2.1.2 等式性质与不等式性质（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第二课时　等式性质与不等式性质 知识点一｜等式的性质 【知识梳理】 性质 别名 内容 1 对称性 如果a＝b，那么b＝a 2 传递性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 3 同加（减）性 如果a＝b，那么a±c＝b±c 4 同乘性 如果a＝b，那么ac＝bc 5 同除性 如果a＝b，c≠0，那么＝ 　　提醒：（1）性质1，2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递性；（2）性质3，4，5反映了等式在运算中保持的不变性. 训练1　（1）〔多选〕若ma＝mb，则下列等式一定成立的是（　BCD　） A.a＝b B.ma－3＝mb－3 C.－ma＝－mb D.ma＋8＝mb＋8 解析：当m＝0时，a＝b不一定成立；根据等式的性质3可知ma－3＝mb－3，ma＋8＝mb＋8均成立；根据等式的性质4可知，－ma＝－mb. （2）利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数. ①若2x－3＝－5，则2x＝－2，x＝－1； ②若5x＋2＝2x－4，则3x＝－6，x＝－2. 解析：①根据等式的性质3，等式两边同加3，得2x＝－2.再根据等式的性质5，等式两边同除以2，得x＝－1. ②根据等式的性质3，等式两边同减（2x＋2），得3x＝－6.再根据等式的性质5，等式两边同除以3，得x＝－2. 知识点二｜不等式的性质 问题　（1）如果甲比乙高，乙比丙高，那么甲与丙谁高？你能提炼出什么样的不等关系？ 提示：甲比丙高.如果a＞b，b＞c，那么a＞c. （2）若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数一定比乙班多吗？如何用符号语言表述这种不等关系？ 提示：一定.若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d. 【知识梳理】 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a＞b⇔b　＜　a 可逆 2 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 不可逆 3 可加性 a＞b⇔a＋c　＞　b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac　＞　bc c的符号 ⇒ac　＜　bc 性质 别名 性质内容 注意 5 同向可加性 ⇒a＋c　＞　b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac　＞　bd 同向同正 7 可乘方性 a＞b＞0⇒an　＞　bn（n∈N，n≥2） 同正 【例1】　〔多选〕下列命题中为真命题的是（　　） A.若a＞b，c＞d则a－d＞b－c B.a2＞b2⇒a＞b＞0 C.若a＞b，c＞d＞0，则＞ D.若a＞b，＞，则a＞0，b＜0 解析：AD　对于A，由c＞d，则－d＞－c，又因为a＞b，所以a－d＞b－c，故A为真命题；对于B，性质7不具有可逆性，故B为假命题；对于C，取a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1满足a＞b且c＞d＞0，而＝－1，＝－1，＝，故C为假命题；对于D，由＞，可知－＝＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0，故D为真命题. 【规律方法】 利用不等式的性质判断命题真假的2种方法 （1）直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于假命题只需举出一个反例即可； （2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 训练2　（1）已知a＞b，则下列关系中正确的是（　A　） A.a－c＞b－c B.ac＞bc C.｜a｜＞｜b｜ D.a2＞b2 解析：对于A，由a＞b，得a－c＞b－c，故A正确；对于B，当c＝0时，ac＝bc，故B错误；对于C，D，当a＝－3，b＝－7时，a＞b，而｜a｜＝3，｜b｜＝7，则｜a｜＜｜b｜，故C错误；a2＝9，b2＝49，则a2＜b2，故D错误. （2）〔多选〕对于实数a，b，c，下列命题中正确的有（　AD　） A.若a＞b且ab＞0，则＜ B.若＜且c＞0，则a＞b C.若a＞b＞0，c＜d＜0，则＞ D.若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞ 解析：由ab＞0，得＞0.又a＞b，所以·a＞·b，即＜，A正确；取a＝－1，b＝1，c＝1，满足＜且c＞0，但a＜b，B错误；由c＜d＜0，得－c＞－d＞0，＞＞0.又a＞b＞0，所以＞，＜，C错误；因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以＞＞0，所以＞，D正确. 知识点三｜利用不等式的性质证明不等式 【例2】　（链接教材P42例2）已知c＞a＞b＞0，求证：＞. 证明：因为a＞b＞0，所以－a＜－b，c－a＜c－b. 因为c＞a＞b＞0，所以0＜c－a＜c－b. 上式两边同乘，得＞＞0. 又因为a＞b＞0，所以＞. 【规律方法】 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 （1）利用不等式的性质证明不等式时，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并在解题中灵活准确地加以应用； （2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 训练3　已知a＞b＞0，求证：＞. 证明：∵a＞b＞0，∴＞＞0.　① 又∵a＞b＞0，两边同乘正数，得＞＞0.　② 由①②得＞. 提能点｜利用不等式的性质求代数式的范围 【例3】　已知1＜a＜6，3＜b＜4，则的取值范围是＜＜2，2a－b的取值范围为－2＜2a－b＜9. 解析：因为3＜b＜4，所以＜＜，所以＜＜2.因为1＜a＜6，3＜b＜4，所以2＜2a＜12，－4＜－b＜－3，所以2－4＜2a－b＜12－3，即－2＜2a－b＜9. 变式1　本例条件不变，则－的取值范围为－8＜－＜－1. 解析：因为1＜a＜6，3＜b＜4，所以＜＜1，所以＜＜4，所以－4＜－＜－，所以－8＜－＜－1. 变式2　若将本例条件变为“2＜a＜7，1＜b＜2”，求2a－b，的取值范围. 解：因为2＜a＜7，1＜b＜2，所以4＜2a＜14，－2＜－b＜－1，＜＜1，所以2＜2a－b＜13，1＜＜7. 【规律方法】 利用不等式的性质求代数式范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围； （2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其范围. 训练4　已知－＜β＜α＜，求2α－β的取值范围. 解：因为－＜α＜，－＜β＜， 所以－＜－β＜，所以－π＜α－β＜π. 又因为β＜α，所以α－β＞0，所以0＜α－β＜π， 又2α－β＝α＋（α－β），所以－＜2α－β＜π. 糖水不等式的探究与应用 （链接教材P43习题10题）已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0）（假设全部溶解），糖水变甜. 【问题探究】 试将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 解：已知b＞a＞0，m＞0，则＞（糖水不等式）. 证明如下：法一　－＝＝. ∵b＞a，m＞0， ∴b－a＞0，＞0，即＜. 法二　要证＜， 只需证a（b＋m）＜b（a＋m）， 只需证am＜bm， 即证a＜b，由已知条件可得显然成立. 【拓展延伸】 “糖水不等式”常见变形如下： ①a，b，m都为正实数，且a＞b，则＞； ②a，b，m都为正实数，且a＜b，则＜； ③a，b，m都为正实数，且a＜b，a＞m，则＜； ④a，b，m，n都为正实数，且a＜b，n＜m，则＜； ⑤a，b，m，n都为正实数，且a＞b，n＜m，则＞； ⑥a，b，c，d都为正实数，且＜，则＜. 【迁移应用】 1.已知p：m＞n＞0，q：＞，则p是q的（　　） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　由糖水不等式得m＞n＞0时，＞成立；反之当n＝0，m＝1时，＞成立，m＞n＞0不成立.故选B. 2.（链接教材P58复习参考题7题）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. （1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220 m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少m2？ （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是坏了？ 解：（1）设公寓窗户面积为a m2，则地板面积为（220－a）m2.由题意知≥10%，解得a≥20.所以这所公寓的窗户面积至少为20 m2. （2）设窗户面积为a m2，地板面积为b m2，增加的面积为m m2. 因为a，b，m＞0，且a＜b，所以－＝＝＞0，即＞.所以公寓的采光效果变好了. 1.与a＞b等价的不等式是（　　） A.｜a｜＞｜b｜　　　　　B.a2＞b2 C.＞1 D.a3＞b3 解析：D　可利用赋值法.令a＝1，b＝－2，满足a＞b，但｜a｜＜｜b｜，a2＜b2，＝－＜1，故A、B、C都不正确. 2.〔多选〕已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是（　　） A.ac2＞bc2⇒a＞b B.＞⇒a＞b C.⇒＞ D.⇒＞ 解析：AC　由ac2＞bc2可知c≠0，∴c2＞0，∴a＞b，A成立；当c＜0时，B不成立；ab＜0，a＞b⇒＜，即＞，C成立；同理可证D不成立. 3.已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则3x＋2y的取值范围为1＜3x＋2y＜18. 解析：由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y＜18. 4.已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d. 证明：因为a＞b，c＜d，所以a＞b，－c＞－d.则a－c＞b－d. 课堂小结 1.理清单 （1）等式的性质； （2）不等式的性质及其应用. 2.应体会 不等式的性质是解不等式或证明不等式的理论依据，变形要等价，条件要满足. 3.避易错 注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性. 1.若a＞0，b＜0，且｜a｜＜｜b｜，则a＋b一定是（　　） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 解析：B　因为a＞0，b＜0，所以｜a｜＝a，｜b｜＝－b.又因为｜a｜＜｜b｜，所以a＜－b，所以a＋b＜0，所以a＋b一定是负数. 2.已知a＜b＜0，则（　　） A.a2＜ab B.ab＜b2 C.a2＜b2 D.a2＞b2 解析：D　由a＜b＜0，不妨取a＝－2，b＝－1.对于A，a2＝4，ab＝2，故a2＜ab不成立；对于B，b2＝1，ab＝2，故ab＜b2不成立；对于C，a2＝4，b2＝1，故a2＜b2不成立；对于D，因为a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，所以（－a）2＞（－b）2＞0，即a2＞b2.故选D. 3.若a，b，m都是正数，则不等式＞成立的条件是（　　） A.a＞b B.b＞a C.a＞m D.m＞b 解析：B　＞⇒－＞0⇒－＝＞0，因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需b－a＞0，即b＞a. 4.下列命题中正确的是（　　） A.若a＞b，则ac4＞bc4 B.若a＞b，c＞d，则ac＞bd C.若a＞b且k∈N*，则ak＞bk D.若a＞b＞0，则＞ 解析：D　A项，当c4＝0时，ac4＝bc4，故A不正确.B项，当a＝－1，b＝－2，c＝－3，d＝－4时，满足a＞b，c＞d，但ac＝3，bd＝8，此时ac＜bd，故B不正确.C项，当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故C不正确.D项，因为a＞b＞0，所以＞＞0①，又a＞b＞0两边同乘正数得＞＞0②，由①②得＞，故D正确. 5.〔多选〕若m＋n＜0，且m＞0，则（　　） A.n＜0 B.－mn＞n2 C.－mn＞m2 D.｜m｜＞｜n｜ 解析：AC　因为m＋n＜0，且m＞0，所以n＜0，且｜m｜＜｜n｜，A正确，D错误；因为m＋n＜0，所以－m＞n，不等式两边同时乘以n（n＜0）得－mn＜n2，B错误；因为m＋n＜0，所以－m＞n，不等式两边同时乘以－m（m＞0）得m2＜－mn，故－mn＞m2，C正确.故选A、C. 6.〔多选〕已知1≤a≤2，3≤b≤5，则（　　） A.4≤a＋b≤7 B.2≤b－a≤3 C.3≤ab≤10 D.≤≤ 解析：AC　因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，故A正确；因为－2≤－a≤－1，所以1≤b－a≤4，故B错误；因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以3≤ab≤10，故C正确；因为≤≤，所以≤≤，故D错误，故选A、C. 7.设x＞1，－1＜y＜0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列为y＜－y＜x. 解析：因为－1＜y＜0，所以0＜－y＜1，所以y＜－y，又x＞1，所以y＜－y＜x. 8.不等式a＞b和＞同时成立的条件是a＞0＞b. 解析：∵－＝，∴a＞b和＞同时成立的条件是a＞0＞b. 9.若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的充分不必要条件. 解析：∵－＞0，∴＞，∴（）2＞（）2，∴a＞b＞0，∴a2－b2＞0，∴“－＞0”是“a2－b2＞0”的充分条件，又∵a2－b2＞0，不妨取a＝－2，b＝1，无法推出－＞0. 10.（1）若a＜b＜0，求证：＜； （2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤. 证明：（1）由于－＝＝. ∵a＜b＜0， ∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0， ∴＜0，故＜. （2）∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b（c＋d）≥d（a＋b），又bd＞0，∴＞0，两边同乘以得，≤. 11.若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－｜b｜的范围是（　　） A.－3＜a－｜b｜≤3 B.－3＜a－｜b｜＜5 C.－3＜a－｜b｜＜3 D.1＜a－｜b｜＜4 解析：C　∵－4＜b＜2，∴0≤｜b｜＜4，∴－4＜－｜b｜≤0.又1＜a＜3，∴－3＜a－｜b｜＜3. 12.有外表相同，质量不同的4个小球，它们的质量分别为a，b，c，d，且满足a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，b＞a＋c，则这4个小球由重到轻的顺序为（　　） A.d＞b＞a＞c B.b＞c＞d＞a C.d＞b＞c＞a D.c＞a＞d＞b 解析：A　由于a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，则a＋d＋（a＋b）＞b＋c＋（c＋d），所以a＞c，b＜d.又b＞a＋c，则a＜b.综上，d＞b＞a＞c.故选A. 13.若实数x，y满足－2＜x＜1，0＜x＋y＜2，则x＋2y的取值范围为－1＜x＋2y＜6. 解析：∵x＋2y＝2（x＋y）＋（－x），且－2＜x＜1，0＜x＋y＜2，∴－1＜－x＜2，0＜2（x＋y）＜4，∴－1＋0＜2（x＋y）＋（－x）＜4＋2，即－1＜x＋2y＜6. 14.证明下列不等式： （1）若a＞0，b＞0，求证：＋≥a＋b； （2）若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. 证明：（1）因为－（a＋b）＝＝， 又因为a＞0，b＞0，所以≥0，所以＋≥a＋b. （2）由－＝ ＝， 因为a＞b＞0，c＜d＜0，所以a＋b＞0，c＋d＜0，b－a＜0，c－d＜0， 所以（a＋b）－（c＋d）＞0，（b－a）＋（c－d）＜0. 又因为e＜0，所以e[（a＋b）－（c＋d）][（b－a）＋（c－d）]＞0. 又因为（a－c）2（b－d）2＞0， 所以－＞0，即＞. 15.对于四个正数m，n，p，q，若满足mq＜np，则称有序数对（m，n）是（p，q）的“下位序列”. （1）对于2，3，7，11，有序数对（3，11）是（2，7）的“下位序列”吗？请简单说明理由； （2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系. 解：（1）有序数对（3，11）是（2，7）的“下位序列”. 因为3×7＜11×2， 所以（3，11）是（2，7）的“下位序列”. （2）因为（a，b）是（c，d）的“下位序列”，所以ad＜bc，因为a，b，c，d均为正数， 所以－＝＞0， 所以＞，又－＝＜0， 所以＜，综上所述，＜＜. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $