4.1.2 无理数指数幂及其运算性质（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 课标要求 1.能结合教材探究了解无理数指数幂（数学抽象）. 2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质（逻辑推理、数学运算）. 情境导入 某大型国企2024年的生产总值为a，根据相关资料判断，未来20年，该企业每一年的生产总值是上一年的倍.据此回答下列问题. 　　（1）一年后，该企业的生产总值是多少？ 　　（2）五年后，该企业的生产总值是多少？ 知识点｜无理数指数幂的运算 问题　（1）阅读教材P108探究，思考是不是一个确定的实数； 提示：5是一串逐渐增大的有理数指数幂51.4，51.41，…和另一串逐渐减小的有理数指数幂51.5，51.42，…逐步逼近的结果，它是一个确定的实数. （2）前面我们学习了有理数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）.能否把r，s的取值范围由有理数推广到实数？ 提示：能把有理数指数幂的运算性质推广到实数指数幂运算. 【知识梳理】 1.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α为无理数）是一个确定的　实数　. 2.实数指数幂的运算法则 （1）aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈R）； （2）（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈R）； （3）（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈R）； （4）拓展：＝ar－s（a＞0，r，s∈R）. 　　提醒：对于无理数指数幂aα，特别强调底数a＞0，如果a＜0，比如（－1，无法判断其值是1还是－1. 【例1】　化简下列各式： （1）π4－π·ππ－2；（2）（；（3）×12. 解：（1）π4－π·ππ－2＝π4－π＋π－2＝π2. （2）（＝＝π2－1＝π. （3）×12＝×＝＝52＝25. 【规律方法】 关于无理数指数幂的运算技巧 （1）无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同； （2）若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算. 训练1　计算下列各式的值（式中字母均是正数）： （1）（；（2）a－π. 解：（1）原式＝（·＝26·m3＝64m3. （2）原式＝＝a0＝1. 提能点一｜实际问题中的指数运算 【例2】　从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水加满，以此继续下去，则至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%. 解析：由题意，得第n次操作后溶液的浓度为，令＜，验证可得n≥4.所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%. 【规律方法】 指数运算在实际问题中的应用 　　在成倍数递增（递减）、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等. 训练2　如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次（1个分裂成2个），那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成64个. 解析：经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64（个）. 提能点二｜实数指数幂的综合运用 【例3】　已知＋＝，求下列各式的值： （1）a＋a－1； 解：将＋＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. （2）a2＋a－2. 解：将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，即a2＋a－2＝7. 变式　在本例条件下求a2－a－2的值. 解：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝（a2＋a－2）2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3. 【规律方法】 利用整体代换法求分数指数幂的和（差） （1）整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键； （2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 常见的变形公式：x2＋x－2＝（x±x－1）2∓2，x＋x－1＝（±）2∓2，＋＝（±）2∓2. 训练3　已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，且a＞b＞0，则＝. 解析：∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，∴∵a＞b＞0，∴＞.∵＝＝＝＝，∴＝＝. 1.·＝（　　） A.103 B.1 C.310 D. 解析：B　·＝（2×5＝1. 2.已知am＝4，an＝3，则＝（　　） A. B.6 C. D.2 解析：A　由题意得＝＝，所以＝＝. 3.已知＋＝5（x＞0），那么＋＝（　　） A. B.－ C.± D.7 解析：A　（＋）2＝＋＋2＝5＋2＝7.又x＞0，故＋＝. 4.式子（a，b＞0）的值为1. 解析：原式＝＝＝＝＝1. 课堂小结 1.理清单 （1）无理数指数幂的运算； （2）实际问题中的指数运算； （3）实数指数幂的综合运用. 2.应体会 在解决实数指数幂的综合运用问题时采用整体代换思想. 3.避易错 在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 1.下列运算中正确的是（　　） A.＝ B.（－a2）5＝（－a5）2 C.（－2）0＝1 D.（－）5＝－ 解析：D　＝，故A错误；（－a2）5＝－＝－a10，（－a5）2＝a10，故B错误；当a＝4时，（－2）0无意义，故C错误；（－）5＝，故D正确. 2.计算：3π×＋（＋＝（　　） A.17 B.18 C.6 D.5 解析：B　原式＝＋＋1＝1π＋24＋1＝18. 3.一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）10次，这时，报纸的厚度为（　　） A.2.56厘米 B.5.12厘米 C.10.24厘米 D.20.48厘米 解析：C　0.01×210＝10.24（厘米）. 4.已知＋＝4，则＝（　　） A.2　　　　B.4　　　　C.14　　　　D.16 解析：C　因为＋＝4，所以（＋）2＝42，即a＋a－1＋2＝16，所以a＋a－1＝14，所以＝＝a＋a－1＝14，故选C. 5.若＋＝3，则＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　由题意得＝9，且a＞0，所以a＋＝7，故＝＝. 6.〔多选〕下列计算正确的是（　　） A.＝ B.（）（－3）÷＝－9a（a＞0，b＞0） C.＝ D.已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 解析：BC　＝＝，故A错误；（）·（－3）÷＝－9·＝－9a，故B正确；＝＝（32＝＝，故C正确；因为x2＋x－2＝（x＋x－1）2－2＝2，所以（x＋x－1）2＝4，则x＋x－1＝±2，故D错误.故选B、C. 7.求值：－－（π－3）0＝－2. 解析：原式＝（22－－1＝2－1－－1＝－－1＝－2. 8.化简＝1. 解析：原式＝＝＝＝1. 9.已知x－＝1，其中x＞0，则－－＝1. 解析：由x－＝1，x＞0可得x2＝x＋1，原式＝－－＝－－＝x－＝＝1. 10.（1）当x＝，y＝2－时，求（－）·（＋＋）的值； （2）若＝－1，求的值. 解：（1）原式＝（－）[（）2＋＋（）2]＝（）3－（）3＝x2－y－1， 又∵x＝，∴x2＝2＋， ∵y＝2－，∴y－1＝1＋， ∴x2－y－1＝2＋－＝1＋. （2）由＝－1得＝＋1， ∴＝＋－1＝2－1. 11.22k－1－22k＋1＋22k＝（　　） A.22k B.22k－1 C.－22k－1 D.－22k＋1 解析：C　原式＝－22×＋2×＝（1－4＋2）×＝－.故选C. 12.已知2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝（　　） A. B.10 C.20 D.100 解析：A　由题意得m＞0，∵2a＝m，5b＝m，∴2＝，5＝，∵2×5＝·＝，∴m2＝10，∴m＝. 13.已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28（a＞0，且a≠1），则＝4. 解析：因为所以①×②得＝26，所以am＝22.将am＝22代入②，得22·＝28，所以an＝2－6，所以＝·an＝（am）4·an＝（22）4×2－6＝22＝4. 14.（1）已知a＞0，b＞0，且ab＝ba，b＝8a，求a的值； （2）已知函数f（x）＝，g（x）＝.分别计算f（4）－5f（2）g（2）和f（9）－5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明. 解：（1）∵a＞0，b＞0，又ab＝ba，b＝8a，∴（ab＝（ba， 即a＝＝（8a＝（8a，∴＝，∴a7＝8，∴a＝. （2）经计算知f（4）－5f（2）g（2）＝0，f（9）－5f（3）g（3）＝0， 由此猜想f（x2）－5f（x）g（x）＝0. 证明如下：f（x2）－5f（x）g（x）＝－·＝－＝0. 15.已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：（a－1）（d－1）＝（c－1）（b－1）. 证明：因为2a·3b＝6＝2×3， 所以2a－1·3b－1＝1， 所以（2a－1·3b－1）d－1＝1， 即2（a－1）（d－1）3（d－1）（b－1）＝1，　① 又2c·3d＝6，所以2c－1·3d－1＝1. 所以（2c－1·3d－1）b－1＝1， 所以2（c－1）（b－1）3（d－1）（b－1）＝1，　② 由①②知2（a－1）（d－1）＝2（c－1）（b－1）， 所以（a－1）（d－1）＝（c－1）（b－1）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $