2.2.2 基本不等式的应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第二课时　基本不等式的应用 知识点一｜利用基本不等式比较大小 【例1】　已知a，b，x，y都是正实数，且＋＝1，x2＋y2＝8，则ab与xy的大小关系是ab≥xy. 解析：因为1＝＋≥2＝2，所以ab≥4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立；xy≤＝4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以ab≥xy. 【规律方法】 利用基本不等式比较大小的注意点 （1）要灵活运用基本不等式，特别注意其变形； （2）应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a＞0，b＞0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 训练1　若实数a，b满足0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是（　　） A. B.a2＋b2 C.2ab D.a 解析：B　由题知0＜a＜b，且a＋b＝1，所以0＜a＜，＜b＜1，故排除D；由a2＋b2＞2ab变形可得a2＋b2＞＝，故排除A.故选B. 知识点二｜利用基本不等式证明不等式 【例2】　（链接教材P46练习2题）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：（－1）（－1）≥8. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 变式　在本例条件下，求证：＋＋≥9. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， 所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 【规律方法】 1.利用基本不等式证明不等式的策略 利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的条件. 2.利用基本不等式证明不等式的注意事项 （1）多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； （2）累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； （3）对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用. 训练2　已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a＋b＋c≥＋＋. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以由基本不等式，得a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立， b＋c≥2，当且仅当b＝c时，等号成立， a＋c≥2，当且仅当a＝c时，等号成立. 上面三式相加，得2a＋2b＋2c≥2＋2＋2，即a＋b＋c≥＋＋， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 知识点三｜基本不等式的实际应用 【例3】　某电商自营店，其主打商品每年需要6 000件，每年进n次货，每次购买x件，每次购买商品需手续费300元.已购进未卖出的商品要付库存费，可认为年平均库存量为，每件商品库存费是每年10元，则要使总费用（手续费＋库存费）最低，则每年进货次数为10. 解析：由题得nx＝6 000，x＝.设总费用为y元，则y＝300n＋×10＝300n＋5x＝300n＋.因为n＞0，所以300n＋≥2＝6 000，当且仅当300n＝，即n＝10时，y取最小值，即总费用最低. 【规律方法】 利用基本不等式解决实际问题的步骤 训练3　如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2（图中阴影部分），上、下空白各宽2 dm，左、右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是56dm2. 解析：设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.由题意，得y＝（x＋4）·－72＝8＋2≥8＋2×2＝56，当且仅当x＝，即x＝12时等号成立.即四周空白部分面积的最小值为56 dm2. 1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是（　　） A.s≥t B.s＞t C.s≤t D.s＜t 解析：A　因为b2＋1≥2b，所以a＋2b≤a＋b2＋1，当且仅当b＝1时等号成立，所以s≥t. 2.某校团委组织了一场竞赛活动，要用警戒线围出400 m2的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为（　　） A.30 m B.50 m C.80 m D.110 m 解析：C　设该矩形区域的长为x m，则宽为 m，则所用警戒线的长度为2≥2×2＝80，当且仅当＝x，即x＝20时，等号成立.所以所用警戒线的长度的最小值为80 m.故选C. 3.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部分），矩形花园面积的最大值为400. 解析：由题意设矩形花园的长为x（x＞0），宽为y（y＞0），矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩形，则△ADE∽△ABC，所以＝，又因为AG＝BC＝40，所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40，由基本不等式x＋y≥2，得xy≤400，当且仅当x＝y＝20时等号成立，此时矩形花园面积最大，最大值为400. 4.已知a，b都是正数，求证：≥4. 证明：∵a＞0，b＞0， ∴a＋≥2＝2，b＋≥2＝2. 由不等式的性质，得≥4， 当且仅当a＝1且b＝1时，等号成立. 课堂小结 1.理清单 （1）利用基本不等式比较大小及证明不等式； （2）基本不等式的实际应用. 2.应体会 （1）利用基本不等式证明不等式的关键是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，证明的常用方法有综合法、分析法； （2）利用基本不等式解决实际问题时，首先要审清题意，然后将实际问题转化为数学问题. 3.避易错 生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围. 1.“ab≤2”是“a2＋b2≤4”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　若取a＝2，b＝－1，则ab≤2成立，但a2＋b2＞4，即“ab≤2”⇒/ “a2＋b2≤4”，充分性不成立；若a2＋b2≤4，则2ab≤a2＋b2≤4，可得ab≤2，即“a2＋b2≤4”⇒“ab≤2”，必要性成立.所以“ab≤2”是“a2＋b2≤4”的必要不充分条件. 2.若直角三角形的面积为18，则两条直角边的和的最小值是（　　） A.3 B.6 C.6 D.12 解析：D　设直角三角形的两直角边分别为a，b，因为直角三角形的面积为18，即ab＝36，所以两条直角边的和a＋b≥2＝12，当且仅当a＝b＝6时取等号，所以两条直角边的和的最小值是12. 3.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是20元/m2，侧面造价是10元/m2，则该容器的最低总造价是（　　） A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 解析：C　设底面相邻两边的长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4.T＝4×20＋（2x＋2y）×1×10＝80＋20（x＋y）≥80＋20×2＝80＋20×4＝160（当且仅当x＝y＝2时取等号）.故该容器的最低总造价是160元.故选C. 4.已知－6＜a＜3，则下列选项中正确的是（　　） A.≥9 B.≤ C.≤－ D.＜ 解析：B　∵－6＜a＜3，∴3－a＞0，a＋6＞0.∴≤＝，当且仅当3－a＝a＋6时等号成立，即a＝－时等号成立，故选B. 5.〔多选〕小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b（a＜b），其全程的平均速度为v，则下列结论正确的是（　　） A.a＜v＜ B.v＝ C.＜v＜ D.v＝ 解析：AD　设甲、乙两地之间的距离为s.因为a＜b，所以v＝＝＜＝.又v－a＝－a＝＝＞0，所以v＞a，所以a＜v＜，故选A、D. 6.〔多选〕已知某出租车公司为升级服务水平，购入了一批豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润y（万元）与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是（　　） A.车辆运营年数越多，利润越高 B.车辆在第6年时，总利润最高 C.车辆在前5年的平均利润最高 D.车辆每年都能盈利 解析：BC　由题意可知，y＝－x2＋12x－25是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；＝－x＋12－＝－（x＋）＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误. 7.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是x＜y. 解析：x2＝，y2＝a＋b＝.因为a＋b＞2（a≠b），所以x2＜y2，因为x，y＞0，所以x＜y. 8.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C＝，则经过2h后池水中药品的浓度达到最大. 解析：当t＝0时，C＝0，当t＞0时，C＝＝≤＝5，当且仅当t＝，即t＝2时取等号.因此经过2 h后池水中药品的浓度达到最大. 9.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站5km处. 解析：设仓库到车站的距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2，由题意可设y1＝，y2＝k2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝，y2＝0.8x，则两项费用之和为y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2×4＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立.∴当仓库建在离车站5 km处时两项费用之和最小. 10.已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：≥9. 证明：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以1＋＝1＋＝2＋， 同理1＋＝2＋， 所以＝ ＝5＋2≥5＋4＝9， 当且仅当＝， 即a＝b＝时等号成立， 所以≥9. 11.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（　　） A.30件 B.60件 C.80件 D.100件 解析：B　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则y＝＝＋≥2＝30，当且仅当＝，即x＝60时等号成立，故每批应生产产品60件.故选B. 12.“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，则面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的三边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为（　　） A. B.2 C.3 D.4 解析：C　因为a＝6，b＋c＝8，所以p＝＝7.又由三角形边长关系可得1＜b＜7，1＜c＜7，所以S＝≤×＝×＝3，当且仅当7－b＝7－c即b＝c＝4时等号成立，所以三角形面积的最大值为3. 13.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，AD＝3米，当BM＝4米时，矩形花坛AMPN的面积最小. 解析：设BM＝x（x＞0），则由DC∥AM得＝，解得ND＝，∴矩形AMPN的面积为S＝（4＋x）·（3＋）＝24＋3x＋≥24＋2＝48，当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立.∴当BM＝4米时，矩形花坛AMPN的面积最小. 14.如图所示，设矩形ABCD（AB＞BC）的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB'交DC于点P，设AB＝x. （1）用x表示DP，并求出x的取值范围； （2）求△ADP面积的最大值及此时x的值. 解：（1）矩形ABCD（AB＞BC）的周长为24， ∵AB＝x，∴AD＝－x＝12－x， ∵AB＞BC＝AD，得x＞12－x， ∴6＜x＜12， 在△APC中，∠PAC＝∠PCA， ∴AP＝PC，从而得DP＝PB'， ∴AP＝AB'－PB'＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由勾股定理得（12－x）2＋DP2＝（x－DP）2， ∴DP＝12－（6＜x＜12）. （2）在Rt△ADP中，S△ADP＝AD·DP＝（12－x）（12－）＝108－（6x＋）（6＜x＜12）. ∵6＜x＜12， ∴6x＋≥2＝72，当且仅当6x＝，即x＝6时，等号成立. ∴S△ADP＝108－（6x＋）≤108－72， ∴当x＝6时，△ADP的面积取得最大值108－72. 15.已知a，b，c＞0时，有＋＋＝＋＋≥6，利用分拆、重组、配对，使用基本不等式求出最值.依此启示，求当a，b，c＞0时，＋＋的最小值. 解：由于＋＋＋3 ＝＋＋ ＝＋＋ ＝[（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋b）]（＋＋） ＝［3＋＋＋］ ＝［3＋＋＋］≥， 从而＋＋≥，当且仅当a＝b＝c时，原式取得最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $