3.2.1 第2课时 函数的最大（小）值（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第二课时　函数的最大（小）值 课标要求 1.了解函数的最大（小）值的概念及其几何意义（数学抽象）. 2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值（直观想象）. 3.会借助函数的单调性求最值（逻辑推理、数学运算）. 4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题（数学建模）. 情境导入 　　如图为某城市一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图，从图象上可以看出该市在这一天的24小时内什么时刻气温最高，什么时刻气温最低，由此图象表明该函数在24小时之内的最大值及最小值.今天就借助这一实际情境，研究函数的最大（小）值问题. 　　 知识点一｜直观感知函数的最大值和最小值 问题1　（1）如图所示是函数y＝－x2－2x，y＝－2x＋1（x∈[－1，＋∞）），y＝f（x）的图象.观察并描述这三个图象的共同特征. 提示：函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞）的图象有最高点B，函数y＝f（x）的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点. （2）你是怎样理解函数图象最高点的？ 提示：图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值. 【知识梳理】 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有 f（x）　≤　M f（x）　≥　M ∃x0∈D，使得　f（x0）＝M 结论 M是函数y＝f（x）的最大值 M是函数y＝f（x）的最小值 　　提醒：（1）函数f（x）在其定义域内的最大（小）值的几何意义是其图象上最高（低）点的纵坐标；（2）函数的最值是函数的整体性质；（3）注意函数的最值与函数值域的区别与联系. 【例1】　已知函数f（x）＝ （1）在直角坐标系内画出f（x）的图象； 解：图象如图所示. （2）根据函数的图象写出函数的最值. 解：由图可知f（x）在定义域[－1，5]上.当x＝0时，f（x）取最大值为3，当x＝2时，f（x）取最小值为－1. 【规律方法】 图象法求函数最值的一般步骤 训练1　已知函数y＝－｜x－1｜＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域. 解：y＝－｜x－1｜＋2＝ 图象如图所示， 由图象知，函数y＝－｜x－1｜＋2的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为（－∞，2]. 知识点二｜利用单调性求函数的最值 问题2　（1）若函数y＝f（x）在区间[1，2]上单调递增，则f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是多少？ 提示：最大值为f（2），最小值为f（1）. （2）若f（x）＝－x2＋3x＋1的定义域为[1，3]，则f（x）的最大值和最小值一定在端点上取到吗？ 提示：不一定，需要考虑函数的单调性. 【例2】　已知函数f（x）＝. （1）用函数单调性定义证明f（x）＝在（1，＋∞）上单调递减； 解：证明：设x1，x2为区间（1，＋∞）上的任意两个实数，且1＜x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝－＝， 因为1＜x1＜x2， 所以x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0， 所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）. 故函数f（x）＝在（1，＋∞）上单调递减. （2）求函数f（x）＝在区间[3，4]上的最大值与最小值. 解：由（1）可知，函数f（x）＝在[3，4]上单调递减， 所以在x＝3时，函数f（x）＝取得最大值； 在x＝4时，函数f（x）＝取得最小值. 变式　求函数f（x）＝在[－4，－3]上的最值. 解：任取x1，x2∈[－4，－3]且x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝－＝. ∵x1，x2∈[－4，－3]， ∴1－x1＞0，1－x2＞0. 又x1＜x2， ∴x1－x2＜0， ∴f（x1）－f（x2）＜0， ∴f（x1）＜f（x2）， ∴f（x）在[－4，－3]上单调递增， ∴f（x）min＝f（－4）＝－， f（x）max＝f（－3）＝－， ∴f（x）在[－4，－3]上最大值为－，最小值为－. 【规律方法】 利用函数的单调性求最值的四种常见情况 （1）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上是增函数，则最小值为f（a），最大值为f（b），值域为[f（a），f（b）]；　 （2）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上是减函数，则最小值为f（b），最大值为f（a），值域为[f（b），f（a）]；　 （3）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么函数y＝f（x），x∈[a，c]在x＝b处有最大值f（b）； （4）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么函数y＝f（x），x∈[a，c]在x＝b处有最小值f（b）. 训练2　已知函数f（x）＝. （1）证明：函数f（x）在上单调递减； 解：证明：设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2＞x1＞， f（x1）－f（x2）＝－ ＝.由于x2＞x1＞， 所以x2－x1＞0，且（2x1－1）（2x2－1）＞0， 所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）， 所以函数f（x）＝在区间上单调递减. （2）求函数f（x）在[1，5]上的最值. 解：由（1）知，函数f（x）在[1，5]上单调递减， 因此，函数f（x）＝在区间[1，5]上的两个端点处分别取得最大值与最小值， 即最大值为f（1）＝3，最小值为f（5）＝. 知识点三｜实际应用中的最值问题 【例3】　某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x（不低于进价，单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下关系： x 45 50 y 27 12 （1）确定x与y的一个一次函数关系式y＝f（x）（注明函数定义域）； 解：因为f（x）是一次函数，设f（x）＝ax＋b（a≠0）， 由表格得方程组解得 所以y＝f（x）＝－3x＋162. 又y≥0，所以30≤x≤54， 故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]. （2）若日销售利润为P元，根据（1）中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 解：由题意得， P＝（x－30）y＝（x－30）（162－3x） ＝－3x2＋252x－4 860 ＝－3（x－42）2＋432，x∈[30，54]. 当x＝42时，日销售利润最大，最大值为432元， 即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润. 【规律方法】 解实际应用题的4个步骤 训练3　某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K（万元）是关于单位产品数Q的函数，K（Q）＝40Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是2 500万元. 解析：总利润L（Q）＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－（Q－300）2＋2 500.故当Q＝300时，总利润最大值为2 500万元. 提能点｜二次函数的最值 【例4】　求二次函数f（x）＝x2－2x＋2在[－1，1]上的最值. 解：∵函数f（x）＝x2－2x＋2的对称轴为x＝1， ∴f（x）在[－1，1]上单调递减， ∴f（x）min＝f（1）＝1，f（x）max＝f（－1）＝5. 变式1　在本例条件下，求f（x）在区间[t，t＋1]上的最小值. 解：f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R， 当t＋1＜1，即t＜0时，函数f（x）的图象如图1中实线所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f（t＋1）＝t2＋1； 当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数f（x）的图象如图2中实线所示，最小值为f（1）＝1； 当t＞1时，函数f（x）的图象如图3中实线所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为f（t）＝t2－2t＋2. 综上，最小值g（t）＝ 变式2　已知函数g（x）＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数g（x）的最小值. 解：g（x）＝x2－2ax＋2＝（x－a）2＋2－a2，x∈[－1，1]. 当a≥1时，函数g（x）的图象如图1中实线所示，函数g（x）在区间[－1，1]上单调递减，最小值为g（1）＝3－2a； 当－1＜a＜1时，函数g（x）的图象如图2中实线所示，函数g（x）在区间[－1，a）上单调递减，在区间（a，1]上单调递增，最小值为g（a）＝2－a2； 当a≤－1时，函数g（x）的图象如图3中实线所示，函数g（x）在区间[－1，1]上单调递增，最小值为g（－1）＝3＋2a. 综上所述，g（x）min＝ 【规律方法】 二次函数最值问题的类型及求解策略 类型 ①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动 求解 策略 抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 训练4　若g（x）＝x2－2ax＋2，当x∈[2，4]时，g（x）≤a恒成立，求实数a的取值范围. 解：在[2，4]内，g（x）≤a恒成立， 即a≥x2－2ax＋2在[2，4]内恒成立， 即a≥g（x）max，x∈[2，4]. 又g（x）max＝ （1）当a≤3时，a≥18－8a，解得a≥2，此时有2≤a≤3； （2）当a＞3时，a≥6－4a，解得a≥，此时有a＞3. 综上有实数a的取值范围是[2，＋∞）. 1.函数y＝在区间上的最大值是（　　） A. B.－1 C.4 D.－4 解析：C　y＝在上单调递减，∴当x＝时，ymax＝4. 2.函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（　　） A.10，5 B.10，1 C.5，1 D.以上都不对 解析：B　因为y＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，且x∈[－2，3]，所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝（－2－1）2＋1＝10.故选B. 3.函数y＝的最大值是5. 解析：当x＜1时，函数y＝x＋3单调递增，有y＜4，无最大值；当x≥1时，函数y＝－x＋6单调递减，在x＝1处取得最大值5.所以该函数的最大值为5. 4.用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为3m. 解析：设隔墙长为x（0＜x＜6）m，矩形面积为y m2，则y＝x·＝2x（6－x）＝－2（x－3）2＋18，∴当x＝3时，ymax＝18. 课堂小结 1.理清单 （1）函数的最大值、最小值定义； （2）求解函数最值的方法； （3）函数最值的应用； （4）二次函数最值问题的讨论. 2.应体会 分类讨论法、数形结合法. 3.避易错 （1）在利用单调性求最值时忽略函数的定义域； （2）求含参数的二次函数的最值时忽视对称轴与区间的位置分类讨论. 1.函数f（x）在[－2，1]上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为（　　） A.3，0 B.3，1 C.3，无最小值 D.3，－2 解析：B　观察题中图象可知，图象的最高点坐标是（0，3），从而函数f（x）的最大值是3；函数f（x）图象的最低点为（－2，1），即当x＝－2时，f（x）取得最小值1.故选B. 2.已知函数y＝（k＞0）在[4，6]上的最大值为1，则k的值是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B　因为当k＞0时，函数y＝在[4，6]上单调递减，所以函数y＝（k＞0）在[4，6]上的最大值为＝1，解得k＝2.故选B. 3.函数f（x）＝－x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为（　　） A.[－6，－2] B.[－11，－2] C.[－11，－6] D.[－11，－1] 解析：B　函数f（x）＝－x2＋4x－6＝－（x－2）2－2，x∈[0，5]，所以当x＝2时，f（x）取得最大值，为－（2－2）2－2＝－2，当x＝5时，f（x）取得最小值，为－（5－2）2－2＝－11，所以函数f（x）的值域是[－11，－2].故选B. 4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x（其中销售量单位：辆）.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（　　） A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元 解析：C　设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售（15－x）辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2（15－x）＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，x∈N.∴当x＝9或10时，L最大为120万元. 5.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　） A.[1，＋∞） B.[0，2] C.（－∞，2] D.[1，2] 解析：D　f（x）＝（x－1）2＋2，∵f（x）min＝2，f（x）max＝3，且f（1）＝2，f（0）＝f（2）＝3，∴1≤m≤2. 6.〔多选〕若x∈R，f（x）是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f（x）（　　） A.最大值为2 B.最大值为1 C.最小值为－1 D.无最小值 解析：BD　在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示.根据题意，图中实线部分即为函数f（x）的图象.当x＝1时，f（x）取得最大值.且f（x）max＝1，由图象知f（x）无最小值，故选B、D. 7.〔多选〕已知函数f（x）＝有最小值，则实数a的值可能为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 解析：BCD　由题意知，当x＞0时，函数f（x）＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x＜0时，f（x）＝x2＋a＞a，因此要使f（x）有最小值，则必须有a≥4，故选B、C、D. 8.已知函数f（x）＝x－2＋4，则函数f（x）的最小值为3. 解析：f（x）＝x－2＋4＝（）2－2＋1＋3＝（－1）2＋3，∴当＝1，即x＝1时，f（x）有最小值3. 9.已知函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝1. 解析：若a＜0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上单调递减，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a＜0，舍去；若a＞0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上单调递增，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1. 10.已知f（x）＝，讨论f（x）的单调性，并求f（x）在区间[2，4]上的最大值和最小值. 解：f（x）＝＝＝1＋的定义域为{x｜x≠1}，所以f（x）在（－∞，1），（1，＋∞）上单调递减. 证明：∀x1，x2∈（1，＋∞）且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝1＋－＝－＝＝， 因为x1，x2∈（1，＋∞）且x1＜x2， 所以x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0， 所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）， 所以f（x）在（1，＋∞）上单调递减， 同理可证f（x）在（－∞，1）上单调递减. 因为f（x）在[2，4]上单调递减，所以f（x）max＝f（2）＝3，f（x）min＝f（4）＝. 11.用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值.设f（x）＝min{x＋2，10－x}（x≥0），则f（x）的最大值为（　　） A.4 B.5 C.6 D.10 解析：C　在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象.根据min{x＋2，10－x}（x≥0）的含义可知，f（x）的图象应为图中的实线部分.解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为（4，6）.所以f（x）＝其最大值为交点的纵坐标，所以f（x）的最大值为6. 12.〔多选〕已知函数f（x）＝x2－2ax＋a的单调递减区间为（－∞，1]，则函数g（x）＝在区间（0，1]上一定（　　） A.有最大值 B.有最小值 C.单调递增 D.单调递减 解析：BD　二次函数f（x）＝x2－2ax＋a图象的对称轴为直线x＝a，因为函数f（x）＝x2－2ax＋a的单调递减区间为（－∞，1]，所以a＝1.g（x）＝x＋－2，该函数在（0，1）上单调递减，所以当x∈（0，1]时，函数g（x）单调递减，且有最小值，为g（1）＝0.故选B、D. 13.已知函数f（x）＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝6. 解析：易知f（x）在[a，b]上单调递减，所以即解得所以a＋b＝6. 14.设f（x）＝x2－2ax（0≤x≤1）的最大值为M（a），最小值为m（a），求M（a）及m（a）的表达式. 解：f（x）＝x2－2ax＝（x－a）2－a2，x∈[0，1]. 当a≤0时，M（a）＝f（1）＝1－2a，m（a）＝f（0）＝0；　 当0＜a≤时，M（a）＝f（1）＝1－2a，m（a）＝－a2； 当＜a≤1时，M（a）＝f（0）＝0，m（a）＝－a2； 当a＞1时，M（a）＝f（0）＝0，m（a）＝f（1）＝1－2a. 综上，M（a）＝ m（a）＝ 15.已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞）. （1）当a＝2时，求函数f（x）的最小值； （2）若对任意x∈[1，＋∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围. 解：（1）当a＝2时，f（x）＝2x＋＋4， 因为f（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以f（x）在[1，＋∞）上有最小值f（1）＝8. （2）在[1，＋∞）上，f（x）＝＞0恒成立，等价于2x2＋4x＋a＞0恒成立， 令g（x）＝2x2＋4x＋a＝2（x＋1）2＋a－2，则g（x）在[1，＋∞）上单调递增. 当x＝1时，有最小值6＋a. 由f（x）＞0恒成立，得6＋a＞0，故a＞－6. 故实数a的取值范围为（－6，＋∞）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $