1.4.1 充分条件与必要条件（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

1.4　充分条件与必要条件 课标要求 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）.情境导入　　我国战国时期所著《墨经》中有这样两句话： （1）“有之则必然，无之则未必然”； （2）“无之则必不然，有之则未必然”. 这两句话蕴含什么逻辑关系呢？这就是本节我们所要探讨的内容. 1.4.1　充分条件与必要条件 知识点一｜命题 问题1　阅读下列语句： ①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点； ②个位数是5的自然数能被5整除； ③直角三角形都相似； ④同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行. （1）上述语句的表述形式有什么特点？ 提示：两个特点：①均是陈述句，②都能够判断真假. （2）判断这些语句的真假. 提示：①②④为真，③为假. 【知识梳理】 1.定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断　真假　的　陈述句　叫做命题. 2.分类：判断为　真　的语句是真命题，判断为　假　的语句是假命题. 3.结构形式：“若p，则q”形式的命题中，　p　称为命题的条件，　q　称为命题的结论. 【例1】　判断下列命题的真假： （1）已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； 解：假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. （2）若x∈N，则x3＞x2成立； 解：假命题.反例：当x＝0时，x3＞x2不成立. （3）若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； 解：真命题.因为m＞1⇒Δ＝4－4m＜0， 所以方程x2－2x＋m＝0无实数根. （4）存在一个三角形没有外接圆. 解：假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆. 【规律方法】 判断命题真假的方法 　　要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 训练1　〔多选〕下列命题是真命题的是（　　） A.0∈N* B.若a，b都是无理数，则a＋b是无理数 C.若集合A⊆B，则A∩B＝A D.1＋2＝3 解析：CD　对于选项A，0∉N*，故A不符合题意；对于选项B，设a＝，b＝－，则a，b都为无理数，而a＋b＝0不是无理数，故B不符合题意；对于选项C，若A⊆B，即A是B的子集，故A∩B＝A，故C符合题意；选项D符合题意. 知识点二｜充分条件与必要条件 问题2　电路图如图所示（图1、图2）. （1）哪一个电路图可以说明，当p开关闭合，q灯一定亮呢？ 提示：图1. （2）对于电路图1，当q灯亮，p开关一定闭合吗？ 提示：不一定，也可能是r开关闭合. 【知识梳理】 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p　⇒　q p　 　q 条件关系 p是q的　充分　条件； q是p的　必要　条件 p不是q的　充分　条件； q不是p的　必要　条件 角度1　充分条件的判断 【例2】　（链接教材P18例1）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ （1）已知x∈R，p：x＝1，q：（x－1）（x－2）＝0； 解：由于x＝1⇒（x－1）（x－2）＝0，∴p是q的充分条件. （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； 解：这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q， ∴p是q的充分条件. （3）p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； 解：∵等腰梯形的对角线相等， ∴四边形的对角线相等⇒/ 四边形是矩形. ∴p不是q的充分条件. （4）p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根. 解：由方程x2－x－m＝0无实根， 得Δ＝1＋4m＜0.即m＜－. ∵m＜－1⇒m＜－，即p⇒q. ∴p是q的充分条件. 【规律方法】 充分条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断法： 如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件. 角度2　必要条件的判断 【例3】　（链接教材P19例2）指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ （1）p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 解：因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件. （2）p：A⊆B，q：A∩B＝A； 解：因为p⇒q，所以q是p的必要条件. （3）p：2a＞1，q：a＞1. 解：因为2a＞1，即a＞，p⇒/ q，所以q不是p的必要条件. 【规律方法】 必要条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断法： 如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件. 训练2　（1）若a，b∈R，则“a＝b”是“a2＝b2”的充分不必要条件；（用“充分不必要”“必要不充分”填空） 解析：由a2＝b2可得a＝b或a＝－b，所以“a＝b”是“a2＝b2”的充分不必要条件. （2）“－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的必要不充分条件.（用“充分不必要”“必要不充分”填空） 解析：设集合A＝{x｜－3＜x＜4}，集合B＝{x｜－2＜x≤3}，可知B⫋A，所以A是B成立的必要不充分条件，即“－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的必要不充分条件. 提能点｜根据充分（必要）条件求参数 【例4】　已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 解：p：3a＜x＜a，即集合A＝{x｜3a＜x＜a}， q：－2≤x≤3，即集合B＝{x｜－2≤x≤3}. 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以解得－≤a＜0， 所以实数a的取值范围是{a｜－≤a＜0}. 变式　将本例中条件p改为“实数x满足－a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围. 解：p：－a＜x＜3a，即集合A＝{x｜－a＜x＜3a}. q：－2≤x≤3，即集合B＝{x｜－2≤x≤3}. 因为q⇒p，所以B⊆A， 所以解得a＞2. 所以实数a的取值范围是{a｜a＞2}. 【规律方法】 利用充分（必要）条件确定参数的值（范围）的步骤 （1）记集合M＝{x｜p（x）}，N＝{x｜q（x）}； （2）若p是q的充分不必要条件，则M⫋N；若p是q的必要不充分条件，则N⫋M； （3）根据集合的关系列不等式（组）； （4）解不等式（组）得结果. 训练3　若x＞2m－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是{m｜m≤1}. 解析：因为x＞2m－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，所以2m－3≤－1，解得m≤1. 1.下列语句不是命题的是（　　） A.5＞2 B.3＞4 C.x－2＝0 D.方程x2－3x＋4＝0有实根 解析：C　对于A，5＞2为命题且为真命题；对于B，3＞4为命题且为假命题；对于C，x－2＝0，无法判断真假，不是命题；对于D，Δ＝9－4×4＜0，故方程x2－3x＋4＝0没有实数根，故D为假命题.故选C. 2.若p：a∈（M∪N），q：a∈M，则p是q的（　　） A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.既是充分条件又是必要条件 解析：B　由a∈（M∪N）⇒/ a∈M，但a∈M⇒a∈（M∪N），故p是q的必要不充分条件. 3.已知p：三角形是等腰直角三角形，q：三角形是直角三角形，则p是q的充分条件.（用“充分”或“必要”填空） 解析：由图可知，p是q的充分条件. 4.若“x≥2”的必要条件是“x＞a”，则a的取值范围是{a｜a＜2}. 解析：设A＝{x｜x≥2}，B＝{x｜x＞a}，因为“x≥2”的必要条件是“x＞a”，所以A⊆B，所以a＜2，所以a的取值范围是{a｜a＜2}. 课堂小结 1.理清单 （1）充分条件、必要条件的概念及判断； （2）根据充分（必要）条件求参数. 2.应体会 充分、必要条件的判断方法有定义法、集合法、等价转化法等，等价转化法体现了转化化归思想. 3.避易错 （1）充分条件、必要条件不唯一； （2）求参数范围易忽视端点值的取舍. 1.已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则m＝1是A⊆B的（　　） A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.既是充分条件又是必要条件 解析：A　若A⊆B，则有m∈B且m≠3，所以m＝1或m＝5，故当m＝1时，有A⊆B，而A⊆B时，m不一定是1，故m＝1是A⊆B的充分条件，不是必要条件. 2.下列说法正确的是（　　） A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B.语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题 C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题 解析：D　命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误；语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；选项C错误，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D正确. 3.俗语云：“好人有好报.”这句话的意思中，“好人”是“有好报”的（　　） A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.既充分又必要条件 解析：A　这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件.故选A. 4.若“x＞5”是“x＞a”的必要不充分条件，则a的取值范围是（　　） A.{a｜a＜5} B.{a｜a≤5} C.{a｜a＞5} D.{a｜a≥5} 解析：C　由“x＞5”是“x＞a”的必要不充分条件知：x＞a⇒x＞5且x＞5⇒/ x＞a，即{x｜x＞a}是{x｜x＞5}的真子集，可得知a＞5.故选C. 5.〔多选〕使ab＞0成立的充分条件是（　　） A.a＞0，b＞0 B.a＋b＞0 C.a＜0，b＜0 D.a＞1，b＞1 解析：ACD　因为a＞0，b＞0⇒ab＞0；a＜0，b＜0⇒ab＞0；a＞1，b＞1⇒ab＞0，所以选项A，C，D都是使ab＞0成立的充分条件，当a＝2，b＝－1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0不是ab＞0成立的充分条件. 6.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.“A∩B＝B”是“B＝⌀”的必要不充分条件 B.“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0” C.“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数” D.“｜x｜＝1”是“x＝1”的充分条件 解析：ABC　由A∩B＝B，得B⊆A，所以“B＝⌀”可推出“A∩B＝B”，反之不成立，A正确；解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”，B正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，C正确；解方程｜x｜＝1，得x＝±1，则“｜x｜＝1”是“x＝1”的必要条件，D错误.故选A、B、C. 7.“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件（用“充分”“必要”填空）. 解析：由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件. 8.写出x＝－y的一个必要条件但又不是充分条件的式子x2＝y2（答案不唯一）. 解析：因为x＝－y⇒x2＝y2，所以x2＝y2是x＝－y的必要条件，但x2＝y2⇒/ x＝－y，所以x2＝y2不是x＝－y的充分条件，所以x＝－y的一个必要条件但又不是充分条件的式子是x2＝y2. 9.若“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分条件，则实数m的值为1或－. 解析：由“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分条件，所以m2×22－（m＋3）×2＋4＝4m2－2m－2＝0，所以2m2－m－1＝（m－1）（2m＋1）＝0，解得m＝1或m＝－. 10.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？ （1）若x＞2，则x＞1； （2）若x－1＝，则x＝1； （3）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等. 解：（1）若x＞2，则x＞1成立，反之不成立，即p是q的充分条件. （2）由x－1＝得x＝1或x＝2，故p是q的必要条件. （3）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件. 11.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（　　） A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件 C.丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件 D.丙是甲的既不充分也不必要条件 解析：A　因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/丙，如图.综上，有丙⇒甲，但甲⇒/丙，即丙是甲的充分不必要条件. 12.〔多选〕已知实数集R，集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜x≤2}，则下列说法正确的是（　　） A.“x∈A”是“x∈B”的充分条件 B.“x∈A”是“x∈B”的必要条件 C.“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的充分条件 D.“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件 解析：AD　由题意得，A⫋B，且∁RB⫋∁RA，所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件，且“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，但不是充分条件.故选A、D. 13.已知集合A＝{x｜x＜－1或x＞2}，B＝{x｜2a≤x≤a＋3}，且B≠⌀.若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是{a｜a＜－4或1＜a≤3}. 解析：因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A，因为B≠⌀，所以或解得a＜－4或1＜a≤3.综上可得，实数a的取值范围是{a｜a＜－4或1＜a≤3}. 14.设集合A＝{x｜x2＋3x＋2＝0}，B＝{x｜x2＋（m＋1）x＋m＝0}. （1）用列举法表示集合A； （2）若x∈B是x∈A的充分条件，求实数m的值. 解：（1）x2＋3x＋2＝0⇒（x＋1）（x＋2）＝0， 即x＝－1或x＝－2，A＝{－1，－2}. （2）若x∈B是x∈A的充分条件，则B⊆A， x2＋（m＋1）x＋m＝0⇒（x＋1）（x＋m）＝0， 解得x＝－1或x＝－m， 当m＝1时，B＝{－1}，满足B⊆A， 当m＝2时，B＝{－1，－2}，同样满足B⊆A， 所以m＝1或m＝2. 15.（1）是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件？ （2）是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件？ 解：（1）欲使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件， 则只要{x｜x＜－}⊆{x｜x＜－1或x＞3}， 即只需－≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件. （2）欲使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件，则只要{x｜x＜－1或x＞3}⊆{x｜x＜－}，这是不可能的. 故不存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $