5.6 第3课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦必修一第五章三角函数，通过“合作探究·思维进阶”“学以致用·课堂评价”“课后分层练”等模块，以知识梳理和探究任务为支架，引导学生从基础概念到综合应用逐步深入，构建三角函数知识体系。 其亮点在于PPT支持任意编辑方便教师个性化调整，“合作探究”模块通过任务驱动培养学生数学眼光和探究意识，“课后分层练”设计不同层次题目助力因材施教。典例解析强化数学思维推理，帮助学生提升问题解决能力，教师可高效整合教学资源提升课堂效果。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第五章 三角函数 3 目 录 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 5.6　函数y＝A sin (ωx＋φ) 第3课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质 学习目标　1.结合正弦函数y＝sin x的性质，理解并掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质，提升逻辑推理素养．(重点、难点)　2.结合三角恒等变换的有关公式，将函数整理为y＝A sin (ωx＋φ)形式并研究函数，提升数学运算素养．(重点、难点)　3.能用函数y＝A sin (ωx＋φ)模型求解简单的实际问题，提升数学建模素养．(重点) 　函数y＝A sin (ωx＋φ)的有关性质 (1)正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是 eq \f(T,2)； (2)正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是 eq \f(T,2)； (3)正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离是 eq \f(T,4). 例1　(链接教材：人教A版P241习题5.6T4T5)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ< eq \f(π,2))的图象与y轴的交点为(0，1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0，2)和(x0＋ eq \f(π,2)，－2). (1)求函数y＝f(x)的解析式及x0的值． (2)求f(x)的单调递减区间． (3)先将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩小为原来的 eq \f(1,2)，再将得到的函数图象向左平移 eq \f(π,24)个单位长度，最后得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在区间[0， eq \f(π,8)]上的值域． 解：(1)设函数f(x)的最小正周期为T， 由题意可得，A＝2，T＝2× eq \f(π,2)＝π＝ eq \f(2π,ω)，故ω＝2， 因为f(0)＝2sin φ＝1，φ< eq \f(π,2)， 所以φ＝ eq \f(π,6)，f(x)＝2sin (2x＋ eq \f(π,6))， 根据五点作图法可得，2x0＋ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,2)，解得x0＝ eq \f(π,6). (2)由 eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋ eq \f(π,6)≤ eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得 eq \f(π,6)＋kπ≤x≤ eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z， 故f(x)的单调递减区间为[ eq \f(π,6)＋kπ， eq \f(2π,3)＋kπ]，k∈Z. (3)由题意得，g(x)＝2sin [4(x＋ eq \f(π,24))＋ eq \f(π,6)]＝2sin (4x＋ eq \f(π,3))， 当0≤x≤ eq \f(π,8)时， eq \f(π,3)≤4x＋ eq \f(π,3)≤ eq \f(5π,6)， 所以 eq \f(1,2)≤sin (4x＋ eq \f(π,3))≤1， 所以1≤g(x)≤2，即g(x)的值域为[1，2]. 类题通法 1.三角函数的对称轴、对称中心的求法 类别 对称轴 对称中心 y=Asin(ωx+φ) 令ωx+φ=kπ+ (k∈Z)求对称轴 令ωx+φ=kπ (k∈Z)求对称中心横坐标 y=Acos(ωx+φ) 令ωx+φ=kπ(k∈Z)求对称轴 令ωx+φ=kπ+ (k∈Z)求对称中心横坐标 2.解决三角函数的单调性及最值的方法 (1)通过诱导公式、三角恒等变换及函数图象间的变换关系,得到所求函数的解析式，一般要化成一角一函数的形式，如y=Asin(ωx+φ). (2)采取换元法整体代换，将ωx+φ看作一个整体,可令z=ωx+φ，即通过y=Asin z的单调区间(最值)求出函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间(最值). 【迁移运用】 已知函数f(x)＝sin (π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω>0)，y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 eq \f(π,4). (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间[0， eq \f(π,4)]上的值域． 解：(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx＝sinωx cos ωx＋cos2ωx＝ eq \f(1,2)sin2ωx＋ eq \f(1,2)(1＋cos 2ωx)＝ eq \f(\r(2),2)( eq \f(\r(2),2)sin 2ωx＋ eq \f(\r(2),2)cos 2ωx)＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(\r(2),2)sin (2ωx＋ eq \f(π,4))＋ eq \f(1,2)(ω>0)， 又由题 eq \f(T,4)＝ eq \f(π,4)，所以 eq \f(1,4)× eq \f(2π,2ω)＝ eq \f(π,4)⇒ω＝1， 所以f(x)＝ eq \f(\r(2),2)sin (2x＋ eq \f(π,4))＋ eq \f(1,2)， 令2kπ－ eq \f(π,2)≤2x＋ eq \f(π,4)≤2kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，则kπ－ eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋ eq \f(π,8)，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ－ eq \f(3π,8)，kπ＋ eq \f(π,8)]，k∈Z. (2)由(1)知f(x)＝ eq \f(\r(2),2)sin (2x＋ eq \f(π,4))＋ eq \f(1,2)， 故由题意可得g(x)＝ eq \f(\r(2),2)sin (4x＋ eq \f(π,4))＋ eq \f(1,2)， 当x∈[0， eq \f(π,4)]时，4x＋ eq \f(π,4)∈[ eq \f(π,4)， eq \f(5π,4)]， 故由正弦函数图象性质可得sin (4x＋ eq \f(π,4))∈[－ eq \f(\r(2),2)，1]， 所以 eq \f(\r(2),2)sin (4x＋ eq \f(π,4))＋ eq \f(1,2)∈[0， eq \f(\r(2)＋1,2)]，即g(x)∈[0， eq \f(\r(2)＋1,2)]， 所以函数y＝g(x)在区间[0， eq \f(π,4)]上的值域为[0， eq \f(\r(2)＋1,2)]. 　匀速圆周运动的数学模型 例2　(链接教材：人教A版P238例2)如图，筒车的半径为4 m，轴心O距离水面2 m，筒车上均匀分布了12个盛水筒．已知该筒车按逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒P从水面浮现时(图中点P0)开始计算时间． (1)将点P距离水面的距离z(单位：m.在水面下时z为负数)表示为时间t(单位：分钟)的函数； (2)已知盛水筒Q与P相邻，Q位于P的逆时针方向一侧．若盛水筒P和Q在水面上方，且距离水面的高度相等，求t的值． 解：(1)以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设P(x，y)，则P距离水面的距离z＝y＋2， eq \f(y,r)＝sin α，α为Ox为始边，OP为终边的角， 由O到水面距离为2，半径r＝4，可得∠P0Ox＝ eq \f(π,6)， 由该筒车逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，可知∠P0OP＝ eq \f(2π,2)×t＝πt， 则α＝πt－ eq \f(π,6)，则y＝r sin α＝4sin (πt－ eq \f(π,6))， 故z＝4sin (πt－ eq \f(π,6))＋2(t≥0). (2)筒车上均匀分布了12个盛水筒， 所以∠POQ＝ eq \f(π,6)， 设Q(xQ，yQ)， 则 eq \f(yQ,r)＝sin (α＋ eq \f(π,6))，yQ＝4sin (πt－ eq \f(π,6)＋ eq \f(π,6))＝4sin πt. 由P点纵坐标y＝4sin (πt－ eq \f(π,6))，P和Q在水面上方，且距离水面的高度相等可得，sin πt＝sin (πt－ eq \f(π,6))， 则πt＝πt－ eq \f(π,6)＋2kπ或πt＝π－(πt－ eq \f(π,6))＋2kπ，解得t＝k＋ eq \f(7,12)(k∈Z)， 由盛水筒P和Q在水面上方， 则4sin πt>－2，即sin πt>－ eq \f(1,2)， 故2kπ－ eq \f(π,6)<πt<2kπ＋ eq \f(7π,6)(k∈Z)， 则t＝2k＋ eq \f(7,12)(k∈Z)， 由t>0，得t＝2k＋ eq \f(7,12)(k∈N). 名师点睛 利用题目中提供的数据和有关性质解决问题，其关键是求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决. 1．函数y＝3cos (x＋ eq \f(π,3))的图象的一个对称中心是(　　 ) A．(0，0) B．( eq \f(π,3)，0) C．(－ eq \f(π,3)，0) D．( eq \f(π,6)，0) 解析：选D.由x＋ eq \f(π,3)＝ eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，得x＝kπ＋ eq \f(π,6)(k∈Z)，令k＝0，则x＝ eq \f(π,6)，故( eq \f(π,6)，0)是函数y＝3cos (x＋ eq \f(π,3))的图象的一个对称中心． 2．若函数f(x)＝sin (ωx＋ eq \f(π,3))(ω>0)的图象关于直线x＝ eq \f(π,2)对称，则ω可以为(　　 ) A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C． eq \f(2,3) D．1 解析：选A.因为f(x)＝sin (ωx＋ eq \f(π,3))(ω>0)的图象关于直线x＝ eq \f(π,2)对称，所以 eq \f(π,2)ω＋ eq \f(π,3)＝ eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，得ω＝2k＋ eq \f(1,3)(ω>0)(k∈Z)，当k＝0时，ω取值为 eq \f(1,3). 3．记函数f(x)＝sin (ωx＋ eq \f(π,4))＋b(ω>0)的最小正周期为T.若 eq \f(2π,3)<T<π，且y＝f(x)的图象关于点( eq \f(3π,4)，2)中心对称，则f( eq \f(π,2))＝(　　 ) A．1 B． eq \f(3,2) C． eq \f(5,2) D．3 解析：选A.由函数的最小正周期T满足 eq \f(2π,3)<T<π，得 eq \f(2π,3)< eq \f(2π,ω)<π，解得2<ω<3， 又因为函数图象关于点( eq \f(3π,2)，2)中心对称，所以 eq \f(3π,2)ω＋ eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，且b＝2， 所以ω＝－ eq \f(1,6)＋ eq \f(2,3)k，k∈Z，所以ω＝ eq \f(5,2)，f(x)＝sin ( eq \f(5,2)x＋ eq \f(π,4))＋2， 所以f( eq \f(π,2))＝sin ( eq \f(5,4)π＋ eq \f(π,4))＋2＝1. 4．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(t，y).若初始位置为P0( eq \f(\r(3),2)， eq \f(1,2))，当秒针从P0(注此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为(　　 ) A．y＝sin ( eq \f(π,30)t＋ eq \f(π,6)) B．y＝sin (－ eq \f(π,60)t－ eq \f(π,6)) C．y＝sin (－ eq \f(π,30)t＋ eq \f(π,6)) D．y＝sin (－ eq \f(π,30)t－ eq \f(π,3)) 解析：选C.由题意，函数的周期T＝60，所以ω＝ eq \f(2π,60)＝ eq \f(π,30)， 设函数关系式为y＝sin (－ eq \f(π,30)t＋φ)(因为秒针是顺时针走动)， 因为初始位置为P0( eq \f(\r(3),2)， eq \f(1,2))，所以t＝0时，y＝ eq \f(1,2)，所以sin φ＝ eq \f(1,2)，所以φ可取 eq \f(π,6)， 所以函数关系式为y＝sin (－ eq \f(π,30)t＋ eq \f(π,6)). 三角换元法 1．核心公式：cos2α＋sin2α＝1. 2．重要推论：1＋tan2α＝ eq \f(1,cos2α)；1＋ eq \f(1,tan2α)＝ eq \f(1,sin2α). 名师点拨 三角换元法是将代数问题、几何问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用． 【基础巩固】 1．下列区间中，能使函数f(x)＝2sin (x－ eq \f(π,6))单调递增的区间是(　　 ) A．(0， eq \f(π,2)) B．( eq \f(π,2)，π) C．(π， eq \f(3π,2)) D．( eq \f(3π,2)，2π) 解析：选A.对于A，当0<x< eq \f(π,2)时，－ eq \f(π,6)<x－ eq \f(π,6)< eq \f(π,3)，此时f(x)单调递增，A正确； 对于B，当 eq \f(π,2)<x<π时， eq \f(π,3)<x－ eq \f(π,6)< eq \f(5π,6)，此时f(x)先增后减，B错误； 对于C，当π<x< eq \f(3π,2)时， eq \f(5π,6)<x－ eq \f(π,6)< eq \f(4π,3)，此时f(x)单调递减，C错误； 对于D，当 eq \f(3π,2)<x<2π时， eq \f(4π,3)<x－ eq \f(π,6)< eq \f(11π,6)，此时f(x)先减后增，D错误． 2．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则f(x)的表达式可以为(　　 ) A．f(x)＝2cos (2x－ eq \f(π,6)) B．f(x)＝2cos (2x－ eq \f(7π,6)) C．f(x)＝sin (2x－ eq \f(5π,3)) D．f(x)＝2sin (x－ eq \f(7π,12)) 解析：选A.由图可知：A＝2， eq \f(3,4)T＝ eq \f(13π,12)－ eq \f(π,3)⇒T＝π⇒ω＝ eq \f(2π,T)＝2，f(x)经过最高点( eq \f(13π,12)，2)，故2× eq \f(13π,12)＋φ＝ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，故φ＝－ eq \f(13π,6)＋ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝2sin (2x－ eq \f(13π,6)＋ eq \f(π,2)＋2kπ)＝2sin (2x－ eq \f(π,6)＋ eq \f(π,2))＝2cos (2x－ eq \f(π,6)). 3．函数f(x)＝cos (ωx＋ eq \f(π,3))(ω>0)向右平移 eq \f(π,6)个单位长度之后，关于x＝ eq \f(π,12)轴对称，则ω的最小值为(　　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选B.函数f(x)＝cos (ωx＋ eq \f(π,3))(ω>0)向右平移 eq \f(π,6)个单位得到f(x－ eq \f(π,6))＝cos [ω(x－ eq \f(π,6))＋ eq \f(π,3)]＝cos (ωx＋ eq \f(π,3)－ eq \f(ωπ,6)). 由题意知f(x－ eq \f(π,6))关于x＝ eq \f(π,12)轴对称，到ω· eq \f(π,12)＋ eq \f(π,3)－ eq \f(ωπ,6)＝kπ(k∈Z)，即ω＝4－12k(k∈Z). 又因为ω>0，故当k＝0时，有最小值4. 4．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)在区间( eq \f(π,6)， eq \f(2π,3))单调递增，直线x＝ eq \f(π,6)和x＝ eq \f(2π,3)为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f(－ eq \f(5π,12))＝(　　 ) A．－ eq \f(\r(3),2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),2) 解析：选D.由题意知 eq \f(T,2)＝ eq \f(2π,3)－ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,2)，且ω>0，则T＝π，ω＝ eq \f(2π,T)＝2， 当x＝ eq \f(π,6)时，f(x)取得最小值，则2· eq \f(π,6)＋φ＝2kπ－ eq \f(π,2)，k∈Z， 则φ＝2kπ－ eq \f(5π,6)，k∈Z，不妨取k＝0，则f(x)＝sin (2x－ eq \f(5π,6))， 则f(－ eq \f(5π,12))＝sin (－ eq \f(5π,3))＝ eq \f(\r(3),2). 5．设函数f(x)＝sin (ωx－ eq \f(π,6))＋k(ω>0)，若f(x)≤f( eq \f(π,3))对任意的实数x都成立，则ω的一个可取值为(　　 ) A．4 B．5 C．7 D．8 解析：选D.∵f(x)≤f( eq \f(π,3))对任意的实数x都成立，故sin (ω· eq \f(π,3)－ eq \f(π,6))＝1，则ω· eq \f(π,3)－ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,2)＋2mπ，m∈Z，故ω＝2＋6m，m∈Z，故当m＝1时，一个可能取值为8. 6．(多选)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< eq \f(π,2))图象与y轴交于点(0，－ eq \f(1,2))，且( eq \f(π,3)，1)为该图象最高点，则(　　 ) A．f(x)＝sin (2x－ eq \f(π,6)) B．f(x)的一个对称中心为( eq \f(π,12)，0) C．函数f(x)图象向右平移 eq \f(π,6)个单位长度可得y＝sin (2x－ eq \f(π,3))图象 D．x＝ eq \f(7π,12)是函数f(x)的一条对称轴 解析：选AB.因为( eq \f(π,3)，1)为该图象最高点，所以A＝1， 又函数f(x)的图象与y轴交于点(0，－ eq \f(1,2))，则f(0)＝sin φ＝－ eq \f(1,2)， 又|φ|< eq \f(π,2)，所以φ＝－ eq \f(π,6)，则f(x)＝sin (ωx－ eq \f(π,6))， f( eq \f(π,3))＝sin ( eq \f(π,3)ω－ eq \f(π,6))＝1，则 eq \f(π,3)ω－ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以ω＝2＋6k，k∈Z， 由图可知 eq \f(T,2)＝ eq \f(π,ω)> eq \f(π,3)，所以0<ω<3，所以ω＝2，所以f(x)＝sin (2x－ eq \f(π,6))，故A正确； 对于B，因为f( eq \f(π,12))＝sin 0＝0，所以f(x)的一个对称中心为( eq \f(π,12)，0)，故B正确； 对于C，函数f(x)图象向右平移 eq \f(π,6)个单位可得y＝sin [2(x－ eq \f(π,6))－ eq \f(π,6)]＝sin (2x－ eq \f(π,2))图象，故C错误； 对于D，f( eq \f(7π,12))＝sin ( eq \f(7π,6)－ eq \f(π,6))＝0不是最值，所以x＝ eq \f(7π,12)不是函数f(x)的一条对称轴，故D错误． 7．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|< eq \f(π,2))的图象的一条对称轴方程为x＝ eq \f(π,6)，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为 eq \f(π,4)，则φ＝________． 解析：因为f(x)图象的一条对称轴与相邻对称中心之间的距离为 eq \f(π,4)， 所以函数f(x)的最小正周期为T＝π，所以ω＝ eq \f(2π,T)＝2. 因为函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝ eq \f(π,6)，则2× eq \f(π,6)＋φ＝ eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)， 所以φ＝kπ＋ eq \f(π,6)(k∈Z)， 因为|φ|< eq \f(π,2)，所以φ＝ eq \f(π,6). 答案： eq \f(π,6) 8．喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受，若不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度v喷向空气中时，水柱在水平方向上移动的距离为D＝ eq \f(v2,g)sin 2α，能够达到的最高高度为H＝ eq \f(v2,4g)(1－cos 2α)(如图所示，其中g为重力加速度).若tan α＝ eq \f(\r(5),2)，则H与D的比值为________． 解析： eq \f(H,D)＝ eq \f(\f(v2,4g)(1－cos 2α),\f(v2,g)sin 2α)＝ eq \f(1－cos 2α,4sin 2α)＝ eq \f(2sin2α,8sinαcos α)＝ eq \f(sin α,4cos α)＝ eq \f(1,4)tan α＝ eq \f(\r(5),8). 答案： eq \f(\r(5),8) 9．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ< eq \f(π,2))，f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为 eq \f(π,2)，x＝ eq \f(π,3)为函数f(x)的一个零点． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间． 解：(1)由题意可知，T＝π＝ eq \f(2π,ω)，得ω＝2. 又因为x＝ eq \f(π,3)为函数f(x)的一个零点， 所以 eq \f(2π,3)＋φ＝kπ，k∈Z， 所以φ＝kπ－ eq \f(2π,3)，k∈Z. 又因为0<φ< eq \f(π,2)，所以φ＝ eq \f(π,3)， 所以f(x)＝2sin (2x＋ eq \f(π,3)). (2)若f(x)单调递增，则满足－ eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋ eq \f(π,3)≤ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z， 解得－ eq \f(5π,12)＋kπ≤x≤ eq \f(π,12)＋kπ，k∈Z， 当k＝0，1时，得x∈[－ eq \f(5π,12)， eq \f(π,12)]，x∈[ eq \f(7π,12)， eq \f(13π,12)]， 又因为x∈[0，π]，交集为[0， eq \f(π,12)]，[ eq \f(7π,12)，π]， 所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为[0， eq \f(π,12)]，[ eq \f(7π,12)，π]. 10．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，0<φ< eq \f(π,2))，f(x)的相邻两条对称轴间的距离为 eq \f(π,2)，且图象上一个最高点的坐标为M( eq \f(π,6)，4). (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈[－ eq \f(π,6)， eq \f(π,3)]时，求f(x)的值域． 解：(1)∵相邻两条对称轴间距离为 eq \f(π,2)，∴ eq \f(T,2)＝ eq \f(π,2)，即T＝π， 而由T＝ eq \f(2π,ω)＝π得ω＝2， ∵图象上一个最高点坐标为( eq \f(π,6)，4)，∴A＝4， 2× eq \f(π,6)＋φ＝ eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝ eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)， ∵0<φ< eq \f(π,2)，∴φ＝ eq \f(π,6)， ∴f(x)＝4sin (2x＋ eq \f(π,6)). (2)∵x∈[－ eq \f(π,6)， eq \f(π,3)]，∴2x＋ eq \f(π,6)∈[－ eq \f(π,6)， eq \f(5π,6)]，∴sin (2x＋ eq \f(π,6))∈[－ eq \f(1,2)，1]， ∴f(x)的值域为[－2，4]. 【综合运用】 11．(多选)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在[－ eq \f(π,6)， eq \f(π,4)]上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为x＝ eq \f(3π,2)，则ω的值可以是(　　 ) A． eq \f(1,3) B． eq \f(2,3) C．1 D． eq \f(5,3) 解析：选ACD.由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)ω＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,\f(π,4)ω≤\f(π,2)，))所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ω＝\f(2,3)k＋\f(1,3)，k∈Z，,0<ω≤2，))解得ω＝ eq \f(1,3)，1， eq \f(5,3). 12．函数f(x)＝2cos2x－2 eq \r(3)sinx cos x＋2. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)求f(x)在[0， eq \f(π,2)]上的值域． 解：(1)f(x)＝cos 2x－ eq \r(3)sin 2x＋3＝2cos (2x＋ eq \f(π,3))＋3， 则－π＋2kπ≤2x＋ eq \f(π,3)≤2kπ，k∈Z， 得－ eq \f(2π,3)＋kπ≤x≤－ eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为[－ eq \f(2π,3)＋kπ，－ eq \f(π,6)＋kπ]，k∈Z. (2)因为x∈[0， eq \f(π,2)]，令t＝2x＋ eq \f(π,3)，则t∈[ eq \f(π,3)， eq \f(4π,3)]， 所以cos t∈[－1， eq \f(1,2)]，所以f(x)＝2cos (2x＋ eq \f(π,3))＋3∈[1，4]， 故f(x)∈[1，4]. 13．一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间． (1)以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立直角坐标系，试将点P距离水面的高度h(单位：米)表示为时间t(单位：秒)的函数； (2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？ 解：(1)如图所示，标出点M与点N，设h＝A sin (ωt＋φ)＋k(t≥0)， 根据题意可知，OM＝1，ON＝OP0＝2， 所以∠OP0M＝∠NOP0＝ eq \f(π,6)， 根据函数h＝A sin (ωt＋φ)＋k(t≥0)的物理意义可知：A＝OP0＝2，k＝1，φ＝－ eq \f(π,6)， 又因为函数h＝2sin (ωt－ eq \f(π,6))＋1(t≥0)的最小正周期为T＝4，所以ω＝ eq \f(2π,4)＝ eq \f(π,2)， 所以可得h＝2sin ( eq \f(π,2)t－ eq \f(π,6))＋1(t≥0). (2)根据题意可知，h＝2sin ( eq \f(π,2)t－ eq \f(π,6))＋1>2，即sin ( eq \f(π,2)t－ eq \f(π,6))> eq \f(1,2)， 当水轮转动一圈时，t∈[0，4]，可得 eq \f(π,2)t－ eq \f(π,6)∈[－ eq \f(π,6)， eq \f(11π,6)]， 所以此时 eq \f(π,6)< eq \f(π,2)t－ eq \f(π,6)< eq \f(5π,6)，解得 eq \f(2,3)<t<2， 又因为2－ eq \f(2,3)＝ eq \f(4,3)(秒)，即水轮转动任意一圈内，有 eq \f(4,3)秒的时间点P距水面的高度超过2米． 【创新探索】 14．(2023·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωxsin φ(ω>0，|φ|< eq \f(π,2)). (1)若f(0)＝－ eq \f(\r(3),2)，求φ的值； (2)已知f(x)在区间[－ eq \f(π,3)， eq \f(2π,3)]上单调递增，f( eq \f(2π,3))＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω，φ的值． 条件①：f( eq \f(π,3))＝ eq \r(2)；条件②：f(－ eq \f(π,3))＝－1；条件③：f(x)在区间[－ eq \f(π,2)，－ eq \f(π,3)]上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)因为f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωxsin φ，ω>0，|φ|< eq \f(π,2)， 所以f(0)＝sin (ω·0)cos φ＋cos (ω·0)sin φ＝sin φ＝－ eq \f(\r(3),2)， 因为|φ|< eq \f(π,2)，所以φ＝－ eq \f(π,3). (2)因为f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωxsin φ，ω>0，|φ|< eq \f(π,2)， 所以f(x)＝sin (ωx＋φ)，ω>0，|φ|< eq \f(π,2)， 所以f(x)的最大值为1，最小值为－1. 若选条件①：因为f(x)＝sin (ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，所以f( eq \f(π,3))＝ eq \r(2)无解，故条件①不能使函数f(x)存在； 若选条件②：因为f(x)在[－ eq \f(π,3)， eq \f(2π,3)]上单调递增，且f( eq \f(2π,3))＝1，f(－ eq \f(π,3))＝－1， 所以 eq \f(T,2)＝ eq \f(2π,3)－(－ eq \f(π,3))＝π，所以T＝2π，ω＝ eq \f(2π,T)＝1， 所以f(x)＝sin (x＋φ)， 又因为f(－ eq \f(π,3))＝－1， 所以sin (－ eq \f(π,3)＋φ)＝－1， 所以－ eq \f(π,3)＋φ＝－ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z. 所以φ＝－ eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|< eq \f(π,2)，所以φ＝－ eq \f(π,6). 所以ω＝1，φ＝－ eq \f(π,6)； 若选条件③：因为f(x)在[－ eq \f(π,3)， eq \f(2π,3)]上单调递增，在[－ eq \f(π,2)，－ eq \f(π,3)]上单调递减， 所以f(x)在x＝－ eq \f(π,3)处取得最小值－1，即f(－ eq \f(π,3))＝－1. 以下与条件②相同． $