4.4.1 对数函数的概念（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦对数函数的概念、定义域及实际应用，通过细胞分裂问题导入，从指数函数y=2x反推x关于y的函数，衔接已有知识，搭建从指数到对数的认知支架。 其亮点是以数学抽象、数学运算、数学建模为核心，通过多选辨析题强化概念理解，分步求解定义域提升运算能力，结合化工厂过滤等实例渗透建模思想。规律方法总结与分层作业设计，帮助学生深化认知，也为教师提供系统教学资源。

4.4.1　对数函数的概念 1 1. 理解对数函数的概念（数学抽象）. 2. 会求与对数函数有关的定义域问题（数学运算）. 3. 了解对数函数在实际生产中的简单应用（数学建模）. 课标要求 情景导入 已知细胞分裂个数y与分裂次数x满足y＝2x，那么反过来，x是关于y的 函数吗？ 　　如果用x表示自变量，用y表示函数，那么这个函数是什么？ 知识点一　对数函数的概念 01 知识点二　对数型函数的定义域 02 知识点三　对数型函数的实际应用 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 对数函数的概念 01 PART 目 录 问题　（1）将y＝2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间 （0，＋∞）内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？ 提示：x＝log2y；任意y∈（0，＋∞），都有唯一的x对应. （2）x能否看作关于y的函数？ 提示：x能看作关于y的函数. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 　一般地，函数y＝ 叫做对数函数，其 中 是自变量，定义域是 ⁠. 　　提醒：在对数函数的定义表达式y＝logax（a＞0，且a≠1）中， logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数 函数. logax（a＞0，且a≠1）　 x　 （0，＋∞）　 数学·必修第一册 目 录 【例1】　（1）〔多选〕下列函数中为对数函数的是（　CD　） A. y＝lo （－x） B. y＝2log4（x－1） C. y＝ln x D. y＝lo x（a是常数） 解析：对于A，真数是－x，故A不是对数函数；对于B，真数是x－1， 不是x，故B不是对数函数；对于C，ln x的系数为1，真数是x，故C是 对数函数；对于D，底数a2＋a＋2＝ ＋ ＞1，真数是x，故D是 对数函数. CD 数学·必修第一册 目 录 （2）已知对数函数f（x）的图象过点P（8，3），则f ＝ ⁠. 解析：设对数函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），∵f（x）的图象过 点P（8，3），∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.∴f（x）＝log2x，∴f ＝log2 ＝log22－5＝－5. －5 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 判断一个函数是对数函数的依据 数学·必修第一册 目 录 训练1　（1）若函数y＝log（2a－1）x＋（a2－5a＋4）是对数函数，则a ＝ ⁠； 解析：因为函数y＝log（2a－1）x＋（a2－5a＋4）是对数函数，所以 解得a＝4. 4 数学·必修第一册 目 录 （2）已知函数f（x）是对数函数，且f ＝－ ，则f（2 ） ＝ ⁠. 解析：设f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），因为f ＝－ ，所以a＝ 2，f（x）＝log2x，所以f（2 ）＝ . ​ 数学·必修第一册 目 录 知识点二 对数型函数的定义域 02 PART 目 录 【例2】　（链接教材P130例1）求下列函数的定义域： （1）y＝ ； 解：要使函数式有意义， 需 解得x＞1，且x≠2. 故函数y＝ 的定义域是{x｜x＞1，且x≠2}. 数学·必修第一册 目 录 （2）y＝ . 解：要使函数式有意义，需 即 解得x≥4. 故函数y＝ 的定义域是{x｜x≥4}. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 求函数定义域的原则 （1）分母不能为0； （2）根指数为偶数时，被开方数非负； （3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 数学·必修第一册 目 录 训练2　求下列函数的定义域： （1）f（x）＝lg（x－2）＋ ； 解：要使函数有意义，需满足 解得x＞2，且x≠3. 所以所求函数的定义域为（2，3）∪（3，＋∞）. 数学·必修第一册 目 录 （2）f（x）＝log（x＋2） . 解：要使函数有意义，则 得 所以所求函数的定义域为（－2，－1）∪ . 数学·必修第一册 目 录 03 PART 知识点三 对数型函数的实际应用 目 录 【例3】　某化工厂生产一种溶液，初时含杂质为1，每过滤一次可使杂质 含量减少 ，设过滤y次后杂质含量为x. （1）求y关于x的函数解析式； 解：由题意得x＝ ，y∈[0，＋∞）， 即x＝ ，x∈（0，1]. 所以可得y＝lo x，x∈（0，1]. 数学·必修第一册 目 录 （2）要使产品达到市场要求，杂质含量不能超过 ，则至少应过滤多少 次？（lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1） 解：令x＝ ，则y＝lo ＝ ≈ ≈10.4. 所以至少应过滤11次才能使产品达到市场要求. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 利用对数函数模型解决应用问题 （1）列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； （2）利用指对互化转化为对数函数y＝logax； （3）代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算. 数学·必修第一册 目 录 训练3　某种动物的数量y（单位：只）与时间x（单位：年）的函数关系 式为y＝alog2（x＋1），若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量 为（　　） A. 300只 B. 400只 C. 500只 D. 600只 解析：由题意，知100＝alog2（1＋1），得a＝100，则当x＝7时，y ＝100log2（7＋1）＝100×3＝300. √ 数学·必修第一册 目 录 1. 已知对数函数的图象过点M（9，－2），则此对数函数的解析式为 （　　） A. y＝log2x B. y＝log3x C. y＝lo x D. y＝lo x 解析：　设函数f（x）＝logax（x＞0，a＞0且a≠1），∵对数函数的 图象过点M（9，－2），∴－2＝loga9，∴a－2＝9，a＞0，解得a＝ . ∴此对数函数的解析式为y＝lo x.故选C. √ 数学·必修第一册 目 录 2. 已知函数y＝f（x）为对数函数，f ＝－2，则f（ ）＝（　　） A. 2 B. C. D. 解析：　设f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），则loga ＝－2，∴ ＝ ，即a＝ ，∴f（x）＝lo x，∴f（ ）＝lo ＝log2 （ ）2＝log2 ＝ .故选D. √ 数学·必修第一册 目 录 3. 若函数f（x）＝（a2＋a－5）logax为对数函数，则f ＝ ⁠. 解析：由a2＋a－5＝1，解得a＝2或a＝－3，又因a＞0，所以a＝2，所 以f（x）＝log2x，f ＝log2 ＝－3. 4. 函数y＝log（x－1）（3－x）的定义域为 ⁠. 解析：要使函数式有意义，需 解得1＜x＜3，且x≠2. 故函数y＝log（x－1）（3－x）的定义域是{x｜1＜x＜3，且x≠2}. －3 {x｜1＜x＜3，且x≠2} 数学·必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）对数函数的概念和定义域； （2）对数函数模型的简单应用. 2.应体会 利用待定系数法求对数函数的解析式；求对数型函数的定义域问题通常 转化为不等式的解集问题，体现了转化与化归思想. 3.避易错 易忽视对数函数底数有限制条件. 数学·必修第一册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 函数f（x）＝lg（x－1）＋ 的定义域为 （　　） A. （1，4] B. （1，4） C. [1，4] D. [1，4） 解析：由题意得 所以1＜x≤4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第一册 目 录 2. 若函数f（x）＝loga（x＋1）（a＞0，a≠1）的图象过点（7，3）， 则a＝（　　） A. B. 2 C. D. 解析：由题意得3＝loga（7＋1），可得a3＝8，则a＝2.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 3. 下列函数为同一个函数的是（　　） A. y＝log3x2与y＝2log3x B. y＝lg 10x与y＝10lg x C. y＝log3x2与y＝2log3｜x｜ D. y＝lg x与y＝ln x 解析：由函数的三要素可知，只有C成立. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 4. 设函数f（x）＝ 则f（f（10））＝（　　） A. lg 101 B. 1 C. 2 D. 0 解析：f（f（10））＝f（lg 10）＝f（1）＝12＋1＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 5. 我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农 （Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道 中，计算最大信息传送速率C的公式C＝W·log2 ，其中W是信道 带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（瓦），N是信道内部的 高斯噪声功率（瓦），其中 叫做信噪比.根据此公式，在不改变W的前提 下，将信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，则λ的值大约为 （参考数据：100.2≈1.58）（　　） A. 1 559 B. 3 943 C. 1 579 D. 2 512 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：　由题意得 ≈60%，则 ≈1.6，1＋λ≈1001.6＝103.2＝103×100.2≈1 580，∴λ≈1 579. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 6. 〔多选〕函数y＝log（a－2）[（5－a）x]的定义域为{x｜x＞0}，则实 数a的值可能是（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 √ √ 解析：由题意可知， 即 因此2＜a＜5且a≠3. 故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 7. 函数f（x）＝（m－1）logax（a＞0，且a≠1）是对数函数，且过点 （4，2），则f（m）＝ ⁠. 解析：由题意m＝2.又2＝loga4，故a＝2，因此f（x）＝log2x.所以f （m）＝f（2）＝log22＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 8. 设f（x）是对数函数，且f（ ）＝－ ，那么f（ ）＝ 　－ 　. 解析：设f（x）＝logax（a＞0且a≠1）.由f（ ）＝－ ，解得a＝ ，∴f（x）＝lo x.∴f（ ）＝lo ＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 9. 某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为 x万元时，奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员 要得到5万元奖励，则他的销售额应为 万元. 解析：由题意得5＝2log4x－2，即7＝log2x，得x＝128. 128 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 10. 设函数f（x）＝lg ，a∈R，若当x∈（－∞，1）时，f （x）都有意义，求实数a的取值范围. 解：f（x）＝lg ＝lg（4x＋2x＋a）， 依题意，4x＋2x＋a＞0在x∈（－∞，1）上恒成立， 即a＞－（4x＋2x）对任意x∈（－∞，1）都成立， 令t＝2x，x∈（－∞，1），则t∈（0，2）， 易知y＝－t2－t＝－ ＋ 在（0，2）上单调递减， ∴－t2－t∈（－6，0），∴a≥0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 11. 设函数f（u）＝log2u的定义域为（0，1），则函数f（ex）的定义域 为（　　） A. （0，1） B. （－1，0） C. （0，＋∞） D. （－∞，0） 解析：函数f（u）的定义域为（0，1），即u∈（0，1），所以0＜ex ＜1，解得x∈（－∞，0），故函数f（ex）的定义域为（－∞，0）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 12. 〔多选〕下列点中，既在指数函数y＝ax的图象上，也在对数函数y＝ logax的图象上的点是（　　） A. （1，1） B. （2，2） C. （2，4） D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：对于A，y＝ax和y＝logax的图象不过点（1，1），不符合题意；对于B，若点（2，2）在函数y＝ax图象上，解得a＝ ，此时对数函数y＝log x也过点（2，2），所以符合题意；对于C，若点（2，4）在函数y＝ax图象上，解得a＝2，此时对数函数y＝log2x不过点（2，4），不符合题意；对于D，若点 在函数y＝ax图象上，解得a＝ ，此时对数函数y＝lo x也过点 ，所以符合题意.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 13. 已知函数y＝lg（x2＋2x＋a）的定义域为R，则实数a的取值范围 为 ⁠. 解析：因为y＝lg（x2＋2x＋a）的定义域为R，所以x2＋2x＋a＞0恒成 立，所以Δ＝4－4a＜0，所以a＞1.故实数a的取值范围是（1，＋∞）. （1，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 14. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为V （m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q（Q＞0），研究中发现V与log3 成正比，且当Q＝900时，V＝1. （1）求出V关于Q的函数解析式； 解：设V＝k·log3 （Q＞0）， 因为当Q＝900时，V＝1， 所以1＝k·log3 ， 所以k＝ ，所以V关于Q的函数解析式为V＝ log3 （Q＞0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数. 解：令V＝1.5，则1.5＝ log3 ，所以Q＝2 700， 即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 15. 国际视力表值（又叫小数视力值，用V表示，范围是[0.1，1.5]）和 我国现行视力表值（又叫对数视力值，由缪天荣创立，用L表示，范围是 [4.0，5.2]）的换算关系式为L＝5.0＋lg V. （1）请根据此关系式将下面视力对照表补充完整； V 1.5 ② 0.4 ④ L ① 5.0 ③ 4.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解：因为5.0＋lg 1.5＝5.0＋lg ＝5.0＋lg ＝5.0＋lg 3－lg 2≈5.0 ＋0.477 1－0.301 0≈5.2，所以①应填5.2； 因为5.0＝5.0＋lg V，所以V＝1，②处应填1.0； 因为5.0＋lg 0.4＝5.0＋lg ＝5.0＋lg 4－1＝5.0＋2lg 2－1≈5.0＋ 2×0.301 0－1≈4.6，所以③处应填4.6； 因为4.0＝5.0＋lg V，所以lg V＝－1.所以V＝0.1.所以④处应填0.1. 视力对照表补充完整如表： V 1.5 1.0 0.4 0.1 L 5.2 5.0 4.6 4.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视 力值是甲的2倍，求乙的对数视力值.（所求值均精确到小数点后面一位 数，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1） 解：先将甲的对数视力值换算成小数视力值， 则有4.5＝5.0＋lg V甲，所以V甲＝10－0.5， 则V乙＝2×10－0.5. 所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg（2×10－0.5）＝5.0＋lg 2－0.5≈5.0＋ 0.301 0－0.5≈4.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $