5.6.2 函数y＝A sin （ωx＋φ）的图象与性质（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，通过“可见一斑”成语导入，类比三角函数周期性，衔接正弦函数性质，搭建从部分推整体的学习支架，涵盖五点法作图、解析式求解等核心知识点。 其亮点在于融合情景与素养，以成语激发兴趣体现数学眼光，通过五点法作图（例1及变式）和图像求解析式（例2多解法）培养数学思维，水轮问题模型强化数学语言表达。例题变式系统，助学生提升直观想象与运算能力，教师使用可高效落实课标。

第二课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质 1 1. 会通过函数y＝A sin （ωx＋φ）的部分图象求函数y＝A sin （ωx＋φ）的解析式（直观想象、数学运算）. 2. 结合正弦函数的性质，掌握函数y＝A sin （ωx＋φ）的性质（数学抽象、逻辑推理）. 课标要求 　　同学们，大家有没有听说过一个成语“可见一斑”，大家知道这是什么意思吗？对，它比喻见到事物的一小部分也能推知事物的整体，大家想一想，这不正是说的三角函数吗？我们知道，三角函数是周期函数，那么如果我们知道了一个周期上的三角函数的性质，这个时候是不是可以“可见一斑”了？ 情景导入 知识点一　“五点法”作图 01 知识点二　由图象确定函数的解析式 02 知识点三　函数y＝A sin （ωx＋φ）的有关性质 03 目录 课时作业 05 知识点四　匀速圆周运动的数学模型 04 4 知识点一 “五点法”作图 01 PART 目 录 解：令X＝3x＋ ，则x＝ （X－ ），列表如下： X 0 ​ π ​ 2π x － ​ ​ ​ ​ y 0 2 0 －2 0 描点连线，画图如下. 【例1】　用“五点法”画函数y＝2 sin （3x＋ ）在一个周期内的简图. 数学·必修第一册 目 录 变式　本例中把“一个周期内”改为“［0， ］”，又如何作图？ 解：因为x∈［0， ］，所以3x＋ ∈［ ， ］， 列表如下： 3x＋ ​ ​ π ​ 2π ​ x 0 ​ ​ ​ ​ ​ y 1 2 0 －2 0 1 数学·必修第一册 目 录 描点连线，画图如下. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 1. “五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）的图象，实质是利用函 数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象. 2. “五点法”作图的关键 作定区间如图象的关键是列表，列表的方法是： （1）计算x取端点值时的ωx＋φ的范围； （2）取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值； （3）利用ωx＋φ的值计算y值； （4）描点（x，y），连线得到函数图象. 数学·必修第一册 目 录 训练1　已知函数f（x）＝ cos ，试作出函数f（x）在[0，π]上 的图象. 解：f（x）＝ cos ，列表如下： 2x－ － 0 ​ π π π x 0 ​ π π π π f（x） ​ 1 0 －1 0 ​ 数学·必修第一册 目 录 图象如图. 数学·必修第一册 目 录 知识点二 由图象确定函数的解析式 02 PART 目 录 问题1　如图为函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）图象的一部分， 根据图象探究下面的问题. （1）根据函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如何求A 的值？ 提示：根据图象的最高点（或最低点）确定A，因为最大值与最小值互为 相反数，所以A＝2. 数学·必修第一册 目 录 （2）根据函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如何确定 ω的值？ 提示：因为T＝ ，所以通过周期来确定ω， × ＝ － ，所以ω＝2. （3）根据函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如何确定 φ的值？ 提示：最大值对应的x值为 ，所以2× ＋φ＝2kπ＋ ，k∈Z，所以φ＝ 2kπ＋ ，k∈Z. 数学·必修第一册 目 录 【例2】　如图为y＝A sin （ωx＋φ）的图象的一段，其中A＞0，ω＞ 0，｜φ｜＜π，求其解析式. 解：法一　以M为第一个零点， 则A＝ ，T＝2（ － ）＝π， ∴ω＝2，此时解析式为y＝ sin （2x＋φ）. ∵点M（ ，0），∴ ×2＋φ＝0，∴φ＝－ ， 所求解析式为y＝ sin （2x－ ）. 数学·必修第一册 目 录 法二　由图象知A＝ ， 以M（ ，0）为第一个零点，P（ ，0）为第二个零点. 列方程组 解得 ∴所求解析式为y＝ sin （2x－ ）. 数学·必修第一册 目 录 变式　将本例中的图象变为如图所示，试求函数的解析式. 数学·必修第一册 目 录 解：法一（最值点法）　由图象可得ω＝ ，A＝2，将最高点坐标（ ， 2）代入y＝2 sin （ x＋φ）， 得2 sin （ ＋φ）＝2，所以 ＋φ＝2kπ＋ （k∈Z）， 所以φ＝2kπ＋ （k∈Z）. 又因为｜φ｜＜π，所以φ＝ ， 所以此函数的解析式为y＝2 sin （ x＋ ）. 数学·必修第一册 目 录 法二（起始点法）　由图象求得ω＝ ，x0＝－ ，φ＝－ωx0＝－ ×（－ ）＝ . 又因为A＝2，所以此函数的解析式为 y＝2 sin （ x＋ ）. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　　确定y＝A sin （ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）的解析式的步骤 （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝ ，B＝ ； （2）求ω，确定函数的周期T，则ω＝ ； （3）求φ，常用方法有以下2种： 代入法 把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入 五点法 确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口 数学·必修第一册 目 录 训练2　已知函数y＝A sin （ωx＋φ）＋B的一部分图象如图所示，若A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ，根据图中条件，写出该函数的解析式. 解：由图象可知，对称中心不在x轴上，最大值为4，最小值为0，所以A ＝ ＝2，B＝ ＝2. 由 T＝ － ＝ ，得T＝π，故ω＝2. 因为2× ＋φ＝ ＋2kπ（k∈Z），｜φ｜＜ ，所以φ＝ . 所以该函数的解析式为y＝2 sin （2x＋ ）＋2. 数学·必修第一册 目 录 03 PART 知识点三 函数y＝A sin （ωx＋φ）的有关性质 目 录 问题2　你能用正弦函数y＝ sin x的性质类比函数y＝A sin （ωx＋φ）的性 质吗？ 提示：可以，利用整体代换的思想，当A＞0，ω＞0时，用ωx＋φ整体代 换正弦函数中的x即可. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 函数y＝A sin （ωx＋φ），A＞0，ω＞0的有关性质 名称 性质 定义域 R 值域 ⁠ 周期性 T＝ ⁠ 对称性 对称中心（ ，0） [－A，A] 　 数学·必修第一册 目 录 名称 性质 对称轴 x＝ ⁠ 奇偶性 当φ＝kπ（k∈Z）时是 ；当φ＝kπ＋ （k∈Z）时是 ⁠ 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 ＋ 　 奇函数　 偶函数 数学·必修第一册 目 录 【例3】　已知函数f（x）＝ sin （2x＋ ）＋ . （1）求f（x）的单调增区间； 解：令－ ＋2kπ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 解得－ ＋kπ≤x≤kπ＋ ，k∈Z， 所以f（x）的单调增区间是［kπ－ ，kπ＋ ］，k∈Z. （2）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合. 解：当 sin （2x＋ ）＝－1，即当2x＋ ＝2kπ－ ，k∈Z，即x＝kπ－ ，k∈Z时，f（x）取得最小值 . 数学·必修第一册 目 录 变式　本例条件不变，求函数f（x）的对称轴、对称中心. 解：令2x＋ ＝kπ＋ （k∈Z）， 则x＝ ＋ （k∈Z）， 所以对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z）； 令2x＋ ＝kπ（k∈Z）， 则x＝ － （k∈Z）， 所以对称中心为（ － ， ）（k∈Z）. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　　函数y＝A sin （ωx＋φ）（y＝A cos （ωx＋φ））（A≠0，ω≠0） 的性质 　　首先将三角函数的和差形式转化为y＝A sin （ωx＋φ）（y＝A cos （ωx＋φ））的形式，然后再讨论性质. （1）定义域：R； （2）值域：[－｜A｜，｜A｜]； （3）奇偶性：函数y＝A sin （ωx＋φ）（y＝A cos （ωx＋φ））不一定 具备奇偶性，要由φ的值确定； 数学·必修第一册 目 录 （4）周期性：T＝ ； （5）单调区间：可把ωx＋φ看作一个整体，令z＝ωx＋φ，通过y＝A sin z（y＝A cos z）的单调区间解不等式求得； （6）对称性：仍然以y＝A sin z（y＝A cos z）的对称轴、对称中心列方 程求解，即ωx0＋φ＝kπ＋ 或ωx0＋φ＝kπ（k∈Z）. 数学·必修第一册 目 录 训练3　已知函数f（x）＝2 cos 2ωx－1＋2 sin ωx· cos ωx（0＜ω＜ 1），直线x＝ 是函数f（x）的图象的一条对称轴. （1）设h（x）＝f（－x），求函数h（x）的单调递增区间； 解：f（x）＝2 cos 2ωx－1＋2 sin ωx cos ωx＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx＝ 2 sin （2ωx＋ ）， 因为直线x＝ 是函数f（x）的图象的一条对称轴， 所以 ω＋ ＝ ＋kπ，k∈Z，则ω＝ k＋ ，k∈Z， 又0＜ω＜1，所以ω＝ ， 数学·必修第一册 目 录 所以f（x）＝2 sin （x＋ ）， 则h（x）＝f（－x）＝2 sin （－x＋ ）＝－2 sin （x－ ）， 令 ＋2kπ≤x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，则 ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ， k∈Z， 所以函数h（x）的单调递增区间为［ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z. 数学·必修第一册 目 录 （2）已知函数y＝g（x）的图象是由y＝f（x）的图象上各点的横坐标 伸长到原来的2倍，然后再向左平移 个单位长度得到的，若g（2α＋ ） ＝ ，α∈（0， ），求 sin α的值. 数学·必修第一册 目 录 解：y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得y＝2 sin （ x＋ ）的图象， 再向左平移 个单位长度得y＝2 sin ［ （x＋ ）＋ ］＝2 sin （ x＋ ）＝2 cos x的图象， 即g（x）＝2 cos x， g（2α＋ ）＝ ，即 cos （α＋ ）＝ ， 又α∈（0， ），则α＋ ∈（ ， ）， 所以 sin （α＋ ）＝ ， 所以 sin α＝ sin ［（α＋ ）－ ］＝ × － × ＝ . 数学·必修第一册 目 录 04 PART 知识点四 匀速圆周运动的数学模型 目 录 【例4】　如图，一架水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知 水轮每分钟转动5圈，当水轮上一点P从水中浮现（图中点P0）时开始计算 时间. （1）将点P距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数； 数学·必修第一册 目 录 解：如图，建立直角坐标系，设角φ（－ ＜φ＜0）是以 Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度数 为 ＝ . 又水轮的半径为4 m，圆心O距离水面2 m， 所以z＝4 sin （ t＋φ）＋2. 当t＝0时，z＝0，得 sin φ＝－ ，即φ＝－ . 故所求的函数表达式为z＝4 sin （ t－ ）＋2. 数学·必修第一册 目 录 （2）点P第一次到达最高点需要多长时间？ 解：令z＝4 sin （ t－ ）＋2＝6， 得 sin （ t－ ）＝1. 取 t－ ＝ ，得t＝4. 故点P第一次到达最高点需要4 s. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　　匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此 类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值，半径决定A，周期能确 定ω，初始位置的不同对φ有影响，还要注意最大值、最小值与函数中参数 的关系. 数学·必修第一册 目 录 训练4　一架风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的 距离h（t）（m）与时间t（min）之间的函数关系式是（　　） A. h（t）＝－6 sin t＋6 B. h（t）＝－6 cos t＋6 C. h（t）＝－6 sin t＋8 D. h（t）＝－6 cos t＋8 √ 数学·必修第一册 目 录 解析：　法一　设h（t）＝A sin （ωt－ ）＋B＝－A cos ωt＋B（A ＞0，ω＞0），因为每12 min旋转一周，所以 ＝12，得ω＝ ，所以 h（t）＝－A cos t＋B，当t＝0时，－A＋B＝2，①.当t＝6时，A＋B ＝14，②.由①②联立解得A＝6，B＝8，所以h（t）＝－6 cos t＋8， 故选D. 法二　当t＝0时，h（t）＝2，排除选项A、B、C，故选D. 数学·必修第一册 目 录 1. 用“五点法”作函数y＝ cos 在一个周期内的图象时，第四个 关键点的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 解析：令4x－ ＝ ，得x＝ .∴该点坐标为 . √ 数学·必修第一册 目 录 2. 若函数f（x）＝3 sin （ωx＋φ）对任意x都有f（ ＋x）＝f（ － x），则f（ ）＝（　　） A. 3或0 B. －3或0 C. 0 D. －3或3 解析：　由f（ ＋x）＝f（ －x）得，直线x＝ 是函数图象的对称 轴，所以f（ ）＝±3. √ 数学·必修第一册 目 录 3. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，－ ＜φ＜ ）的部 分图象如图所示，则φ的值为（　　） A. － B. C. － D. 解析：由图象可知A＝1， ＝ －（－ ），故T＝π，ω＝2，f（x）＝ sin （2x＋φ），由图象可知当x＝ 时， sin （2× ＋φ）＝1，所以φ＝ . √ 数学·必修第一册 目 录 4. 在函数y＝2 sin （ωx＋φ）＋2（ω＞0）的一个周期上，当x＝ 时，有 最大值4，当x＝ 时，有最小值0，则ω＝ ⁠. 解析：由题意得 ＝ － ＝ ，所以T＝π，又T＝ ＝π，解得ω＝2. 2 数学·必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）“五点法”作图； （2）由图象确定函数的解析式； （3）函数y＝A sin （ωx＋φ）的有关性质； （4）匀速圆周运动的数学模型. 2.应体会 由图象确定函数的解析式需要数形结合，处理函数性质要巧妙运用整体 代换法，匀速圆周运动的数学模型的构建. 3.避易错 求φ值时递增区间上的零点和递减区间上的零点的区别.易忽视实际问题 中自变量的取值范围. 数学·必修第一册 目 录 课时作业 05 PART 目 录 1. 若x1＝ ，x2＝ 是函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）两个相邻的最值 点，则ω＝（　　） A. 2 B. C. 1 D. 解析：由题意知 ＝x2－x1＝ － ＝ ，所以T＝π，ω＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第一册 目 录 2. 函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）的部分图象如图 所示，则（　　） A. y＝2 sin （2x－ ） B. y＝2 sin （2x－ ） C. y＝2 sin （x＋ ） D. y＝2 sin （x＋ ） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：由题图可知，A＝2，T＝2［ －（－ ）］＝π，所以ω＝2.由 函数图象经过点（ ，2）可得2 sin （2× ＋φ）＝2，所以2× ＋φ＝ ＋ 2kπ，k∈Z，所以φ＝－ ＋2kπ，k∈Z，因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ ， 所以函数的解析式为y＝2 sin （2x－ ）.　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 3. （2025·开封期中）若将函数y＝3 cos （2x＋ ）的图象向右平移 个单 位长度，则平移后图象的一个对称中心是（　　） A. （ ，0） B. （－ ，0） C. （ ，0） D. （－ ，0） 解析：　将函数y＝3 cos （2x＋ ）的图象向右平移 个单位长度，得y ＝3 cos ［2（x－ ）＋ ］＝3 cos （2x＋ ）的图象，由2x＋ ＝kπ＋ （k∈Z），得x＝ ＋ （k∈Z），当k＝0时，x＝ ，所以平移后图象 的一个对称中心是（ ，0），故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 4. 已知函数f（x）＝2 sin （ωx－ ）的最小正周期为π，则函数y＝f （x）在区间［0， ］上的最大值和最小值分别是（　　） A. 2和－2 B. 2和0 C. 2和－1 D. 和－ 解析：　由题知T＝ ＝π，得ω＝2，即函数y＝f（x）＝2 sin （2x－ ），又∵x∈［0， ］，∴2x－ ∈［－ ， ］，即 sin （2x－ ）∈ ［－ ，1］，2 sin （2x－ ）∈[－1，2]，故函数f（x）的最大值为2， 最小值为－1.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 5. 〔多选〕已知函数f（x）＝A sin ωx（A＞0，ω＞0）与g（x）＝ cos ωx的部分图象如图所示，则（　　） A. A＝1 B. A＝2 C. ω＝ D. ω＝ 解析：　由题图可得过点（0，1）的图象对应的函数解析式为g（x） ＝ cos ωx，即 ＝1，A＝2.过原点的图象对应的函数解析式为f（x）＝ A sin ωx.由f（x）的图象可知，T＝ ＝1.5×4，可得ω＝ . √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 52 6. 〔多选〕将函数f（x）＝ sin 2x的图象向右平移 个单位长度后得到函 数g（x）的图象，则g（x）具有性质（　　） A. 在（0， ）上单调递增，为偶函数 B. 最大值为1，图象关于直线x＝ 对称 C. 在（－ ， ）上单调递增，为奇函数 D. 周期为π，图象关于点（ ，0）对称 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：　g（x）＝ sin ［2（x－ ）］＝ sin （2x－ ）＝－ cos 2x，因为x∈（0， ），则2x∈（0， ），所以g（x）＝－ cos 2x在 上单调递增，且为偶函数，A正确，C错误；最大值为1，当x＝ 时，2x＝3π，所以x＝ 为对称轴，B正确；T＝ ＝π，取2x＝ ＋kπ，k∈Z，所以x＝ ＋ ，k∈Z，当k＝1时满足，图象关于点（ ，0）对称，D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 7. 若函数f（x）＝ sin x＋a cos x关于点（ ，0）对称，则a的值 为 ⁠ ⁠. 解析：∵（ ，0）为f（x）的对称中心，∴f（ ）＝0，即 sin ＋a cos ＝0，即 ＋ a＝0，∴a＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 8. 若f（x）＝ cos （2x＋ ＋φ）（｜φ｜＜ ）是奇函数，则φ＝ 　​ 　 解析：由题意可知φ＋ ＝ ＋kπ，k∈Z，即φ＝ ＋kπ，k∈Z. 又｜φ｜ ＜ ，故当k＝0时，得φ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 9. 函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的 部分图象如图所示，则f（0）＝ ⁠. 解析：由图象可得A＝ ，周期为4×（ － ）＝π，所以ω＝2，将 （ ，－ ）代入得2× ＋φ＝2kπ＋ ，k∈Z，即φ＝2kπ＋ ， k∈Z，所以f（0）＝ sin φ＝ sin ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 10. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ） 的图象如图所示. （1）求出函数f（x）的解析式； 解：由图可得 解得 又 ＝2π，得T＝ ＝4π，所以ω＝ ， 由f（ ）＝6，得 ＋φ＝2kπ＋ ，k∈Z， 而｜φ｜＜ ，故φ＝ ， 综上，f（x）＝4 sin （ x＋ ）＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）若将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度，再把所有点的横坐 标变为原来的 （纵坐标不变）得到函数y＝g（x）的图象，求出函数y ＝g（x）的单调递增区间及对称中心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解：显然g（x）＝4 sin （2x＋ ）＋2， 由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 得函数g（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］，k∈Z. 由2x＋ ＝kπ，k∈Z，得x＝ － ，k∈Z，所以 函数g（x）的对称中心为（ － ，2），k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 11. 若函数f（x）＝ sin x＋ cos x－2 sin x cos x＋1－a在［－ ，－ ］上 有零点，则实数a的取值范围为（　　） A. [－ ，2] B. ［－ ， ］ C. [－2， ] D. ［ ， ］ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：　∵函数f（x）＝ sin x＋ cos x－2 sin x cos x＋1－a在［－ ， － ］上有零点，∴方程a－1＝ sin x＋ cos x－2 sin x cos x在［－ ，－ ］上有解，设t＝ sin x＋ cos x＝ sin （x＋ ），∵x∈［－ ，－ ］，∴x＋ ∈［－ ，0］，∴t∈[－ ，0]，∵t2＝1＋2 sin x cos x， ∴y＝ sin x＋ cos x－2 sin x cos x＝t－t2＋1＝－（t－ ）2＋ ，t∈[－ ，0]，当t＝0时，y取得最大值1；当t＝－ 时，y取得最小值－ －1，故可得－ －1≤a－1≤1，∴－ ≤a≤2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 12. 〔多选〕（2025·福州四中期中）函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（A＞ 0，ω＞0，｜φ｜＜ ）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（　） A. φ＝ B. 函数f（x）的图象关于点（－ ，0）对称 C. 函数f（x）在［－ ， ］上单调递增 D. 将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度后得到函 数g（x）＝ sin （2x＋ ）的图象 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 63 解析：由题意可得 ＝ － ＝ ，故T＝π，则ω＝ ＝2，f（ ）＝ sin （2× ＋φ）＝－1，即 ＋φ＝－ ＋2kπ（k∈Z），解得φ＝－ ＋2kπ（k∈Z），又｜φ｜＜ ，即φ＝－ ＋2π＝ ，故A正确；即f（x）＝ sin （2x＋ ），当x＝－ 时，有2x＋ ＝0，故f（x）的图象关于点（－ ，0）对称，故B正确；当x∈［－ ， ］时，2x＋ ∈［－ ， ］，故C正确；将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度后得到y＝ sin （2x－2× ＋ ）＝ sin （2x＋ ）的图象，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 13. （2025·重庆南开期中）某同学利用描点法画函数y＝A sin （ωx＋ φ）（其中0＜A≤2，0＜ω＜2，－ ＜φ＜ ）的图象，列出的部分数 据如下表： x 0 1 2 3 4 y 1 0 1 －1 －2 经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数 y＝A sin （ωx＋φ）的解析式应是 ⁠. y＝2 sin （ x＋ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：由题意可知（0，1），（2，1）关于对称轴对称，且对称轴为x＝ 1，由三角函数的对称性可知，正弦函数在对称轴处取得最值，且过（1， A），从而可得第二组（1，0）错误，把（1，A）代入可得，ω＋φ＝ ， （2，1），（3，－1）关于（ ，0）对称，所以可得（ ，0）是函数的对 称轴x＝1相邻一个对称中心，从而函数的周期T＝4×（ －1）＝6，根据 周期公式T＝ ＝6，所以ω＝ ，φ＝ ，函数y＝A sin （ x＋ ），把函 数图象上的点（0，1）代入函数解析式可得A sin ＝1，所以A＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 14. 已知函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）的图象过 点P（－ ，0），且图象上与P点最近的一个最低点坐标为（－ ，－ 2）. （1）求函数的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解：因为一个最低点的坐标为（－ ，－2）， 所以A＝2，y＝2 sin （ωx＋φ）， 因为｜－ ＋ ｜＝ T，所以最小正周期T＝π，ω＝ ＝2，y＝2 sin （2x＋φ）， 将点（－ ，－2）带入y＝2 sin （2x＋φ）中， 可得－2＝2 sin ［2×（－ ）＋φ］，解得φ＝－ ＋2kπ（k∈Z）， 因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ ，y＝2 sin （2x－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）若将此函数的图象向左平移 个单位长度后，再向上平移2个单位长 度得到g（x）的图象，求g（x）在［－ ， ］上的值域. 解：向左平移 个单位长度后得到函数y＝2 sin ［2（x＋ ）－ ］ ＝2 sin （2x＋ ）的图象， 再向上平移2个单位长度得到g（x）＝2 sin （2x＋ ）＋2的图象， 因为x∈［－ ， ］， 所以2x＋ ∈［－ ， ］， sin （2x＋ ）∈［－ ，1］，g（x） ∈[1，4]， 故函数g（x）在［－ ， ］上的值域为[1，4]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 15. 如图为函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ， x∈R）的部分图象. （1）求函数解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解：由题图知，A＝2， ＝ － ＝ ， 所以T＝π，ω＝ ＝2， 因为图象过点（ ，2）， 所以2× ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝ ＋2kπ，k∈Z， 因为｜φ｜＜ ，所以φ＝ ， 所以函数解析式为f（x）＝2 sin （2x＋ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）求函数f（x）的单调递增区间； 解：令2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 解得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z， 所以f（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］， k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （3）将函数y＝f（x）的图象向右平移 个单位长度，得到函数y＝g （x）的图象，若方程g（x）＝m在［－ ，0］上有两个不相等的实数 根，求实数m的取值范围. 解：由题意得g（x）＝2 sin （2x－ ），作出g （x）在［－ ，0］上的图象如图所示. 当方程g（x）＝m在［－ ，0］上有两个不相等的实数根时， 由函数的图象可知，m∈[，2），故实数m的取值范围为[，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $