2.3.2 一元二次不等式的应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第二课时　一元二次不等式的应用 知识点一｜简单的分式不等式 问题　不等式≥0的解集与（x＋1）（x－2）≥0的解集相同吗？不等式＜0与（x－3）（x＋2）＜0等价吗？ 提示：不相同；等价. 【知识梳理】 简单分式不等式的解法 【例1】　解下列不等式： （1）≥0； 解：不等式≥0可转化成不等式组解得x≤－1或x＞3，所以原不等式的解集为{x｜x≤－1或x＞3}. （2）＜3. 解：不等式＜3可改写为－3＜0，即＜0， 可将这个不等式转化成2（x－1）（x＋1）＜0，解得－1＜x＜1， 所以原不等式的解集为{x｜－1＜x＜1}. 【规律方法】 分式不等式的解法 （1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零； （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零的形式，然后求解. 训练1　解下列不等式： （1）＜0； 解：不等式＜0可转化为（2x＋1）（1－x）＜0， 解得x＞1或x＜－. 故原不等式的解集为{x｜x＞1或x＜－}. （2）≤1. 解：因为≤1，所以－1≤0， 所以≤0，则（4－x）（2x－3）≤0且2x≠3， 解得x＜或x≥4. 故原不等式的解集为{x｜x＜或x≥4}. 知识点二｜一元二次不等式的实际应用 【例2】　（链接教材P53例4、P54例5）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政策协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500. （1）设袁阳每月获得的利润为w（单位：元），写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系； 解：依题意可知每件的销售利润为（x－10）元，每月的销售量为（－10x＋500）件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为w＝（x－10）·（－10x＋500）（10≤x≤50）. （2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果袁阳想要每月获得的利润不小于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 解：由每月获得的利润不小于3 000元，得（x－10）·（－10x＋500）≥3 000，化简得x2－60x＋800≤0，解得20≤x≤40. 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25. 设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝（12－10）（－10x＋500）＝－20x＋1 000. 由20≤x≤25，得500≤－20x＋1 000≤600. 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p｜500≤p≤600}. 【规律方法】 解不等式应用题的步骤 训练2　某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？ 解：由题意可得s＝－2x＋x2≥22.5，化简得x2－36x－405≥0，解得x≥45或x≤－9，又∵x≥0，∴x≥45. ∴这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h. 提能点｜三个“二次”间的关系 【例3】　若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a＞0的解集. 解：法一　由题意知 所以 代入不等式cx2－bx＋a＞0中得ax2＋ax＋a＞0（a＜0）， 即x2＋x＋1＜0， 化简得x2＋5x＋6＜0，解得－3＜x＜－2. 所以所求不等式的解集为{x｜－3＜x＜－2}. 法二　由题意得方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，，且a＜0， 所以－＝＋＝，＝×＝， 由cx2－bx＋a＞0得x2－x＋1＜0，即x2＋x＋1＜0，即x2＋5x＋6＜0， 故－3＜x＜－2.即不等式cx2－bx＋a＞0的解集为{x｜－3＜x＜－2}. 变式　若将本例中“”改为“”，其他条件不变，如何求解？ 解：由题意知所以 代入不等式cx2－bx＋a＞0， 得ax2＋ax＋a＞0（a＞0）， 即x2＋x＋1＞0，化简得x2＋5x＋6＞0， 解得x＞－2或x＜－3. 所以所求不等式的解集为{x｜x＞－2或x＜－3}. 【规律方法】 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究； （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 训练3　〔多选〕已知a∈Z，若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（　　） A.5 B.6 C.7 D.9 解析：BC　设y＝x2－6x＋a，函数图象开口向上，且对称轴为x＝3，因此关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数时，需满足当x＝2时，y≤0，且当x＝1时，y＞0，即解得5＜a≤8，又因为a∈Z，所以a＝6或7或8.故选B、C. 1.不等式≥0的解集为（　　） A.{x｜0≤x≤1} B.{x｜0＜x≤1} C.{x｜x≤0，或x≥1} D.{x｜x＜0，或x≥1} 解析：B　原不等式可化为解得故解集为{x｜0＜x≤1}.故选B. 2.某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x（件）与售价p（元/件）的关系为p＝300－2x，生产x件的成本r＝500＋30x（元）.为使月获利不少于8 600元，则月产量x满足（　　） A.55≤x≤60 B.60≤x≤65 C.65≤x≤70 D.70≤x≤75 解析：C　由题意可得（300－2x）x－（500＋30x）≥8 600，即x2－135x＋4 550≤0，则（x－65）（x－70）≤0，故65≤x≤70. 3.不等式＞0的解集为{x｜x＞－5且x≠2}. 解析：＞0⇒⇒⇒x＞－5且x≠2. 4.已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x｜1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集. 解：∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x｜1＜x＜2}， ∴x1＝1和x2＝2是方程x2＋ax＋b＝0的两根. 由一元二次方程根与系数的关系得解得 代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0， 即（2x－1）（x－1）＞0， ∴x＜或x＞1. ∴bx2＋ax＋1＞0的解集为{x｜x＞1或x＜}. 课堂小结 1.理清单 （1）简单的分式不等式的解法； （2）一元二次不等式的实际应用； （3）三个“二次”间的关系. 2.应体会 已知不等式解集逆求参数的思路是把一元二次不等式解集的端点转化为一元二次方程的实数根，体现转化思想. 3.避易错 （1）解分式不等式要等价变形； （2）利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义. 1.不等式≥0的解集为（　　） A.{x｜－1＜x≤1} B.{x｜－1≤x＜1} C.{x｜－1≤x≤1} D.{x｜－1＜x＜1} 解析：B　原不等式等价于∴－1≤x＜1. 2.已知关于x的不等式（ax－1）（x＋1）＜0的解集是，则a＝（　　） A.2 B.－2 C.－ D. 解析：B　∵关于x的不等式（ax－1）（x＋1）＜0的解集是{x｜x＜－1或x＞－}，∴方程（ax－1）（x＋1）＝0的两根为－1与－，且a＜0，故可得＝－，解得a＝－2，故选B. 3.关于x的不等式＜0的解集为M，若0∈M，则实数m的取值范围是（　　） A.m＜0 B.m＞0 C.m≠0 D.不确定 解析：B　因为0∈M，所以代入不等式＜0得－m＜0，即m＞0，故选B. 4.若不等式ax2－x＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则函数y＝ax2＋x＋c的图象大致为（　　） 解析：C　因为不等式ax2－x＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则解得a＝－1，c＝2.故所求函数解析式为y＝－（x＋1）（x－2），抛物线开口向下，与x轴的交点的横坐标分别为－1，2，故选C. 5.〔多选〕下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（　　） A.（x＋8）（x2＋2x＋3）＜2 B.x＋8＜2（x2＋2x＋3） C.＜ D.2x2＋3x－2＞0 解析：BD　依题意，注意到x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2＞0，因此不等式＜2等价于x＋8＜2（x2＋2x＋3），化简得2x2＋3x－2＞0. 6.〔多选〕已知关于x的方程x2＋（m－3）x＋m＝0，下列结论中正确的是（　　） A.方程x2＋（m－3）x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m｜m＜1或m＞9} B.方程x2＋（m－3）x＋m＝0有一正根一负根的充要条件是m∈{m｜m＜0} C.方程x2＋（m－3）x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m｜0＜m≤1} D.方程x2＋（m－3）x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m｜m＞1} 解析：BCD　对于选项A，由Δ＝（m－3）2－4m≥0得m≤1或m≥9，故A错误；对于选项B，当x＝0时，函数y＝x2＋（m－3）x＋m的值为m，由二次函数的图象知，方程有一正根一负根的充要条件是m∈{m｜m＜0}，故B正确；对于选项C，由题意得解得0＜m≤1，故C正确；对于选项D，Δ＝（m－3）2－4m＜0，则1＜m＜9，因为{m｜1＜m＜9}⊆{m｜m＞1}，故D正确.故选B、C、D. 7.不等式≥0的解集是{x｜－1≤x＜5}，则a的值为5. 解析：由于原不等式等价于因此结合不等式解集知a＝5. 8.不等式x＋＜6的解集为{x｜0≤x＜4}. 解析：原不等式可化为（）2＋－6＜0，令t＝（t≥0），则原不等式可化为t2＋t－6＜0，解得－3＜t＜2.又t≥0，所以0≤t＜2，即0≤＜2，所以0≤x＜4，故原不等式的解集为{x｜0≤x＜4}. 9.某杂志以每册12元的价格可发行12万册，设定价每提高（降低）1元，发行量减少（增加）4万册.若要使总收入不低于200万元，则该杂志的最高定价是10元. 解析：设杂志的定价为x元，根据题意得x（120 000－×40 000）＝－40 000x2＋600 000x≥2 000 000，解得5≤x≤10，所以该杂志的最高定价是10元. 10.解下列不等式： （1）＜0；（2）≥3. 解：（1）＜0可转化为（2x－5）·（x＋4）＜0， 解得－4＜x＜， 所以原不等式的解集为. （2）法一　≥3⇔－3≥0⇔≥0⇔≥0⇔≤0⇔解得≤x＜2，故原不等式的解集为. 法二　因为2－x≠0，所以原不等式两边同时乘（2－x）2，得（2－x）（x＋1）≥3（2－x）2，整理得（4x－5）（x－2）≤0，解得≤x≤2，又因为2－x≠0，所以x≠2， 所以原不等式的解集为. 11.关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为{x｜x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故（x2－x1）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（2a）2－4×（－8a2）＝36a2＝152，解得a＝.故选A. 12.若关于x的不等式ax－b≤0的解集为{x｜x≥2}，则关于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0的解集是（　　） A.{x｜x＜－3或x＞2} B.{x｜－3＜x＜2} C.{x｜x＜－2或x＞3} D.{x｜－2＜x＜3} 解析：A　∵关于x的不等式ax－b≤0的解集为{x｜x≥2}，∴a＜0且b＝2a，则关于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0，可化为ax2＋ax－6a＜0，即x2＋x－6＞0，∴（x－2）（x＋3）＞0，∴x＞2或x＜－3，∴不等式的解集为{x｜x＜－3或x＞2}. 13.已知定义在R上的运算“⊗”：x⊗y＝x（1－y），关于x的不等式（x－a）⊗（x＋a）＞0，当a＝2时，不等式的解集为{x｜－1＜x＜2}. 解析：当a＝2时，不等式（x－a）⊗（x＋a）＞0即为（x－2）（1－x－2）＞0，即（x－2）（x＋1）＜0，解得－1＜x＜2，所以不等式的解集为{x｜－1＜x＜2}. 14.某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销售18万个. （1）据市场调查，若削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应减少2 000个，要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为多少元？ （2）为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革，并提高售价到x元.公司计划投入x2万元作为技改费用，投入30万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，该削笔器的年销售量t至少达到多少万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求此时每个削笔器售价. 解：（1）设每件零售价为y元，由题意可得y[18－0.2（y－15）]≥15×18， 即y2－105y＋15×90≤0，∴（y－15）（y－90）≤0，∴15≤y≤90. 故要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为90元. （2）由题意知x＞15，tx≥15×18＋30＋x2，即t≥＋. ∵＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝30时，等号成立，∴t≥20. 因此，该削笔器的年销售量t至少达到20万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每个削笔器售价30元. 15.已知函数y1＝m（x－2m）（x＋m＋3），y2＝x－1，若它们同时满足： ①∀x∈R，y1＜0或y2＜0； ②∃x∈{x｜x＜－4}，y1y2＜0， 求m的取值范围. 解：由y2＝x－1＜0可解得x＜1. 由条件①，当x≥1时，y1＜0，从而m＜0. 因为方程m（x－2m）（x＋m＋3）＝0的根分别为2m，－m－3，所以解得－4＜m＜，从而－4＜m＜0. 当x＜－4时，恒有y2＜0， 由条件②可得∃x∈{x｜x＜－4}，y1＞0. 由于－m－3＞－3，则2m＜－4，m＜－2. 综上，m的取值范围为{m｜－4＜m＜－2}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $