1.1.2 集合的表示（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第二课时　集合的表示 课标要求 1.掌握集合的两种表示方法（列举法和描述法）（数学抽象）. 2.能够在自然语言的基础上，用符号语言刻画集合（数学抽象、逻辑推理）. 情境导入 　上节课我们学习了集合的概念，有一些特殊的集合，比如非负整数集、正整数集等，我们可以用自然语言描述一个集合，同时也可以用数学符号表示这个集合，两者虽然形式不同，但实质表示的研究对象相同，且数学符号表示的集合更简洁、准确. 知识点一｜列举法 问题1　观察下面两个集合： ①设集合M是“地球上的四大洋”组成的集合； ②设集合N是小于6的正整数组成的集合. 上述问题中的集合M，N中的元素能一一列举出来吗？其元素分别是什么？ 提示：能.集合M中的元素为太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋；集合N中的元素为1，2，3，4，5. 【知识梳理】 把集合的所有元素　一一列举　出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 　　提醒：用列举法表示集合时的注意点：（1）集合中的元素要列举全面，元素之间用“，”隔开；（2）一个集合中的元素的书写一般不考虑顺序，但不能重复. 【例1】　（链接教材P3例1）用列举法表示下列集合： （1）36与60的公约数组成的集合； （2）方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合； （3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合. 解：（1）36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为{1，2，3，4，6，12}. （2）方程x2＋x＝0的所有实数根为0或－1，所求集合为{0，－1}. （3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是（0，1），所求集合为{（0，1）}. 【规律方法】 　用列举法表示集合的3个步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用花括号括起来. 训练1　（1）若集合A＝{（1，2），（3，4）}，则集合A中元素的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B　集合A＝{（1，2），（3，4）}中有两个元素（1，2）和（3，4）. （2）用列举法表示下列给定的集合： ①大于1且小于6的整数组成的集合； ②“Welcome”中的所有字母构成的集合； ③一次函数y＝－3x＋12的图象上所有满足x∈N*，y∈N*的点所组成的集合. 解：①因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，因此用列举法表示为{2，3，4，5}. ②由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素，因此用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}. ③一次函数y＝－3x＋12的图象是一条直线且该直线上的所有正整数点分别为（1，9），（2，6），（3，3），所以所求集合为{（1，9），（2，6），（3，3）}. 知识点二｜描述法 问题2　（1）“大于－2且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗？为什么？ 提示：不能.集合中的元素不能一一列举出来. （2）设x为“大于－2且小于2的实数”构成的集合的元素，x有何特征？ 提示：x∈R且－2＜x＜2. 【知识梳理】 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为　{x∈A｜P（x）}　，这种表示集合的方法称为描述法. 　　提醒：用描述法表示集合的注意点：（1）写清该集合中元素的代表符号，如{x｜x＞1}不能写成{x＞1}；（2）不能出现未被说明的字母，如{x∈Z｜x＝2m}中m未被说明；（3）所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z｜x＝2m}，m∈N*”不符合要求. 【例2】　（链接教材P4例2）用描述法表示下列集合： （1）满足不等式3x＋2＞2x＋1的实数x组成的集合； 解：解不等式3x＋2＞2x＋1，可得x＞－1，所以满足不等式的实数x组成的集合为{x｜x＞－1}，或直接写成{x｜3x＋2＞2x＋1}. （2）平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合； 解：因为第一象限内的点的横坐标大于零，纵坐标大于零，所以该集合为{（x，y）｜x＞0，y＞0，且x，y∈R}. （3）所有正奇数组成的集合. 解：可知正奇数表示为x＝2k－1（k∈N＋），故集合为{x｜x＝2k－1，k∈N＋}. 【规律方法】 用描述法表示集合的步骤 训练2　试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A； 解：描述法表示为A＝{x∈R｜x2－5＝0}，列举法表示为A＝{－，}. （2）由小于8的所有自然数组成的集合B. 解：描述法表示为B＝{x∈N｜x＜8}（形式不唯一），列举法表示为B＝{0，1，2，3，4，5，6，7}. 提能点｜集合与方程的综合问题 【例3】　已知集合A＝{x｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R}. （1）若1∈A，用列举法表示A； 解：若1∈A，则1是方程ax2＋2x＋1＝0的实数根，∴a＋2＋1＝0，解得a＝－3， ∴方程为－3x2＋2x＋1＝0， 解得x＝1或x＝－， ∴A＝{1，－}. （2）当集合A中有且仅有一个元素时，求a的值组成的集合B. 解：当a＝0时，2x＋1＝0，解得x＝－，此时A＝{－}； 当a≠0时，若集合A中有且仅有一个元素， 则方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根， ∴解得a＝1，此时A＝{－1}. 综上，当a＝0或a＝1时，集合A中有且仅有一个元素，∴B＝{0，1}. 变式　在本例条件下，集合A中有两个元素，求实数a的取值范围的集合. 解：依题意，a≠0，且Δ＝4－4a＞0，所以a＜1且a≠0，故实数a的取值范围的集合是{a｜a＜1且a≠0}. 【规律方法】 集合与方程的综合问题的解题步骤 （1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根； （2）当方程中含有参数时，往往要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时还要分类讨论； （3）求出参数的值或取值范围后，还要检验是否满足集合中元素的互异性. 训练3　已知集合A＝{x｜x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，则a＝5，b＝6. 解析：由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6. 1.集合{x∈N｜x－2＜2}用列举法可表示为（　　） A.{1，2，3} B.{1，2，3，4} C.{0，1，2，3，4} D.{0，1，2，3} 解析：D　{x∈N｜x－2＜2}＝{x∈N｜x＜4}＝{0，1，2，3}. 2.在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数组成的集合是（　　） A.{x｜x≤－3或x≥3} B.{x｜－3≤x≤3} C.{x｜x≤－3} D.{x｜x≥3} 解析：B　在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数x满足｜x｜≤3，即－3≤x≤3，因此所求的集合为{x｜－3≤x≤3}.故选B. 3.〔多选〕下列各组集合表示的不是同一个集合的是（　　） A.M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B.M＝{（x，y）｜2x＋y＝1}，N＝{y｜2x＋y＝1} C.M＝{1，2}，N＝{2，1} D.M＝{2，4}，N＝{（2，4）} 解析：ABD　对于A，M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}是不同的点构成的集合，故M与N不是同一个集合；对于B，M＝{（x，y）｜2x＋y＝1}是点集，N＝{y｜2x＋y＝1}是数集，故M与N不是同一个集合；对于C，M＝{1，2}和N＝{2，1}都是由元素1，2构成的集合，故M与N是同一个集合；对于D，M＝{2，4}是数集，N＝{（2，4）}是点集，故M与N不是同一个集合.故选A、B、D. 4.用适当的方法表示下列集合： （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于－3.5且小于12.8的整数的全体； （3）二次函数y＝x2＋1的函数值. 解：（1）{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}. （2）{－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}或{x∈Z｜－3.5＜x＜12.8}. （3）函数值y的取值集合为{y｜y＝x2＋1，x∈R}. 课堂小结 1.理清单 （1）集合的表示方法：列举法、描述法； （2）集合与方程、不等式的关系. 2.应体会 （1）元素个数有限，适合用列举法表示；元素个数无限，一般用描述法表示； （2）解决集合与方程问题常用分类讨论思想. 3.避易错 （1）要注意数集和点集的区别； （2）涉及ax2＋bx＋c＝0中x2的系数不确定时，易忽略讨论该方程是一次方程还是二次方程. 1.已知集合M＝{x｜x＞1且x∈N}，则（　　） A.0∈M B.π∈M C.∈M D.1∉M 解析：D　由集合M＝{x｜x＞1且x∈N}知，0∉M，故A错误；π∉M，故B错误；∉M，故C错误；1∉M，故D正确. 2.已知集合A＝{－1，0，1，2}，集合B＝{y｜y＝｜x｜，x∈A}，则集合B中元素的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：C　由题意得B＝{0，1，2}，即B中元素的个数为3. 3.由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是（　　） A.{x｜－3＜x＜11，x∈Z} B.{x｜－3＜x＜11} C.{x｜－3＜x＜11，x＝2k} D.{x｜－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z} 解析：D　偶数集合为{x｜x＝2k，k∈Z}，则大于－3且小于11的偶数所组成的集合为{x｜－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z}. 4.已知集合A＝{x｜3x＋2＞m}，若－1∈A，则（　　） A.m＜－1 B.m＞－1 C.m≤－1 D.m≥－1 解析：A　因为集合A＝{x｜3x＋2＞m}，－1∈A，所以－3＋2＞m，即m＜－1. 5.下列选项中是集合A＝{（x，y）｜x＝，y＝，k∈Z}中的元素的是（　　） A.（，） B.（，） C.（3，4） D.（4，3） 解析：D　当x＝时，k＝1，y＝＝，A错误.当x＝时，k＝2，y＝＝，B错误.当x＝3时，k＝9，y＝＝，C错误.当x＝4时，k＝12，y＝＝3，满足题意. 6.〔多选〕集合{1，3，5，7，9}用描述法可表示为（　　） A.{x｜x是不大于9的非负奇数} B.{x｜x＝2k＋1，k≤4且k∈N} C.{x｜x≤9，x∈N*} D.{x｜0≤x≤9，x∈Z} 解析：AB　{x｜x是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1，3，5，7，9}，A正确；{x｜x＝2k＋1，k≤4且k∈N}表示的集合是{1，3，5，7，9}，B正确；{x｜x≤9，x∈N*}表示的集合是{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，C错误；{x｜0≤x≤9，x∈Z}表示的集合是{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，D错误. 7.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.M＝{x｜x＞2}，N＝{t｜t＞2}是同一个集合 B.在平面直角坐标系内，第一、第三象限的点的集合为{（x，y）｜xy＞0} C.集合{（x，y）｜y＝1－x}与{x｜y＝1－x}是相等的 D.若集合A＝{x∈Z｜－1≤x≤1}，则－1.1∈A 解析：AB　对于A，根据两个集合相等的定义知M与N是同一个集合，故A正确；对于B，因为xy＞0，所以或所以集合{（x，y）｜xy＞0}表示平面直角坐标系内第一、第三象限的点的集合，故B正确；对于C，集合{（x，y）｜y＝1－x}表示直线y＝1－x上的点，集合{x｜y＝1－x}表示函数y＝1－x中x的取值范围，故集合{（x，y）｜y＝1－x}与{x｜y＝1－x}不相等，故C错误；对于D，A＝{x∈Z｜－1≤x≤1}＝{－1，0，1}，所以－1.1∉A，故D错误.故选A、B. 8.集合{x｜x＝2m－3，m＜5，m∈N*}，用列举法表示为{－1，1，3，5}. 解析：集合中的元素满足x＝2m－3，m＜5，m∈N*，则m可取值为1，2，3，4，则满足条件的x值为－1，1，3，5.则集合用列举法表示为{－1，1，3，5}. 9.被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为{x｜x＝3k＋1，k∈N}. 解析：因为被3除余数等于1的自然数为x＝3k＋1，k∈N，所以其对应的集合用描述法可表示为{x｜x＝3k＋1，k∈N}. 10.选择适当的方法表示下列集合： （1）由方程x（x2－2x－3）＝0的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于6的有理数； （3）方程组的解组成的集合. 解：（1）方程的实数根为－1，0，3，故可以用列举法表示为{－1，0，3}，当然也可以用描述法表示为{x｜x（x2－2x－3）＝0}. （2）由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q｜2＜x＜6}. （3）解方程组得 故用列举法表示方程组的解组成的集合为{（0，1）}，用描述法表示为.　 11.集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，C＝{x｜x＝4n＋1，n∈Z}，若a∈A，b∈B，则必有（　　） A.a＋b∈A B.a＋b∈B C.a＋b∈C D.a＋b不属于集合A，B，C中的任何一个 解析：B　因为a∈A，b∈B，所以a为偶数，b为奇数，所以a＋b为奇数，所以a＋b∈B.注意C选项，0∈A，3∈B，但0＋3∉C. 12.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为－. 解析：∵集合A＝{m＋2，2m2＋m}，且3∈A，∴m＋2＝3或2m2＋m＝3，∴m＝1或m＝－.当m＝1时，m＋2＝3，2m2＋m＝3，不满足集合中元素的互异性， 舍去；当m＝－时，m＋2＝，2m2＋m＝3，符合题意. 13.用描述法表示如图中的阴影部分可以是{（x，y）｜0≤x≤2，0≤y≤1}. 解析：由阴影部分知0≤x≤2，0≤y≤1，所以阴影部分由点集{（x，y）｜0≤x≤2，0≤y≤1}来表示. 14.设集合B＝{x∈N｜∈N}. （1）试判断元素1和2与集合B的关系； （2）用列举法表示集合B. 解：（1）当x＝1时，＝2∈N，当x＝2时，＝∉N，所以1∈B，2∉B. （2）因为x∈N，∈N，所以x只能为0，1，4，故B＝{0，1，4}. 15.设y＝x2－ax＋b，A＝{x｜y－x＝0}，若A＝{－3，1}，求实数a，b的值. 解：由y＝x2－ax＋b，得A＝{x｜y－x＝0}＝{x｜x2－（a＋1）x＋b＝0}. 又A＝{－3，1}，所以关于x的方程x2－（a＋1）x＋b＝0的两个根为－3，1. 由根与系数的关系，得解得 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $