1.3.2 全集、补集及综合应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第二课时　全集、补集及综合应用 课标要求 1.在具体情境中，了解全集的含义（数学抽象）. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集（逻辑推理、数学运算）. 3.能使用Venn图表达集合全集、子集与它的补集的关系，体会图形对理解抽象概念的作用（直观想象）. 情境导入 某人请客，6位客人到了4位，主人焦急地说：“该来的不来.”顿时气走了2位，主人遗憾地叹息：“不该走的又走了.”又气走一位，主人更遗憾了，自言自语地说：“我又不是说他.”这么一来，剩下的这位脸皮再厚，也待不下去了.在这个故事中，客人们不自觉地使用了一个数学概念——补集. 知识点一｜全集与补集 问题　若U＝{高一（1）班的同学}，A＝{高一（1）班参加篮球队的同学}，B＝{高一（1）班没有参加篮球队的同学}. （1）集合U，A，B三者有何关系？ 提示：A⊆U，B⊆U，且A∪B＝U. （2）集合B中的元素与U和A有何关系？ 提示：集合B中的所有元素属于U，但不属于A. 【知识梳理】 1.全集 （1）定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的　所有元素　，那么就称这个集合为全集； （2）记法：全集通常记作U. 　　提醒：全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集；在具体题目中，全集一般是给定的. 2.补集 （1）补集的概念 　　提醒：∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且（∁UA）⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. （2）补集的运算性质 ∁UU＝⌀，∁U⌀＝U；∁U（∁UA）＝A； A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝⌀. 【例1】　（1）（链接教材P13例5）设U＝{x｜x是小于7的自然数}，A＝{2，3，4}，B＝{1，5，6}，则∁UA＝{0，1，5，6}，∁UB＝{0，2，3，4}； 解析：根据题意可知，U＝{0，1，2，3，4，5，6}，所以∁UA＝{0，1，5，6}，∁UB＝{0，2，3，4}. （2）若集合A＝{x｜－1≤x＜1}，当U＝{x｜x≤2}时，∁UA＝{x｜x＜－1或1≤x≤2}；当U＝{x｜－4≤x≤1}时，∁UA＝{x｜－4≤x＜－1或x＝1}. 解析：当U＝{x｜x≤2}时，把集合U和A表示在数轴上，如图1所示. 由图1知∁UA＝{x｜x＜－1或1≤x≤2}； 当U＝{x｜－4≤x≤1}时，把集合U和A表示在数轴上，如图2所示. 由图2知∁UA＝{x｜－4≤x＜－1或x＝1}. 【规律方法】 求集合补集的2种方法 （1）当集合是用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； （2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解. 训练1　（1）设全集U＝{－1，0，1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（　A　） A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M 解析：依题意得M＝{－1，0，2，4，5}，故A正确，B、C、D错误. （2）设集合U＝R，M＝{x｜x＞2，或x＜－2}，则∁UM＝（　A　） A.{x｜－2≤x≤2} B.{x｜－2＜x＜2} C.{x｜x＜－2，或x＞2} D.{x｜x≤－2，或x≥2} 解析：画出数轴如图， 可知∁UM＝{x｜－2≤x≤2}. 知识点二｜集合交、并、补的综合运算 【例2】　已知全集U＝{x｜x≤4}，集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3≤x≤2}，求（∁UA）∪B，A∩（∁UB），∁U（A∪B）. 解：如图所示. 因为A＝{x｜－2＜x＜3}， B＝{x｜－3≤x≤2}，U＝{x｜x≤4}， 所以∁UA＝{x｜x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x｜x＜－3，或2＜x≤4}， A∪B＝{x｜－3≤x＜3}. 所以（∁UA）∪B＝{x｜x≤2，或3≤x≤4}， A∩（∁UB）＝{x｜2＜x＜3}， ∁U（A∪B）＝{x｜x＜－3，或3≤x≤4}. 【规律方法】 集合混合运算的一般思路 （1）明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式； （2）明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算； （3）注意对运算结果进行检验. 训练2　（1）（2024·全国甲卷理2题）已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x｜∈A}，则∁A（A∩B）＝（　D　） A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} 解析：B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A（A∩B）＝{2，3，5}.故选D. （2）如图，设全集U＝R，M＝{x｜x＜－1}，N＝{x｜－3＜x＜0}，则图中的阴影部分表示的集合{x｜－1≤x＜0}. 解析：图象表示的集合为（∁UM）∩N＝{x｜x≥－1}∩{x｜－3＜x＜0}＝{x｜－1≤x＜0}. 提能点｜利用集合间的关系求参数 【例3】　设集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝{x｜－2＜x＜4}，全集U＝R，且（∁UA）∩B＝⌀，求实数m的取值范围. 解：由已知得A＝{x｜x≥－m}， 得∁UA＝{x｜x＜－m}， 因为B＝{x｜－2＜x＜4}，（∁UA）∩B＝⌀，在数轴上画出∁UA与B，如图， 所以－m≤－2，即m≥2， 所以实数m的取值范围是{m｜m≥2}. 变式　本例将条件“（∁UA）∩B＝⌀”改为“（∁UB）∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？ 解：由已知得A＝{x｜x≥－m}，∁UB＝{x｜x≤－2或x≥4}， 又（∁UB）∪A＝R， 所以－m≤－2，解得m≥2. 故m的取值范围为{m｜m≥2}. 【规律方法】 由集合的补集求参数的方法 （1）如果所给集合是有限集，由补集求参数时，可利用补集定义求解； （2）如果所给集合是无限集，求解与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析求解. 训练3　已知全集U＝{2，4，3－x2}，M＝{2，x2－x＋2}，∁UM＝{－1}，则实数x的值为（　　） A.2 B.－2 C.2或－2 D.－1 解析：A　由题意得－1∈U且4∈M，所以3－x2＝－1且x2－x＋2＝4，解得x＝2.故选A. 1.若全集U＝{x∈R｜－2≤x≤2}，A＝{x∈R｜－2≤x≤0}，则∁UA＝（　　） A.{x｜0＜x＜2} B.{x｜0≤x＜2} C.{x｜0＜x≤2} D.{x｜0≤x≤2} 解析：C　如图，由图可得∁UA＝{x｜0＜x≤2}.故选C. 2.若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，则∁U（M∪N）＝（　　） A.{1，2，3} B.{2} C.{1，3，4} D.{4} 解析：D　∵全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，∴M∪N＝{1，2，3}，∴∁U（M∪N）＝{4}.故选D. 3.已知集合A＝{x∈N｜0≤x≤5}，∁AB＝{1，3，5}，则集合B＝（　　） A.{2，4} B.{0，2，4} C.{0，1，3} D.{2，3，4} 解析：B　根据题意，集合A＝{x∈N｜0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，由∁AB＝{1，3，5}，得B＝∁A（∁AB）＝{0，2，4}.故选B. 4.设全集为R，A＝{x｜3≤x＜7}，B＝{x｜2＜x＜10}，求∁RB，∁R（A∪B）. 解：把集合A，B在数轴上表示，如图. 由图知∁RB＝{x｜x≤2或x≥10}， A∪B＝{x｜2＜x＜10}， 所以∁R（A∪B）＝{x｜x≤2或x≥10}. 课堂小结 1.理清单 （1）全集、补集的概念及性质； （2）交、并、补集的综合运算； （3）利用集合间的关系求参数范围. 2.应体会 （1）补集运算常利用另一种数学思想（正难则反）； （2）交、并、补集的综合运算仍利用Venn图及数轴. 3.避易错 （1）解决含参的集合运算时要注意空集； （2）利用数轴解题时，要注意端点值的取舍. 1.设U＝{x∈N｜1≤x≤6}，A＝{x｜（x－2）（x－3）＝0}，则∁UA＝（　　） A.{4，5} B.{1，2，3，4} C.{1，4，5，6} D.{1，6} 解析：C　U＝{x∈N｜1≤x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{x｜（x－2）（x－3）＝0}＝{2，3}，所以∁UA＝{1，4，5，6}.故选C. 2.设集合S＝{x｜x＞－2}，T＝{x｜－4≤x≤1}，则（∁RS）∪T＝（　　） A.{x｜－2＜x≤1} B.{x｜x≤－4} C.{x｜x≤1} D.{x｜x≥1} 解析：C　因为S＝{x｜x＞－2}，所以∁RS＝{x｜x≤－2}，又T＝{x｜－4≤x≤1}，所以（∁RS）∪T＝{x｜x≤－2}∪{x｜－4≤x≤1}＝{x｜x≤1}.故选C. 3.设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋3}，∁UA＝{1}，则a的取值为（　　） A.－3 B.3 C.－1 D.1 解析：C　∵A∪（∁UA）＝U，∴a2＝1且a＋3＝2，∴a＝－1.故选C. 4.已知全集U＝R，集合A＝{x｜x≥3或x≤0}，B＝{x｜1＜x≤3}，则如图所示的阴影部分表示的集合为（　　） A.{x｜0≤x＜1} B.{x｜0＜x≤3} C.{x｜0＜x≤1} D.{x｜1≤x≤3} 解析：C　因为A＝{x｜x≥3或x≤0}，B＝{x｜1＜x≤3}，所以A∪B＝{x｜x＞1或x≤0}，所以图中阴影部分表示的集合为∁U（A∪B）＝{x｜0＜x≤1}.故选C. 5.〔多选〕设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，则（　　） A.M∩N＝{0，1} B.∁UN＝{4} C.M∪N＝{0，1，3，4} D.M∩（∁UN）＝{4} 解析：ACD　因为U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，所以M∩N＝{0，1}，故A正确；∁UN＝{2，4}，故B不正确；M∪N＝{0，1，3，4}，故C正确；M∩∁UN＝{0，1，4}∩{2，4}＝{4}，故D正确. 6.〔多选〕已知全集U，A，B是U的非空子集，且B⊆（∁UA），则必有（　　） A.A∩B＝⌀ B.A⊆（∁UB） C.A⊇（∁UB） D.A⊆B 解析：AB　由题意作出Venn图，根据Venn图可得，A∩B＝⌀，A正确，D错误；A⊆（∁UB），B正确，C错误.故选A、B. 7.设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x｜x2－4x＋3＝0}，则∁U（A∪B）＝{－2，0}. 解析：由x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，所以集合B＝{1，3}，则A∪B＝{－1，1，2，3}，又全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，所以∁U（A∪B）＝{－2，0}. 8.设全集U＝{x｜x是三角形}，A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，则（∁UA）∩（∁UB）＝{x｜x是直角三角形}. 解析：根据三角形的分类可知，∁UA＝{x｜x是直角三角形或钝角三角形}，∁UB＝{x｜x是直角三角形或锐角三角形}，所以（∁UA）∩（∁UB）＝{x｜x是直角三角形}. 9.已知全集U＝{x｜1≤x≤5}，A＝{x｜1≤x＜a}，若∁UA＝{x｜2≤x≤5}，则a＝2. 解析：∵A＝{x｜1≤x＜a}，∁UA＝{x｜2≤x≤5}，∴A∪（∁UA）＝U＝{x｜1≤x≤5}，且A∩（∁UA）＝⌀，∴a＝2. 10.设全集U＝{x｜x≥－2}，A＝{x｜2＜x＜10}，B＝{x｜2≤x≤8}.求∁UA，（∁UA）∩B，A∩B，∁U（A∩B）. 解：因为U＝{x｜x≥－2}，A＝{x｜2＜x＜10}，B＝{x｜2≤x≤8}， 所以∁UA＝{x｜－2≤x≤2，或x≥10}， （∁UA）∩B＝{2}，A∩B＝{x｜2＜x≤8}， ∁U（A∩B）＝{x｜－2≤x≤2，或x＞8}. 11.已知全集U＝{x∈N*｜x＜9}，（∁UA）∩B＝{1，6}，A∩（∁UB）＝{2，3}，∁U（A∪B）＝{5，7，8}，则B＝（　　） A.{2，3，4} B.{1，4，6} C.{4，5，7，8} D.{1，2，3，6} 解析：B　易知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，根据题意作出Venn图，如图，可知B＝{1，4，6}. 12.〔多选〕已知集合A＝{x｜－1＜x≤3}，集合B＝{x｜－2≤x≤2}，则下列关系式正确的是（　　） A.A∩B＝⌀ B.A∪B＝{x｜－2≤x≤3} C.A∪（∁RB）＝{x｜x≤－1或x＞2} D.A∩（∁RB）＝{x｜2＜x≤3} 解析：BD　集合A＝{x｜－1＜x≤3}，集合B＝{x｜－2≤x≤2}.对于选项A，A∩B＝{x｜－1＜x≤2}，A错误；对于选项B，A∪B＝{x｜－2≤x≤3}，B正确；对于选项C，∁RB＝{x｜x＜－2或x＞2}，则A∪（∁RB）＝{x｜x＜－2或x＞－1}，C错误；对于选项D，由选项C知，A∩（∁RB）＝{x｜2＜x≤3}，D正确. 13.已知全集为R，集合A＝{x｜2＜x＜6}，B＝{x｜a－4≤x≤a＋4}，且A⊆（∁RB），则实数a的取值范围是{a｜a≤－2或a≥10}. 解析：由题意可知∁RB＝{x｜x＜a－4或x＞a＋4}.因为A⊆（∁RB），所以6≤a－4或2≥a＋4，即a≥10或a≤－2. 14.设全集U＝R，集合A＝{x｜－3≤x≤5}，B＝{x｜x≤－5或x≥3}. （1）求图中阴影部分表示的集合； （2）已知集合C＝{x｜10－a＜x＜2a＋1}，若（∁UB）∩C＝⌀，求a的取值范围. 解：（1）Venn图中的阴影部分表示的集合为∁UB＝{x｜－5＜x＜3}. （2）当C＝⌀时，10－a≥2a＋1，解得a≤3，符合题意； 当C≠⌀时，可得 或 解得3＜a≤7. 综上，a的取值范围是{a｜a≤7}. 15.已知非空集合M，若a∈M，且－a∈M，则称集合M是一个“偶集合”.已知集合A＝{x｜x＜－1}，B＝{x｜x≤1}，那么下列集合中为“偶集合”的是（　　） A.A∩B B.A∪B C.A∩（∁RB） D.（∁RA）∩B 解析：D　由题可得A∩B＝{x｜x＜－1}，则－2∈A∩B，但2∉A∩B，故A∩B不是“偶集合”；A∪B＝{x｜x≤1}，则－3∈A∪B，但3∉A∪B，故A∪B不是“偶集合”；∁RB＝{x｜x＞1}，则A∩（∁RB）＝⌀，不符合题意，故A∩（∁RB）不是“偶集合”；∁RA＝{x｜x≥－1}，则（∁RA）∩B＝{x｜－1≤x≤1}，对任意a∈（∁RA）∩B，都有－a∈（∁RA）∩B，故（∁RA）∩B是“偶集合”. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $