4.2.2 第2课时 指数函数及其性质的应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第二课时　指数函数及其性质的应用 课标要求 1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式（逻辑推理、数学运算）. 2.能利用指数函数的图象与性质解决较为一般的综合问题（直观想象、逻辑推理）. 知识点一｜利用单调性比较大小 【例1】　（链接教材P117例3）比较下列各题中两个值的大小： （1）1.11.1，1.10.9；（2）0.1－0.2，0.10.9； （3）1.70.1，0.91.1；（4）0.70.8，0.80.7. 解：（1）因为y＝1.1x是增函数，1.1＞0.9，故1.11.1＞1.10.9. （2）因为y＝0.1x是减函数，－0.2＜0.9，故0.1－0.2＞0.10.9. （3）因为1.70.1＞1.70＝1，0.91.1＜0.90＝1，故1.70.1＞0.91.1. （4）取中间值0.70.7，因为0.70.8＜0.70.7＜0.80.7，故0.70.8＜0.80.7. 【规律方法】 比较指数幂大小的3种类型及处理方法 训练1　设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（　　） A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a 解析：C　∵1.50.6＞1.50＝1，0.60.6＜0.60＝1，故1.50.6＞0.60.6，又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5＞0.6，∴0.61.5＜0.60.6，故0.61.5＜0.60.6＜1.50.6.即b＜a＜c. 知识点二｜简单的指数不等式的解法 【例2】　求解下列不等式： （1）已知3x≥，求实数x的取值范围； 解：因为＝30.5，所以由3x≥可得：3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥，故x的取值范围为. （2）若a－5x＞ax＋7（a＞0且a≠1），求x的取值范围. 解：①当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＜x＋7，解得x＞－. ②当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＞x＋7，解得x＜－. 综上，当0＜a＜1时，x的取值范围是；当a＞1时，x的取值范围是. 【规律方法】 解指数不等式的方法 （1）利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式； （2）解不等式af（x）＞ag（x）（a＞0，a≠1）的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af（x）＞ag（x）⇒f（x）＞g（x）（a＞1）或f（x）＜g（x）（0＜a＜1）. 训练2　（1）已知函数f（x）＝若f（a）＜1，则实数a的取值范围是（　C　） A.（－∞，－3） B.（1，＋∞） C.（－3，1） D.（－∞，－3）∪（1，＋∞） 解析：由题意，知f（a）＜1等价于或解得－3＜a＜0或0≤a＜1，所以－3＜a＜1.故选C. （2）不等式23－2x＜0.53x－4的解集为{x｜x＜1}. 解析：原不等式可化为23－2x＜24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x＜4－3x，解得x＜1，则不等式的解集为{x｜x＜1}. 知识点三｜利用换元法转化求值 【例3】　函数y＝＋＋1的值域为（1，＋∞）. 解析：令t＝，则t＞0，则原函数转化为f（t）＝t2＋t＋1＝＋，t＞0，因为函数f（t）＝＋在（0，＋∞）上为增函数，所以f（t）＞1，即原函数的值域为（1，＋∞）. 【规律方法】 　　把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法，换元的实质是转化.本题令t＝ax，可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围. 训练3　函数f（x）＝a2x＋3ax－2（a＞0，且a≠1）在区间[－1，1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是－. 解析：令ax＝t（t＞0），则原函数可化为g（t）＝t2＋3t－2，易知函数g（t）在（0，＋∞）上单调递增.当0＜a＜1时，t∈[a，a－1]，g（t）max＝a－2＋3a－1－2＝8，解得a－1＝2，所以a＝.所以g（t）min＝＋3×－2＝－.当a＞1时，t∈[a－1，a]，g（t）max＝a2＋3a－2＝8，解得a＝2.所以g（t）min＝2－2＋3×2－1－2＝－.综上可知，f（x）在[－1，1]上的最小值为－. 提能点｜指数函数图象和性质的综合运用 【例4】　已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数. （1）判断并证明该函数在定义域R上的单调性； 解：由题意，得f（0）＝＝0， 所以a＝1，所以f（x）＝， 该函数是减函数，证明如下： 任取x1，x2∈R，x1＜x2， f（x2）－f（x1）＝－＝. 因为x1＜x2，所以0＜＜， 所以－＜0，（1＋）（1＋）＞0， 所以f（x2）－f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）. 所以该函数在定义域R上是减函数. （2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，求实数k的取值范围. 解：由f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0，得f（t2－2t）＜－f（2t2－k）. 因为f（x）是奇函数，所以f（t2－2t）＜f（k－2t2）， 由（1）知，f（x）是减函数，所以t2－2t＞k－2t2， 即3t2－2t－k＞0对任意t∈R恒成立， 所以Δ＝4＋12k＜0，得k＜－. 【规律方法】 函数性质的综合应用 （1）解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解，如本题中奇偶性、单调性的应用，可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题； （2）一元二次不等式的恒成立问题，可以结合相应的一元二次函数的图象，转化为等价的条件求解，恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解. 训练4　设a＞0，函数f（x）＝＋是定义域为R的偶函数. （1）求实数a的值； 解：由f（x）＝f（－x），得＋＝＋， 即4x＋＝0， 所以＝0， 根据题意，可得－a＝0， 又a＞0，所以a＝1. （2）求f（x）在[0，1]上的值域. 解：由（1）可知f（x）＝4x＋， 设任意的x1，x2∈[0，＋∞），且x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝＋－－＝（－）. 因为0≤x1＜x2，所以＜，所以－＜0. 又因为x1＋x2＞0，所以＞1，所以1－＞0， 所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）. 所以函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增. 所以函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）＝4＋＝；最小值为f（0）＝1＋1＝2. 故f（x）在[0，1]上的值域为. 1.已知0.3m＞0.3n，则m，n的大小关系为（　　） A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.不能确定 解析：B　因为函数y＝0.3x在定义域R上是减函数，且0.3m＞0.3n，所以m＜n. 2.f（x）＝2｜x｜，x∈R，那么f（x）是（　　） A.奇函数且在（0，＋∞）上单调递增 B.偶函数且在（0，＋∞）上单调递增 C.奇函数且在（0，＋∞）上单调递减 D.偶函数且在（0，＋∞）上单调递减 解析：B　由x∈R且f（－x）＝f（x）知f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝2｜x｜单调递增. 3.不等式＞的解集为（1，2）. 解析：因为y＝是减函数，且＞，所以x2－2x－2＜x－4，即x2－3x＋2＜0，解得1＜x＜2. 4.已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点，则函数g（x）＝（x≥0）的最大值为3. 解析：由已知得a2＝，解得a＝，则f（x）＝在R上是减函数，因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以0＜≤3，即函数g（x）＝（x≥0）的最大值为3. 课堂小结 1.理清单 （1）比较大小及解不等式； （2）利用换元法转化求值； （3）指数函数性质的综合运用. 2.应体会 解决比较大小问题、利用换元法转化求值问题及指数函数性质的综合问题均利用转化与化归思想. 3.避易错 研究y＝af（x）型函数，易忽视讨论a＞1还是0＜a＜1. 1.方程＝16的解是（　　） A.x＝－ B.x＝ C.x＝1 D.x＝2 解析：B　∵＝42，∴2x－1＝2，∴x＝. 2.若＜，则实数a的取值范围是（　　） A. B.（1，＋∞） C.（－∞，1） D. 解析：A　因为函数y＝在R上为减函数，且＜，所以2a＋1＞8－2a，所以a＞. 3.函数y＝－1的值域为（　　） A.[1，＋∞） B.（－1，1） C.[－1，＋∞） D.[－1，1） 解析：D　∵2x＞0，∴4－2x＜4.又∵4－2x≥0，∴0≤4－2x＜4.令t＝4－2x，则t∈[0，4），∴∈[0，2），∴y∈[－1，1），即函数的值域是[－1，1）.故选D. 4.函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍，则a＝（　　） A.或 B.或2 C. D.2 解析：B　函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍.当a＞1时，函数f（x）＝ax是增函数，f（x）max＝2f（x）min，∴f（2）＝2f（1），∴a2＝2a，∴a＝2.当0＜a＜1时，函数f（x）＝ax是减函数，f（x）max＝2f（x）min，∴f（1）＝2f（2），∴a＝2a2，∴a＝.综上所述，a＝2或a＝.故选B. 5.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　） A.a＞c＞b B.a＞b＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a 解析：A　因为y＝（x＞0）为增函数，所以a＞c.因为y＝（x∈R）为减函数，所以c＞b，所以a＞c＞b. 6.〔多选〕若f（x）＝3x＋1，则（　　） A.f（x）在[－1，1]上单调递增 B.y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称 C.f（x）的图象过点（0，1） D.f（x）的值域为[1，＋∞） 解析：AB　f（x）＝3x＋1在R上是增函数，A正确；因为y＝3x与y＝3－x的图象关于y轴对称，将它们的图象都向上平移1个单位长度仍关于y轴对称，即y＝3x＋1与y＝3－x＋1＝＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f（0）＝2，得f（x）的图象过点（0，2），则C错误；由3x＞0，可得f（x）＞1，则D错误.故选A、B. 7.已知函数f（x）＝为奇函数，则n的值为2. 解析：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）＝＝0，解得n＝2. 8.已知指数函数f（x）＝（3a－1）x，且f（－3）＞f（－2），则实数a的取值范围是. 解析：因为指数函数f（x）＝（3a－1）x，且f（－3）＞f（－2），所以函数f（x）为减函数，所以0＜3a－1＜1，解得＜a＜. 9.若不等式＞对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为. 解析：因为不等式＞对一切实数x恒成立，所以＞（3－1）x＋1，即＞3－x－1对一切实数x恒成立，又因为y＝3x为R上的增函数，所以x2－2ax＞－x－1对一切实数x恒成立，所以x2＋（1－2a）x＋1＞0对一切实数x恒成立，故Δ＝（1－2a）2－4＜0，解得－＜a＜. 10.已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，9）. （1）求实数a的值； （2）若b∈R，比较f（2b）与f（b2＋1）的大小. 解：（1）依题意，函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，9），所以a2＝9. 又因为a＞0且a≠1，所以a＝3. （2）由（1）知f（x）＝3x， 所以f（x）为R上的增函数. 又2b－（b2＋1）＝－（b－1）2≤0， 所以2b≤b2＋1，所以f（2b）≤f（b2＋1）. 11.已知方程9x－2·3x＋3k－1＝0有两个实数解，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C.（1，2） D. 解析：D　法一　令t＝3x，则t＞0.原方程有两个实数解，即方程t2－2t＋3k－1＝0有两个不相等的正实数解，设为t1，t2，则解得＜k＜，即k的取值范围是. 法二　令a＝3x，则a＞0，原方程可化为3k＝－a2＋2a＋1，即3k＝－（a－1）2＋2（a＞0），由图可知，当1＜3k＜2，即＜k＜时，符合题意，故实数k的取值范围是. 12.函数y＝ 的图象大致为（　　） 解析：A　函数有意义，需使ex－e－x≠0，其定义域为{x｜x≠0}，故排除C、D；又因为y＝＝＝1＋，所以当x＞0时，函数单调递减. 13.定义运算：aⓧb＝则函数f（x）＝3－xⓧ3x的值域为（0，1]. 解析：由题意得，f（x）＝函数f（x）的图象如图实线部分，由图可知f（x）的值域为（0，1]. 14.设函数f（x）＝kax－a－x（a＞0，且a≠1）是定义在R上的奇函数. （1）求k的值； （2）若f（1）＞0，试判断函数的单调性（不需证明），并求不等式f（x2＋2x）＋f（4－x2）＞0的解集. 解：（1）法一　∵f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（0）＝0，即k－1＝0，∴k＝1. 当k＝1时，f（x）＝ax－a－x，f（－x）＝a－x－ax＝－（ax－a－x）＝－f（x）， 故k＝1符合题意. 法二　∵f（－x）＝ka－x－ax，－f（x）＝－kax＋a－x，又f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）在定义域R上恒成立， ∴解得k＝1. （2）∵f（1）＝a－＞0， 又a＞0，且a≠1，∴a＞1. ∴y＝ax，y＝－a－x都是R上的增函数， ∴f（x）是R上的增函数. 故f（x2＋2x）＋f（4－x2）＞0⇔f（x2＋2x）＞－f（4－x2）＝f（x2－4）⇔x2＋2x＞x2－4⇔x＞－2. ∴f（x）是在R上的增函数，且不等式的解集为{x｜x＞－2}. 15.对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（－x0）＝－f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”.设f（x）＝3x＋2m－1（m∈R，且m≠0）是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，求实数m的取值范围. 解：∵f（x）＝3x＋2m－1是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”， ∴∃x0∈[－1，1]满足f（－x0）＝－f（x0）， ∴＋2m－1＝－－2m＋1， ∴4m＝－－＋2. 构造函数g（x）＝－3－x－3x＋2，x∈[－1，1]，令t＝3x，则t∈，则g（x）可转化为y＝－－t＋2， 易知y＝－－t＋2在上单调递增，在[1，3]上单调递减， ∴y∈. ∴－≤4m≤0，∴－≤m≤0， 又m≠0，∴m∈. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $