨论f（x）的奇偶性； （2）求f（x）的最小值. 解：（1）当a＝0时，函数f（－x）＝（－x）2＋｜－x｜＋1＝f（x），此时f（x）为偶函数； 当a≠0时，f（a）＝a2＋1，f（－a）＝a2＋2｜a｜＋1， 则f（－a）≠f（a），f（－a）≠－f（a）， 此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数. （2）①当x＜a时，f（x）＝x2－x＋a＋1＝（x－）2＋a＋. 若a≤，则函数f（x）在（－∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（－∞，a]上的最小值为f（a）＝a2＋1； 若a＞，则函数f（x）在（－∞，a]上的最小值为f（）＝＋a，且f（）＜f（a）. ②当x≥a时，f（x）＝x2＋x－a＋1＝（x＋）2－a＋. 若a≤－，则函数f（x）在[a，＋∞）上的最小值为f（－）＝－a，且f（－）≤f（a）； 若a＞－，则函数f（x）在[a，＋∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，＋∞）上的最小值为f（a）＝a2＋1. 综上所述，当a≤－时，函数f（x）的最小值是－a； 当－＜a≤时，函数f（x）的最小值是a2＋1； 当a＞时，函数f（x）的最小值是a＋. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $