4.5.1 第1课时 函数的零点与方程的解 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

　　　　　 4.5　函数的应用(二) 　　　　4.5.1　函数的零点与方程的解 第1课时　函数的零点与方程的解 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.　 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.　 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 1.函数的零点 (1)对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系: |微|点|助|解| (1)函数的零点是实数,而不是点,如函数f(x)=x+1的零点是-1,而不是(-1,0). (2)不是所有的函数都有零点,如函数y=1,y=x2+1就没有零点. (3)若函数y=f(x)有零点,则零点一定在函数的定义域内. (4)求零点可转化为求对应方程的解.不能用公式求解的方程,可以与函数联系起来,利用函数的图象和性质找零点,然后得到方程的解. 2.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在 c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. |微|点|助|解| (1)定理要求函数在闭区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0; (2)闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件; (3)该定理是用来判断函数的变号零点,比如y=x2,有零点为0,但是该零点的两侧函数值的符号相同,称为不变号零点. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若f(a)f(b)>0,则f(x)在[a,b]上无零点. (　 ) (2)若f(x)在[a,b]上为单调函数,且f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有且只有一个零点. (　 ) (3)若f(x)在(a,b)内有且只有一个零点,则f(a)·f(b)<0. (　 ) 答案:(1)×　(2)√　(3)× 2.下列各图象表示的函数中,没有零点的是 (　 ) 解析:选D　结合函数零点的定义可知选项D没有零点. 3.函数f(x)=log2x的零点是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选A　令f(x)=log2x=0,解得x=1. 4.函数f(x)=3x-4的零点所在区间为 (　 ) A.(0,1) B.(-1,0) C.(2,3) D.(1,2) 解析:选D　由f(-1)=-<0,f(0)=-3<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,得f(x)的零点所在区间为(1,2). 题型(一)　求函数的零点 [例1]　(1)求函数f(x)=-x2-4x-4的零点; (2)求函数f(x)=的零点. 解:(1)令-x2-4x-4=0,解得x=-2. 所以函数的零点为-2. (2)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3; 当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2. 所以函数f(x)=的零点为-3和e2. 　　|思|维|建|模|　探究函数零点的两种求法 代数法 求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点 几何法 与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 　　[针对训练] 1.函数f(x)=的零点是 (　 ) A.(-1,0),(1,0) B.-1,1 C.(-1,0) D.-1 解析:选B　由x+1=0且x≤0,得x=-1.由ln x=0且x>0,得x=1.所以函数f(x)的零点为x=±1. 2.设函数f(x)=21-x-4,g(x)=1-log2(x+3),则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为　　　　.  解析:令f(x)=-4=0,解得x=-1,令g(x)=1-log2(x+3)=0,解得x=-1,所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为-2. 答案:-2 题型(二)　函数零点所在区间的判定 [例2]　函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间是 (　 ) A.(1,2)　　　　　　 　　　　 B.(2,3) C.和(3,4) D.(e,+∞) 解析:选B　∵f(1)=-2<0,f(2)=ln 2-1<0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴在(1,2)内f(x)无零点.故排除A.∵f(3)=ln 3->0,∴f(2)f(3)<0.∴f(x)在(2,3)内有一个零点. [例3]　若x0是方程ex+x=2的解,则x0属于区间 (　 ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 解析:选C　构造函数f(x)=ex+x-2,由f(0)=-1,f(1)=e-1>0,显然函数f(x)是增函数,有且只有一个零点,则函数f(x)的零点在区间(0,1)内,所以方程ex+x=2的解在区间(0,1)内. 　　|思|维|建|模| 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 解方程法 当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上 利用函数零 点存在定理 首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点 数形 结合法 通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 　　[针对训练] 3.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表: x 1 2 3 f(x) 3.4 2.6 -3.7 则函数f(x)一定存在零点的区间是 (　 ) A.(-∞,1)　　　　　　 B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) 解析:选C　若f(x)在[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)上一定存在零点.因为f(2)>0,f(3)<0,所以f(x)在(2,3)上一定存在零点. 4.函数f(x)=log3x-8+2x的零点一定位于区间 (　 ) A.(5,6)　　 B.(3,4) C.(2,3)　　 D.(1,2) 解析:选B　f(3)=log33-8+2×3=-1<0,f(4)=log34-8+2×4=log34>0.又因为f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以其零点一定位于区间(3,4). 题型(三)　函数零点个数的判断 [例4]　函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内的零点个数为 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选C　由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞).由函数零点的定义知,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x-2|-ln x=0的根.令y1=|x-2|,y2=ln x(x>0),在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象.易知两个函数图象有两个交点,故方程有两个根,即对应函数有两个零点. [例5]　已知函数f(x)=和函数g(x)=log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是　　　　.  解析:作出g(x)与f(x)的图象,如图,由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点,即h(x)有3个零点. 答案:3 |思|维|建|模| 判断函数零点个数的4种常用方法 (1)利用方程根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点. (2)画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数. (3)结合单调性,利用函数零点存在定理,可判定y=f(x)在(a,b)内零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点个数问题. 　　[针对训练] 5.判断下列函数零点的个数. (1)f(x)=x2-x+; (2)f(x)=ln x+x2-3; (3)f(x)=x2-. 解:(1)由f(x)=x2-x+=0, 得Δ=-4×=-<0, 所以方程x2-x+=0没有实数根, 即f(x)零点的个数为0. (2)法一　因为函数对应的方程为ln x+x2-3=0, 所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2(x>0)的图象交点的个数. 在同一平面直角坐标系内,作出两函数的图象(如图). 由图象知,函数y=3-x2(x>0)与y=ln x的图象只有一个交点.从而方程ln x+x2-3=0只有一个根,即函数f(x)=ln x+x2-3只有1个零点. 法二　因为f(1)=ln 1+12-3=-2<0, f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0, 所以f(1)f(2)<0. 又f(x)=ln x+x2-3的图象在[1,2]上是连续的, 所以f(x)在(1,2)上必有零点. 又f(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以只有1个零点. (3)法一　令f(x)=x2-=0,得x2=,即x3=2,解得x=,故函数只有1个零点. 法二　令f(x)=x2-=0,得x2=,设g(x)=x2(x≠0),h(x)=(x≠0),在同一平面直角坐标系中画出函数y=g(x)与y=h(x)的图象,如图所示. 由图象可知两个函数图象只有1个交点, 故函数f(x)只有1个零点. [课时检测] 1.若函数y=x2-bx+1有一个零点,则b的值为 (　 ) A.2 B.-2 C.±2 D. 3 解析:选C　因为函数有一个零点,所以Δ=b2-4=0.解得b=±2. 2.(多选)下列图象表示的函数有两个零点的是 (　 ) 解析:选CD　根据零点的定义,零点是函数图象与x轴的交点的横坐标,选项A中与x轴没有交点,即函数没有零点;选项B中函数图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点;选项C、D中函数图象与x轴有两个交点,即函数有两个零点. 3.函数f(x)=2x-的零点所在的区间是 (　 ) A.(1,+∞) B. C. D. 解析:选B　由f(x)=2x-,得f=-2<0,f(1)=2-1=1>0.即ff(1)<0.所以零点所在区间为. 4.(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的对应值表: x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) -136 -21 6 19 13 -1 -8 -2 4 29 98 则下列判断正确的是 (　 ) A.函数f(x)在区间(-1,0)内有零点 B.函数f(x)在区间(2,3)内有零点 C.函数f(x)在区间(5,6)内有零点 D.函数f(x)在区间(-1,7)内有三个零点 解析:选ABC　已知f(-1)f(0)<0,f(2)f(3)<0,f(5)f(6)<0,又f(x)的图象连续不断,所以函数f(x)在(-1,0),(2,3),(5,6)三个区间内均有零点,但不能断定有几个零点,故A、B、C正确,D不正确. 5.已知函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性,且图象是连续不断的,若f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上 (　 ) A.至少有一实数根 B.至多有一实数根 C.没有实数根 D.必有唯一的实数根 解析:选D　由题意知函数f(x)为连续函数,∵f(a)·f(b)<0,∴函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点.又函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性,∴函数f(x)在区间[a,b]上至多有一个零点,故函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点,即方程f(x)=0在区间[a,b]上必有唯一的实数根. 6.函数f(x)=ln x-的零点的个数是 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选C　如图,画出y=ln x与y=的图象.由图象知函数f(x)在(0,1)内有1个零点,在(1,+∞)上有一个零点,故函数f(x)=ln x-的零点有2个. 7.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是 (　 ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.a<b<c 解析:选D　画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示,观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a<b<c. 8.已知函数f(x)=则方程f(x)-2|x|=0的解的个数是 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选B　由f(x)-2|x|=0可得f(x)=2|x|,则方程f(x)-2|x|=0的解的个数等于函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象交点的个数,作出函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象如图所示, 由图可知,函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象有且只有一个交点,即方程f(x)-2|x|=0的解的个数为1. 9.函数f(x)=|2x-1|-3x的零点个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选A　当x>0时,则3x>2x>1,即2x-1>0,3x-2x>0,可得f(x)=-3x=2x-3x-1<-1<0,所以f(x)在内无零点;当x≤0时,则2x≤1,即2x-1≤0,可得f(x)=-3x=-2x-3x+1,因为y=2x,y=3x在R上单调递增,则f(x)在上单调递减,且f(0)=-1<0,f=--+1=>0,所以f(x)在内有且仅有一个零点.综上所述,函数f(x)=|2x-1|-3x的零点个数为1. 10.(5分)已知函数f(x)=-2x+m的零点为4,则实数m的值为　　　　.  解析:因为f(x)=-2x+m的零点为4, 所以-2×4+m=0,m=8. 答案:8 11.(5分)函数f(x)=的零点是　　　　.  解析:令f(x)=0,即=0,即x-1=0或ln x=0,解得x=1.故函数f(x)的零点为1. 答案:1 12.(10分)判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出其零点. (1)f(x)=-x2+2x-1;(2分) (2)f(x)=x4-x2;(2分) (3)f(x)=4x+5;(3分) (4)f(x)=log3(x+1).(3分) 解:(1)令-x2+2x-1=0,解得x1=x2=1.所以函数f(x)=-x2+2x-1的零点为1. (2)令f(x)=x2(x-1)(x+1)=0, 解得x=0或x=1或x=-1. 故函数f(x)=x4-x2的零点为0,-1和1. (3)令4x+5=0,则4x=-5, 因为4x>0,-5<0,所以方程4x+5=0无实数解.所以函数f(x)=4x+5不存在零点. (4)令log3(x+1)=0,解得x=0. 所以函数f(x)=log3(x+1)的零点为0. 13.(10分)已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点. (1)若函数的两个零点是-1和-3,求k的值;(3分) (2)若函数的两个零点是α和β,求α2+β2的取值范围.(7分) 解:(1)-1和-3是函数f(x)的两个零点, 故-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实数根. 则解得k=-2. (2)函数的两个零点为α和β,则α和β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两根. 所以 则-4<k<-,且α2+β2=(α+β)2-2αβ=-k2-10k-6在-4<k<-上单调递减, 所以α2+β2在区间上的取值范围是. 14.(10分)已知奇函数f(x)= (1)求实数m的值;(4分) (2)讨论方程f(x)=a(a∈R)的根的个数.(6分) 解:(1)因为f(x)=为奇函数, 所以f(-x)+f(x)=0对任意x∈R恒成立. 不妨设x>0,则-x<0, 所以(-x)2+m(-x)-x2+2x=0.解得m=2. (2)由(1)可得,f(x)= 作出f(x)的大致图象,如图所示, 方程f(x)=a(a∈R)的根的个数,即y=f(x)与y=a函数图象的交点个数. 由图可知,当a>1或a<-1时,方程f(x)=a的根的个数为1;当a=±1时,方程f(x)=a的根的个数为2; 当-1<a<1时,方程f(x)=a的根的个数为3. 15.(15分)已知函数f(x)=2x,g(x)=log2x. (1)若x0是方程f(x)=-x的根,求证:是方程g(x)=-x的根;(6分) (2)设方程f(x-1)=-x,g(x-1)=-x的根分别是x1,x2,求x1+x2的值.(9分) 解:(1)证明:因为x0是方程f(x)=-x的根,所以=-x0,即x0=-, 则g()=log2=x0=-, 所以是方程g(x)=-x的根. (2)由题意知,方程2x-1=-x,log2(x-1)=-x的根分别是x1,x2, 即方程2x-1=-(x-1),log2(x-1)=-(x-1)的根分别为x1,x2. 令t=x-1,则方程2t=-t,log2t=-t的根分别为t1=x1-1,t2=x2-1. 由(1)知t1是方程2t=-t的根, 则是方程log2t=-t的根. 令h(t)=log2t+t-,则是h(t)的零点. 又因为h(t)是(0,+∞)上的增函数, 所以是h(t)的唯一零点, 即是方程log2t=-t的唯一根, 所以=t2,所以t1+t2=t1+=, 即(x1-1)+(x2-1)=,所以x1+x2=+2=. 学科网（北京）股份有限公司 $$