3.2.2 第1课时 函数奇偶性的概念（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第一课时　函数奇偶性的概念 课标要求 1.了解函数奇偶性的定义（数学抽象）. 2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法（逻辑推理）. 3.能够利用函数的奇偶性解决简单的求值问题（数学运算）. 情境导入 　　初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y），关于原点的对称点为（－x，－y）.在学习函数过程中，已知有些函数图象本身也具备关于y轴对称（或关于原点对称），如y＝x2，今天我们就从这类特殊的函数图象入手，研究怎样用数量关系来刻画该类函数的性质. 知识点一｜函数奇偶性的概念 问题1　（1）观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示：这两个函数图象都关于y轴对称. （2）怎样用数量关系来刻画图象关于y轴的对称性？ 提示：当自变量取一对相反数时，对应的函数值相等. （3）观察函数f（x）＝x和g（x）＝的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？怎样用数量关系刻画这一函数特征？ 提示：这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形，当自变量取一对相反数时，对应的函数值相反. 【知识梳理】 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D 结论 f（－x）＝　f（x）　 f（－x）＝　－f（x）　 图象特点 关于　y轴　对称 关于　原点　对称 　　提醒：（1）函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，即若函数f（x）的定义域关于原点对称是f（x）具有奇偶性的必要条件；（3）当f（x）的定义域关于原点对称时：①若f（－x）≠±f（x）⇔f（x）是非奇非偶函数；②若f（－x）＝±f（x）⇔f（x）既是奇函数又是偶函数. 【例1】　判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝x2＋｜x｜； 解：函数的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R. 且f（－x）＝（－x）2＋｜－x｜＝x2＋｜x｜＝f（x）， 因此函数f（x）是偶函数. （2）f（x）＝x－； 解：函数f（x）的定义域为{x｜x≠0}， 因为∀x∈{x｜x≠0}，都有－x∈{x｜x≠0}， 且f（－x）＝－x－＝－＝－f（x）， 所以f（x）是奇函数. （3）f（x）＝； 解：函数f（x）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞），因为定义域（－∞，－1）∪（－1，＋∞）不关于原点对称， 所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数. （4）f（x）＝＋. 解：由得x2＝1，即x＝±1. 因此函数的定义域为{－1，1}，因为∀x∈{－1，1}，都有－x∈{－1，1}，且f（1）＝f（－1）＝－f（－1）＝0，所以f（x）既是奇函数又是偶函数. 【规律方法】 判断函数奇偶性的方法 （1）定义法 （2）图象法 　　提醒：若判断f（x）不是奇函数或不是偶函数，只需举一个反例即可. 训练1　判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝－｜x｜； 解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，又f（－x）＝－｜－x｜＝－｜x｜＝f（x），∴f（x）为偶函数. （2）f（x）＝； 解：函数f（x）的定义域为{x｜x≠1}，不关于原点对称， ∴f（x）是非奇非偶函数. （3）f（x）＝ 解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称. f（－x）＝ 即f（－x）＝ 于是有f（－x）＝－f（x），∴f（x）为奇函数. 知识点二｜奇、偶函数的图象特征（几何意义） 问题2　奇函数的图象有怎样的几何特征？偶函数呢？ 提示：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. 【例2】　已知奇函数f（x）的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示. （1）画出在区间[－5，0]上的图象； 解：因为函数f（x）是奇函数，所以y＝f（x）在[－5，5]上的图象关于原点对称. 由y＝f（x）在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象如图所示. （2）写出使f（x）＜0的x的取值集合. 解：由图象知，使f（x）＜0的x的取值集合为（－2，0）∪（2，5）. 变式　将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题. 解：（1）如图所示. （2）由（1）可知，使f（x）＜0的x的取值集合为（－5，－2）∪（2，5）. 【规律方法】 奇、偶函数的图象特征的应用 （1）利用奇、偶函数的图象特征可以判断函数的奇、偶性； （2）若已知函数的奇、偶性和自变量取正值时的图象特征，可推出该函数在整个定义域内的图象特征. 　　提醒：若奇函数f（x）在x＝0处有定义，必有f（0）＝0，即它的图象必过原点（0，0）. 训练2　已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2＋2x.现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示. （1）请补出完整函数y＝f（x）的图象； 解：由题意作出函数图象如图. （2）根据图象写出函数y＝f（x）的单调递增区间； 解：据图可知，单调递增区间为（－1，0），（1，＋∞）. （3）根据图象写出使f（x）＜0的x的取值集合. 解：据图可知，使f（x）＜0的x的取值集合为（－2，0）∪（0，2）. 提能点｜利用函数奇偶性求值 【例3】　（1）若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＋b＝； 解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.所以函数f（x）＝x2＋bx＋b＋1，为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.所以a＋b＝. （2）已知函数f（x）＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f（－5）＝6，则f（5）＝－2. 解析：法一　f（－5）＝（－5）7－a（－5）5＋b（－5）3＋c（－5）＋2＝6，所以－57＋55a－53b－5c＝4，所以57－55a＋53b＋5c＝－4，f（5）＝（57－55a＋53b＋5c）＋2＝－4＋2＝－2. 法二　令g（x）＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g（x）是奇函数，∴f（－5）＝g（－5）＋2＝－g（5）＋2，又f（－5）＝6，∴g（5）＝－4.又f（5）＝g（5）＋2，∴f（5）＝－4＋2＝－2. 【规律方法】 利用奇偶性求值的常见类型 （1）求参数值：若解析式含参数，则根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数； （2）求函数值：利用f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）整体代换求解；有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 训练3　 （1）已知函数f（x）＝ax2＋2x是奇函数，则f（1）＝2； 解析：由奇函数定义有f（－x）＋f（x）＝0，得a（－x）2＋2（－x）＋ax2＋2x＝2ax2＝0，又上式对∀x∈R恒成立，故a＝0，所以f（x）＝2x，f（1）＝2. （2）若f（x）＝（x＋a）（x－4）为偶函数，则实数a＝4. 解析：法一　f（x）＝（x＋a）（x－4）＝x2＋（a－4）x－4a，f（－x）＝（－x＋a）（－x－4）＝x2－（a－4）x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4. 法二　f（x）＝（x＋a）（x－4）＝x2＋（a－4）x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4. 法三　由函数f（x）＝0得x1＝－a，x2＝4，由于f（x）是偶函数，∴4－a＝0，∴a＝4. 1.下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是（　　） 解析：B　由函数的定义知，图形A、D不是函数图象，故排除A、D；由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，故排除C. 2.下列函数中是偶函数的有（　　） A.y＝－2x B.y＝x3＋1 C.y＝x＋ D.y＝｜x｜＋ 解析：D　对于A，定义域为R，因为f（－x）＝－2（－x）＝2x＝－（－2x）＝－f（x），所以函数为奇函数；对于B，定义域为R，因为f（－x）＝（－x）3＋1＝－x3＋1≠f（x），所以函数不是偶函数；对于C，定义域为{x｜x≠0}，因为f（－x）＝－x＋＝－＝－f（x），所以函数为奇函数；对于D，定义域为{x｜x≠0}，因为f（－x）＝｜－x｜＋＝｜x｜＋＝f（x），所以函数为偶函数，故选D. 3.若函数y＝f（x），x∈[－4，a]是偶函数，则a的值为4. 解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－4＋a＝0，所以a＝4. 4.奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上的图象如图，则函数f（x）的增区间为（－∞，－1]，[1，＋∞）. 解析：奇函数的图象关于原点对称，可知函数f（x）的增区间为（－∞，－1]，[1，＋∞）. 课堂小结 1.理清单 （1）函数奇偶性的概念； （2）函数奇偶性的判断； （3）奇函数、偶函数的图象特征； （4）奇函数、偶函数图象的应用. 2.应体会 特值法、整体代换法、数形结合法. 3.避易错 忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称. 1.若f（x）＝3x3＋5x＋a－1为R上的奇函数，则a的值为（　　） A.0 B.－1 C.1 D.2 解析：C　∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）＝0，得a＝1. 2.若函数f（x）（f（x）≠0）为奇函数，则必有（　　） A.f（x）f（－x）＞0 B.f（x）f（－x）＜0 C.f（x）＜f（－x） D.f（x）＞f（－x） 解析：B　∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），又f（x）≠0，∴f（x）f（－x）＝－[f（x）]2＜0.故选B. 3.函数f（x）＝的图象关于（　　） A.y轴对称 B.x轴对称 C.坐标原点对称 D.直线y＝x对称 解析：A　∵函数f（x）＝的定义域为{x｜x≠±1}关于原点对称，且f（－x）＝＝＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称.故选A. 4.已知y＝f（x），x∈（－a，a），F（x）＝f（x）＋f（－x），则F（x）是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析：B　∵F（－x）＝f（－x）＋f（x）＝F（x），又x∈（－a，a）关于原点对称，∴F（x）是偶函数. 5.已知函数f（x）＝ax2＋（b＋1）x＋2a＋b是定义在[2a－1，a]上的偶函数，则f（a＋b）＝（　　） A.1 B.0 C.－ D.－ 解析：D　由题意得，2a－1＋a＝0，解得a＝，因为f（x）＝ax2＋（b＋1）x＋2a＋b为偶函数，所以f（－x）＝f（x），即a（－x）2－（b＋1）x＋2a＋b＝ax2＋（b＋1）x＋2a＋b，所以b＋1＝0，解得b＝－1，所以f（x）＝x2－，a＋b＝－，所以f（a＋b）＝f＝－. 6.〔多选〕下列命题正确的是（　　） A.偶函数的图象一定与y轴相交 B.奇函数的图象一定通过原点 C.若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则恒有f（0）＝0 D.若函数f（x）为偶函数，则有f（x）＝f（－x）＝f（｜x｜） 解析：CD　函数f（x）＝是偶函数，但与y轴不相交，所以A不正确；函数f（x）＝是奇函数，但图象不过原点，所以B不正确；由奇偶性的定义知C，D正确. 7.〔多选〕如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数为奇函数的是（　　） A.g（x）＝x＋f（x） B.g（x）＝xf（x） C.g（x）＝x2＋f（x） D.g（x）＝x2f（x） 解析：AD　因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x）.对于A，g（－x）＝－x＋f（－x）＝－x－f（x）＝－g（x），所以g（x）＝x＋f（x）是奇函数；对于B，g（－x）＝－xf（－x）＝xf（x）＝g（x），所以g（x）＝xf（x）是偶函数；对于C，g（－x）＝（－x）2＋f（－x）＝x2－f（x），所以g（x）＝x2＋f（x）为非奇非偶函数；对于D，g（－x）＝（－x）2·f（－x）＝－x2f（x）＝－g（x），所以g（x）＝x2f（x）是奇函数. 8.已知函数f（x）＝x3＋，若f（a）＝4，则f（－a）＋f（）＝－. 解析：易知f（－x）＝－x3－＝－f（x），即f（x）为奇函数，所以f（－a）＋f（）＝－f（a）＋（）3＋＝－4＋2＋＝－. 9.已知函数y＝f（x）为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和是0. 解析：由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0. 10.已知函数f（x）＝x＋，且f（1）＝3. （1）求m的值； （2）判断函数f（x）的奇偶性. 解：（1）由题意知，f（1）＝1＋m＝3，∴m＝2. （2）由（1）知，f（x）＝x＋，定义域为{x｜x≠0}. ∵∀x∈{x｜x≠0}，都有－x∈{x｜x≠0}， 且f（－x）＝（－x）＋＝－＝－f（x）， ∴函数f（x）为奇函数. 11.函数f（x）＝是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析：B　若x是有理数，则－x也是有理数，f（－x）＝f（x）＝1；若x是无理数，则－x也是无理数，f（－x）＝f（x）＝0.∴函数f（x）是偶函数. 12.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（2）＋g（2）＝（　　） A.－3 B.－1 C.0 D.3 解析：A　因为f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，所以f（－x）－g（－x）＝－x3＋x2＋1.又由题意可知f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），所以f（x）＋g（x）＝－x3＋x2＋1，则f（2）＋g（2）＝－3，故选A. 13.〔多选〕已知函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）｜g（x）｜是奇函数 B.｜f（x）｜g（x）是奇函数 C.f（g（x））是偶函数 D.g（f（x））是奇函数 解析：AC　∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），对于选项A：令h（x）＝f（x）·｜g（x）｜，h（－x）＝f（－x）·｜g（－x）｜＝－f（x）｜g（x）｜＝－h（x），则f（x）·｜g（x）｜为奇函数，即选项A正确；对于选项B：令h（x）＝｜f（x）｜g（x），h（－x）＝｜f（－x）｜·g（－x）＝｜－f（x）｜g（x）＝｜f（x）｜·g（x）＝h（x），则｜f（x）｜g（x）为偶函数，即选项B错误；对于选项C：令h（x）＝f（g（x）），h（－x）＝f（g（－x））＝f（g（x））＝h（x），则f（g（x））为偶函数，即选项C正确；对于选项D：令h（x）＝g（f（x）），h（－x）＝g（f（－x））＝g（－f（x））＝g（f（x））＝h（x），则g（f（x））为偶函数，即选项D错误；综上所述A、C正确. 14.已知函数f（x）＝，若f（x）在区间[－t，t]上的最大值为M，最小值为m，求M＋m的值. 解：根据题意，f（x）＝＝1＋， 而h（x）＝是奇函数，所以f（x）＝h（x）＋1， M＝f（x）max＝h（x）max＋1，m＝f（x）min＝h（x）min＋1， 所以M＋m＝（h（x）max＋1）＋（h（x）min＋1）＝（h（x）max＋h（x）min）＋2， 又因h（x）max＋h（x）min＝0，则M＋m＝2. 15.已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）. （1）求证：f（x）是奇函数； （2）若f（－3）＝a，试用a表示f（9）. 解：（1）证明：由已知f（x＋y）＝f（x）＋f（y）， 令y＝－x得f（0）＝f（x）＋f（－x）， 令x＝y＝0得f（0）＝2f（0）， 所以f（0）＝0. 所以f（x）＋f（－x）＝0， 即f（－x）＝－f（x）， 故f（x）是奇函数. （2）由（1）知f（x）为奇函数. 所以f（－3）＝－f（3）＝a， 所以f（3）＝－a. 又f（9）＝f（6）＋f（3）＝2f（3）＋f（3）＝3f（3）， 所以f（9）＝－3a. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $