4.5.1 函数的零点与方程的解（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦函数的零点与方程的解，从方程的实数解切入，构建函数零点、方程解与图象交点的关联，通过零点存在定理判断零点区间，结合单调性与图象判断零点个数，形成递进式学习支架。 以生活化情境导入（骑行路线与小河接触次数类比零点）激发兴趣，通过问题链引导抽象概念（三组方程与函数对比），例题融合代数法与数形结合（如方程解转化为图象交点），培养数学抽象、逻辑推理素养。课中助力概念建构，课后练习题分层设计，配合课堂小结梳理要点，便于学生查漏补缺。

4.5.1　函数的零点与方程的解 课标要求 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系（数学抽象）. 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间（逻辑推理）. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数（逻辑推理、数学运算）. 情境导入 　　奇奇、小东、小明、妙妙是要好的四位同学，他们的家都住在同一条小河的附近，且具体位置如图所示，周末奇奇同学要骑自行车去妙妙家里玩. 　　依据以下四种情境，画出奇奇同学的骑行较近路线的轨迹，并推断他与小河有过几次接触？ 　　情境1：奇奇同学骑车直接去了妙妙家； 　　情境2：奇奇同学骑车到小河边的小东家约小东同学一起去妙妙家； 　　情境3：奇奇同学过桥到河对岸的小明家，约小明一起去妙妙家； 　　情境4：奇奇同学到河边小东家约了小东又过桥到了小明家，而后三人相约一起到妙妙家玩. 　　 知识点一｜函数的零点 问题1　（1）观察下列三组方程与函数： 方程 函数 x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3 x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1 x2－4x＋3＝0 y＝x2－4x＋3 方程的根与对应函数的图象与x轴交点有什么关系？ 提示：方程的根与函数的图象与x轴交点的横坐标相等. （2）问题（1）中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗？ 提示：不是，零点不是点，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标. 【知识梳理】 1.概念：使　f（x）＝0　的实数x叫做函数y＝f（x）的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的实数解的关系： 　　提醒：（1）函数的零点是实数，而不是点；（2）并不是所有的函数都有零点，如函数f（x）＝就没有零点；（3）若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内. 【例1】　（1）〔多选〕方程（x2－4）＝0的解可以是（　CD　） A.x＝－2 B.x＝－ C.x＝ D.x＝2 解析：由方程（x2－4）＝0，得x2－4＝0或2x－1＝0，解得x＝±2或x＝，又由2x－1≥0，解得x≥，所以方程（x2－4）＝0的解为x＝2或x＝. （2）已知函数f（x）＝ax－b（a≠0）的零点为3，则函数g（x）＝bx2＋ax的零点为0，－. 解析：由已知得f（3）＝0，即3a－b＝0，则b＝3a，故g（x）＝3ax2＋ax＝ax（3x＋1）.令g（x）＝0，即ax（3x＋1）＝0，解得x＝0或x＝－.所以函数g（x）＝bx2＋ax的零点为0，－. 【规律方法】 函数零点的求法 （1）代数法：求方程f（x）＝0的实数根； （2）几何法：对于不能用求根公式的方程f（x）＝0，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来.图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点. 训练1　函数f（x）＝的所有零点构成的集合为（　　） A.{1} B.{－1} C.{－1，1} D.{－1，0，1} 解析：C　当x≤0时，f（x）＝x＋1＝0⇒x＝－1；当x＞0时，f（x）＝log2x＝0⇒x＝1，所以函数f（x）的所有零点构成的集合为{－1，1}. 知识点二｜函数零点存在定理 问题2　观察函数f（x）＝x2－2x－3的图象： （1）f（x）在区间（－2，1）上有零点吗？f（－2）·f（1）的值和0有什么关系？ 提示：观察图象可知，有零点－1∈（－2，1），且f（－2）＞0，f（1）＜0，所以f（－2）·f（1）＜0. （2）f（x）在区间（2，4）上有零点吗？f（2）·f（4）的值与0有什么关系？ 提示：观察图象可知有零点3∈（2，4），且f（2）＜0，f（4）＞0，所以f（2）·f（4）＜0. 【知识梳理】 　函数零点存在定理 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条　连续不断　的曲线，且有　f（a）f（b）＜0　，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内　至少　有一个零点，即存在c∈（a，b），使得　f（c）＝0　，这个c也就是方程f（x）＝0的解. 【例2】　（1）若函数f（x）的图象在R上连续不断，且满足f（0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，则下列说法正确的是（　C　） A.f（x）在区间（0，1）上一定有零点，在区间（1，2）上一定没有零点 B.f（x）在区间（0，1）上一定没有零点，在区间（1，2）上一定有零点 C.f（x）在区间（0，1）上一定有零点，在区间（1，2）上可能有零点 D.f（x）在区间（0，1）上可能有零点，在区间（1，2）上一定有零点 解析：由题知f（0）f（1）＜0，所以根据函数零点存在定理可得，f（x）在区间（0，1）上一定有零点，又f（1）f（2）＞0，因此无法判断f（x）在区间（1，2）上是否有零点. （2）f（x）＝ex＋x－2的零点所在的区间是（　C　） A.（－2，－1） B.（－1，0） C.（0，1） D.（1，2） 解析：法一　∵f（0）＝－1＜0，f（1）＝e－1＞0， ∴f（x）在（0，1）内有零点. 法二　ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间.如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为（0，1）. 【规律方法】 确定函数f（x）零点所在区间的常用方法 （1）解方程法：当对应方程f（x）＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上； （2）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点； （3）数形结合法：通过函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 训练2　（1）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 f（x） 6.1 2.9 －3.5 －1 那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　C　） A.（－∞，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4） 解析：由表可知f（1）f（2）＞0，f（2）f（3）＜0，f（3）f（4）＞0，由零点存在定理可知f（x）一定存在零点的区间是（2，3）.故选C. （2）函数f（x）＝2x－的零点所在的区间是（　B　） A. B. C. D. 解析：∵f＝－2＜0，f（1）＝2－1＝1＞0，∴ff（1）＜0，∴函数的零点所在的区间是. 提能点｜函数零点个数的问题 【例3】　（链接教材P143例1）判断下列函数的零点的个数： （1）f（x）＝x2－x＋； 解：由f（x）＝0，即x2－x＋＝0， 因为Δ＝－4×＝－＜0， 所以方程x2－x＋＝0没有实数根，即函数f（x）的零点的个数为0. （2）f（x）＝ln x＋x2－3. 解：法一　函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0， 所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点的个数. 在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象（如图）. 由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点， 从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数f（x）＝ln x＋x2－3有一个零点. 法二　由于f（1）＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f（2）＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0， 所以f（1）f（2）＜0， 又f（x）＝ln x＋x2－3的图象在（1，2）上是连续的，所以f（x）在（1，2）上必有零点， 又f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以零点只有一个. 【规律方法】 判断函数零点个数的4种常用方法 （1）利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点； （2）画出函数y＝f（x）的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数； （3）结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f（x）在（a，b）上零点的个数； （4）转化成两个函数图象的交点问题. 训练3　函数f（x）＝的零点个数为（　　） A.3 B.2 C.1 D.0 解析：B　当x≤0时，令f（x）＝0，即x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1（舍去）.当x＞0时，令f（x）＝0，即x－2＋ln x＝0，即ln x＝－x＋2.在同一直角坐标系中作出两函数y＝ln x与y＝－x＋2（x＞0）的图象，如图，由图可知两图象只有一个交点.综上可知，函数f（x）的零点个数为2. 1.函数f（x）＝2x2－3x＋1的零点是（　　） A.－，－1 B.，1 C.，（1，0） D.，（－1，0） 解析：B　方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f（x）＝2x2－3x＋1的零点是，1，故选B. 2.对于函数f（x），若f（－1）f（3）＜0，则（　　） A.方程f（x）＝0一定有一实数解 B.方程f（x）＝0一定无实数解 C.方程f（x）＝0一定有两实根 D.方程f（x）＝0可能无实数解 解析：D　∵函数f（x）的图象在（－1，3）上未必连续，故尽管有f（－1）f（3）＜0，但方程f（x）＝0在（－1，3）上可能无实数解. 3.方程x3－3x－3＝0的根x0所在的范围为（　　） A.－1＜x0＜0 B.0＜x0＜1 C.1＜x0＜2 D.2＜x0＜3 解析：D　令f（x）＝x3－3x－3，∵f（－1）＝（－1）3－3×（－1）－3＝－1＜0，f（0）＝－3＜0，f（1）＝13－3×1－3＝－5＜0，f（2）＝23－3×2－3＝－1＜0，f（3）＝33－3×3－3＝15＞0，∴f（2）·f（3）＜0，∴2＜x0＜3.故选D. 4.函数f（x）＝（x－1）（x2＋3x－10）的零点有3个. 解析：∵f（x）＝（x－1）（x2＋3x－10）＝（x－1）·（x＋5）（x－2），∴由f（x）＝0得x＝－5或x＝1或x＝2. 课堂小结 1.理清单 （1）函数零点的定义； （2）函数的零点与方程的解的关系； （3）函数零点存在定理； （4）函数零点个数的判断. 2.应体会 判断函数零点的个数常利用数形结合的思想方法. 3.避易错 （1）误把零点理解成点； （2）判断函数零点个数时，易漏掉不变号零点. 1.函数f（x）＝lg ｜x｜的零点是（　　） A.（1，0） B.（1，0）和（－1，0） C.1 D.1和－1 解析：D　函数f（x）的定义域为{x｜x≠0}，令f（x）＝0，则lg ｜x｜＝0，解得x＝±1，即函数f（x）的零点是1和－1. 2.函数f（x）＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间（　　） A.（5，6） B.（3，4） C.（2，3） D.（1，2） 解析：B　f（3）＝log33－8＋2×3＝－1＜0，f（4）＝log34－8＋2×4＝log34＞0.又因为f（x）在（0，＋∞）上为增函数，所以其零点一定位于区间（3，4）. 3.已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下x，f（x）的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f（x） 15 10 －7 6 －4 －5 则函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解析：B　由题表可知f（2）·f（3）＜0，f（3）·f（4）＜0，f（4）·f（5）＜0，又函数f（x）的图象是连续不断的，故f（x）在区间[1，6]上至少有3个零点. 4.已知f（x）为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于（　　） A.0 B.1 C.－1 D.不能确定 解析：A　因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f（x）有三个零点，则其和必为0. 5.已知函数f（x）在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f（a）f（b）＜0，则方程f（x）＝0在区间[a，b]上（　　） A.至少有一实数解 B.至多有一实数解 C.没有实数解 D.必有唯一的实数解 解析：D　由题意知函数f（x）为连续函数，∵f（a）·f（b）＜0，∴函数f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，又∵函数f（x）在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f（x）在区间[a，b]上至多有一个零点，故函数f（x）在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f（x）＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数解. 6.〔多选〕下列函数存在零点的是（　　） A.y＝x－ B.y＝ C.y＝logax2（a＞0且a≠1） D.y＝ 解析：ABC　令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；选项B中函数的零点为－和1；只有选项D中函数无零点. 7.已知函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是－，－. 解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2，3，∴即a＝5，b＝－6，∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－，－，即为函数g（x）的零点. 8.已知函数f（x）＝则函数f（x）的零点为0. 解析：当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝（舍）.综上所述，函数f（x）的零点为0. 9.方程－＝0的解的个数为2. 解析：方程－＝0的解的个数，即函数y＝和函数y＝的图象的交点个数，如图所示.数形结合可得，函数y＝和函数y＝的图象的交点个数为2，故方程－＝0的解的个数为2. 10.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点： （1）f（x）＝－x2＋2x－1； （2）f（x）＝x4－x2； （3）f（x）＝4x＋5； （4）f（x）＝log3（x＋1）. 解：（1）令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1， 所以函数f（x）＝－x2＋2x－1的零点为1. （2）令f（x）＝x2（x－1）（x＋1）＝0， 解得x＝0或x＝1或x＝－1， 故函数 f（x）＝x4－x2的零点为0，－1和1. （3）令4x＋5＝0，则4x＝－5， 因为4x＞0，－5＜0，所以方程4x＋5＝0无实数解. 所以函数f（x）＝4x＋5不存在零点. （4）令log3（x＋1）＝0，解得x＝0， 所以函数f（x）＝log3（x＋1）的零点为0. 11.已知函数f（x）＝若k＞0，则函数y＝｜f（x）｜－1的零点个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：D　法一　令y＝｜f（x）｜－1＝0，得｜f（x）｜＝1，即f（x）＝1或f（x）＝－1.当x＞0时，由ln x＝1或ln x＝－1，得x＝e或x＝；当x≤0时，由kx＋2＝1或kx＋2＝－1，得x＝－＜0或x＝－＜0.则函数y＝｜f（x）｜－1的零点个数是4. 法二　y＝f（x）的图象如图1所示，故y＝｜f（x）｜的图象如图2所示.令y＝｜f（x）｜－1＝0，即｜f（x）｜＝1，y＝｜f（x）｜的图象与y＝1有4个交点，故函数y＝｜f（x）｜－1的零点个数是4. 　　 12.〔多选〕已知定义域和值域均为[－a，a]（a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A.方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解 B.方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解 C.方程f[f（x）]＝0有且仅有九个解 D.方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解 解析：AD　设f（x）的零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3.由f[g（x）]＝0，得g（x）＝x1或g（x）＝x2或g（x）＝x3.由g（x）的图象可知满足条件的x的值有三个，故方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解，故A正确；同理，f[f（x）]＝0最多有九个解，故C错误；因为g（x）＝0有一个解，又g（x）每个对应的值只有一个相应的解，故g[g（x）]＝0有且仅有一个解，而g[f（x）]＝0最多有三个解，故B错误，D正确. 13.已知函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是a＜b＜c.（用“＜”连接） 解析：画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，观察图象可知，函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c. 14.已知函数f（x）＝x2＋ax＋b的零点是－1和2，判断函数g（x）＝ax3＋bx＋4的零点所在的大致区间. 解：∵－1和2是函数f（x）＝x2＋ax＋b的零点， ∴－1和2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数解， ∴－1＋2＝－a，－1×2＝b，即a＝－1，b＝－2. ∴g（x）＝－x3－2x＋4. ∵g（1）＝1，g（2）＝－8，g（1）g（2）＜0， ∴g（x）在区间（1，2）内有零点. 又∵g（x）在R上是减函数，∴g（x）只有一个零点. 综上可知，函数g（x）的零点所在的大致区间为（1，2）. 15.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋＋m. （1）确定实数m的值及函数f（x）在R上的解析式； （2）求函数y＝f（x）的零点. 解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数， 所以f（0）＝4＋m＝0，m＝－4. 所以当x≥0时，f（x）＝2x＋－4. 设x＜0，则－x＞0， 所以f（－x）＝2－x＋－4＝3×2x＋－4. 因为f（－x）＝－f（x）， 所以当x＜0时，f（x）＝－3×2x－＋4. 所以f（x）＝ （2）当x≥0时，f（x）＝2x＋－4， 令f（x）＝0，得2x＋－4＝0，即（2x）2－4×2x＋3＝0， 解得2x＝1或2x＝3，所以x1＝0，x2＝log23. 因为f（x）是定义在R上的奇函数， 所以当x＜0时，方程－3×2x－＋4＝0的根为x＝－log23， 所以方程f（x）＝0的根为x1＝0，x2＝log23，x3＝－log23， 即函数y＝f（x）的零点是0，log23，－log23. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $