2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 课标要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义（数学抽象）. 2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集（数学抽象、数学运算）. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系（直观想象）. 4.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决（数学建模、数学运算）. 情境导入 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素.一般来说，刹车距离与车速是二次函数关系.我们可以根据汽车的刹车距离估计汽车是否超过规定限速. 第一课时　二次函数与一元二次方程、不等式 知识点一｜一元二次不等式的概念 问题1　给出下面四个不等式： ①x2－x－6＞0； ②x2－x－6≤0； ③－x2＋2x≥0； ④2x2＋x＋5＜0. 以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 提示：每个不等式只含有一个未知数；未知数的最高次数是2. 【知识梳理】 定义 只含有一个　未知数　，并且未知数的最高次数是　2　的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0 训练1　（1）下列不等式中是一元二次不等式的为（　C　） A.ax2＋2x＋1＞0 B.x2－y＞0 C.－x2－3x＜0 D.＞0 解析：只有－x2－3x＜0是一元二次不等式，其他都不是. （2）若把ab≠0，a2b＋2ab2＋9＞0看成关于a的一元二次不等式，则a的二次项系数为b. 解析：由ab≠0知，b≠0且a≠0，a2b＋2ab2＋9＞0可化为ba2＋2b2a＋9＞0，故a的二次项系数为b. 【规律方法】 一元二次不等式概念中的关键词 （1）一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数（或参数）； （2）二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 知识点二｜一元二次不等式的解法 问题2　（1）二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有几个交点？其交点与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？ 提示：两个交点，交点的横坐标正好是方程x2－12x＋20＝0的根. （2）能否从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找到x2－12x＋20＜0的解集？ 提示：能. 【知识梳理】 1.二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的　实数x　叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 　　提醒：零点不是点，是函数的图象与x轴交点的横坐标. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系（a＞0） 根的判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c的图象 ax2＋bx＋c＝0的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实 数根 ax2＋bx＋c＞0的解集 　{x｜x＜x1或x＞x2}　 　　 　R　 ax2＋bx＋c＜0的解集 　{x｜x1＜x＜x2}　 　⌀　 　⌀　 　　提醒：一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根 【例1】　（链接教材P52例1、例2、例3）解下列不等式： （1）x2－7x＋12＞0；（2）－x2－2x＋3≥0； （3）x2－2x＋1＜0；（4）x2－2x＋2＞0. 解：（1）方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4. 根据y＝x2－7x＋12的图象（图1）， 可得原不等式的解集为{x｜x＜3或x＞4}. （2）不等式两边同乘以－1，得x2＋2x－3≤0，方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1. 根据y＝x2＋2x－3的图象（图2），可得原不等式的解集为{x｜－3≤x≤1}. （3）方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1. 根据y＝x2－2x＋1的图象（图3），可得原不等式的解集为⌀. （4）因为Δ＜0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解. 根据y＝x2－2x＋2的图象（图4），可得原不等式的解集为R. 【规律方法】 解一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准：通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正； （2）判别式：对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集. 训练2　解下列不等式： （1）（2x－1）（x＋3）＜0； 解：易知方程（2x－1）（x＋3）＝0的两个实数根分别为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝（2x－1）·（x＋3）的图象，如图1所示，由图象可得原不等式的解集为. （2）2x2＜x－1； 解：原不等式可化为2x2－x＋1＜0，因为Δ＜0，所以方程2x2－x＋1＝0无实数根，作出函数y＝2x2－x＋1的图象，如图2所示.根据图象得不等式2x2－x＋1＜0的解集为⌀.因此，原不等式的解集为⌀. （3）－6x2－x＋2≤0. 解：对于方程－6x2－x＋2＝0，因为Δ＞0， 所以方程－6x2－x＋2＝0有两个不等实数根，解得x1＝－，x2＝. 作出二次函数y＝－6x2－x＋2的图象，如图3所示.根据图象得不等式－6x2－x＋2≤0的解集为. 提能点｜含参一元二次不等式的解法 【例2】　解关于x的不等式（ax－2）（x＋1）≥0（x∈R，a≥0）. 解：①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a＞0时，原不等式化为（x＋1）≥0， 解得x≥或x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x｜x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为. 变式　若把本例中的“a≥0”改为“a＜0”，求该不等式的解集. 解：当a＜0时，原不等式化为（x＋1）≤0. 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当＜－1，即－2＜a＜0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当－2＜a＜0时，不等式的解集为；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为. 【规律方法】 含参数的一元二次不等式的解法 训练3　解关于x的不等式x2＋（1－a）x－a＜0. 解：原不等式可化为（x＋1）（x－a）＜0，方程x2＋（1－a）x－a＝0的两根为x1＝－1，x2＝a.又函数y＝x2＋（1－a）x－a的图象开口向上， 则当a＜－1时，原不等式的解集为{x｜a＜x＜－1}； 当a＝－1时，原不等式的解集为⌀； 当a＞－1时，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜a}. 1.不等式（2x＋1）（x－3）≥0的解集为（　　） A. B. C. D.{x｜x≥3} 解析：C　因为（2x＋1）（x－3）≥0，解得x≤－或x≥3，所以不等式（2x＋1）（x－3）≥0的解集为{x｜x≤－或x≥3}.故选C. 2.〔多选〕下列不等式是一元二次不等式的是（　　） A.x2＋x＜－1 B.x2＋＋1＜0 C.x2＋＋1＜0 D.x2＋1＜0 解析：AD　由于x2＋＋1＜0，x2＋＋1＜0不符合一元二次不等式的定义，只有x2＋x＜－1，x2＋1＜0是一元二次不等式.故选A、D. 3.若0＜m＜1，则不等式（x－m）（x－）＜0的解集为{x｜m＜x＜}. 解析：∵0＜m＜1，∴＞1＞m，故原不等式的解集为{x｜m＜x＜}. 4.二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）的部分对应值如表所示： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－2或x＞3}. 解析：根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）图象的草图，如图.由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－2或x＞3}. 课堂小结 1.理清单 （1）一元二次不等式的概念及解法； （2）含参的一元二次不等式的解法. 2.应体会 解不含参数的一元二次不等式常利用数形结合法；解含参数的一元二次不等式需要分类讨论. 3.避易错 解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准. 1.不等式x2－4x－5＞0的解集是（　　） A.{x｜－1＜x＜5} B.{x｜x＜－1或x＞5} C.{x｜0＜x＜5} D.{x｜－1＜x＜0} 解析：B　x2－4x－5＞0，即（x＋1）（x－5）＞0，解得x＞5或x＜－1，所以原不等式的解集是{x｜x＜－1或x＞5}.故选B. 2.不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是（　　） A.{x｜x＜－1} B. C. D. 解析：D　－2x2＋x＋3＜0，即2x2－x－3＞0，即（2x－3）（x＋1）＞0，所以x＞或x＜－1. 3.不等式（－x＋1）（2x＋1）≥0的解集为（　　） A. B. C. D. 解析：D　因为（－x＋1）（2x＋1）≥0，即（x－1）（2x＋1）≤0，解得－≤x≤1，所以原不等式的解集为.故选D. 4.设m＋n＞0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）＞0的解集是（　　） A.{x｜x＜－n或x＞m} B.{x｜－n＜x＜m} C.{x｜x＜－m或x＞n} D.{x｜－m＜x＜n} 解析：B　不等式变形为（x－m）（x＋n）＜0，由m＋n＞0，得m＞－n，所以不等式的解集为{x｜－n＜x＜m}. 5.〔多选〕下列关于x的不等式x2－（a＋1）x＋a＞0的解集讨论正确的是（　　） A.当a＝1时，解集为⌀ B.当a＞1时，解集为{x｜x＞a} C.当a＜1时，解集为{x｜x＜a或x＞1} D.无论a取何值，解集均不为空集 解析：CD　原不等式可化为（x－1）（x－a）＞0.当a＝1时，原不等式为（x－1）2＞0，解得x≠1，故A错误；当a＞1时，不等式的解集为{x｜x＜1或x＞a}，故B错误；当a＜1时，不等式的解集为{x｜x＞1或x＜a}，故C正确；对于一元二次方程x2－（a＋1）x＋a＝0，Δ＝（a＋1）2－4a＝（a－1）2≥0，所以无论a取何值，不等式的解集均不为空集，故D正确.故选C、D. 6.〔多选〕已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A.b＝－2a B.a＋b＋c＜0 C.a＋c＜bD.abc＜0 解析：ACD　由题意得a＜0，对称轴x＝－＝1，则b＝－2a＞0，故A正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，则a＋c＜b，故C正确；当x＝0时，y＝c＞0，则abc＜0，故D正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，故B错误. 7.二次函数y＝x2－4x＋3的零点为1和3. 解析：由零点的定义知，令x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3，故函数y＝x2－4x＋3的零点为1和3. 8.不等式（x＋5）（3－2x）≥6的解集为. 解析：不等式（x＋5）（3－2x）≥6可化为2x2＋7x－9≤0，即（x－1）（2x＋9）≤0，解得－≤x≤1. 9.写出一个解集为{x｜－2＜x＜3}的关于x的一元二次不等式：x2－x－6＜0（答案不唯一）. 解析：由一元二次不等式的解法可知，解集为{x｜－2＜x＜3}的一元二次不等式可以是（x＋2）（x－3）＜0，即x2－x－6＜0. 10.解下列不等式： （1）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）； （2）0≤x2－2x－3＜5. 解：（1）由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2. ∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0. 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象（图略）知，原不等式的解集为. （2）由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3， 由x2－2x－3＜5得－2＜x＜4. ∴－2＜x≤－1或3≤x＜4. ∴原不等式的解集为{x｜－2＜x≤－1或3≤x＜4}. 11.若0＜a＜1，则不等式x2－3（a＋a2）x＋9a3≤0的解集为（　　） A.{x｜3a2≤x≤3a} B.{x｜3a≤x≤3a2} C.{x｜x≤3a2或x≥3a} D.{x｜x≤3a或x≥3a2} 解析：A　因为0＜a＜1，所以0＜3a2＜3a.因为方程x2－3（a＋a2）x＋9a3＝0的两根分别为3a和3a2，所以不等式的解集为{x｜3a2≤x≤3a}. 12.若a＜0，则关于x的不等式a（x＋1）＜0的解集为. 解析：因为a＜0，所以原不等式等价于（x＋1）·＞0，方程（x＋1）＝0的两根为－1，－，显然－＞0＞－1，所以原不等式的解集为. 13.若关于x的不等式x2－mx＜0恰有一个整数解1，则m的取值范围为1＜m≤2. 解析：由x2－mx＜0可知x（x－m）＜0，∵x2－mx＜0恰有一个整数解1，∴0＜x＜m中只有一个整数解1，∴1＜m≤2. 14.已知不等式x2＋5x＋4＞0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B. （1）求A∩B； （2）写出一个一元二次不等式，使它的解集为A∩B. 解：（1）不等式x2＋5x＋4＞0， 即（x＋4）（x＋1）＞0，解得x＜－4或x＞－1， 所以A＝{x｜x＜－4或x＞－1}. 不等式x2＋x－6＜0， 即（x＋3）（x－2）＜0，解得－3＜x＜2， 所以B＝{x｜－3＜x＜2}， 所以A∩B＝{x｜－1＜x＜2}. （2）由A∩B＝{x｜－1＜x＜2}，知一元二次不等式可以是（x＋1）（x－2）＜0，即x2－x－2＜0. 15.已知关于x的不等式ax2－（3a＋1）x＋3＜0. （1）当a＝－2时，解此不等式； （2）当a＞0时，解此不等式. 解：（1）当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0，整理得（2x＋1）（x－3）＞0，解得x＜－或x＞3，故当a＝－2时，原不等式解集为{x｜x＜－或x＞3}. （2）当a＞0时，不等式ax2－（3a＋1）x＋3＜0，整理得（x－3）＜0， 当a＝，即＝3时，不等式无解； 当0＜a＜，即＞3时，解得3＜x＜； 当a＞，即＜3时，解得＜x＜3. 综上，当a＝时，解集为⌀；当0＜a＜时，解集为；当a＞时，解集为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $