4.2.1 指数函数的概念（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、解析式求法及实际应用模型，通过“求职薪资增长”情景导入，从折叠报纸等实例抽象定义，经判断辨析、待定系数法求解析式，到细菌繁殖等实际应用，构建“具体-抽象-应用”的学习支架。 其亮点在于以数学抽象提炼概念本质，通过细菌繁殖、粮食人均占有等案例发展数学建模与运算能力，分层例题与规律总结助学生掌握判断及求解方法。学生能提升数学思维，教师可高效开展教学。

4.2.1　指数函数的概念 1 1. 理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性（数学抽象）. 2. 了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用（数学运算、数学建模）. 课标要求 　　话说一个毕业生去求职，当和老板讨论薪资的时候，他说：“老板，不如这样吧，我第一个月只要1元，第二个月要2元，第三个月要4元，这样以后每个月的薪资都是前一个月薪资的2倍，老板你看怎么样？”老板一听，这不多呀，当即拍板说：“好，就按你说的办，我们先签个3年的合同吧”，大家猜一下，第12个月，他能获得多少工资？第24个月，他能获得多少工资？估计这个老板肠子都悔青了，这就是我们今天要学习的指数函数. 情景导入 知识点一　指数函数的概念 01 知识点二　求指数函数的解析式或值 02 知识点三　指数型函数模型的实际应用 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 指数函数的概念 01 PART 目 录 问题　（1）拿一张报纸，将这张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数 y之间、折叠次数x与对折后的面积S（设原面积为1）之间的对应关系是 什么？ 提示：第x次折叠后对应的层数y＝2x（x∈N*），对折后的面积S＝ （x∈N*）. （2）上述两个函数关系式共同点是什么？ 提示：两函数关系式都是指数的形式，自变量x在指数位置，底数是常数. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 　一般地，函数y＝ （a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x 是 ，定义域是 ⁠. 　　提醒：指数函数结构的三个特征 ax　 自变量　 R　 数学·必修第一册 目 录 ①y＝2·（ ）x；②y＝ ；③y＝ ； 解析：①中指数式（ ）x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1 ＝ ·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；③是指数函数. （2）已知函数f（x）＝（2a－1）x是指数函数，则实数a的取值范围 是 ⁠. 【例1】　（1）下列函数中是指数函数的是 （填序号）. ③　 解析：由题意可知 解得a＞ ，且a≠1，所以实数a的取值 范围是 ∪（1，＋∞）. ∪（1，＋∞） 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 判断一个函数是否为指数函数的方法 （1）看形式：判断其解析式是否符合y＝ax（a＞0，且a≠1）这一结构 特征； （2）明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特 征不具备，该函数就不是指数函数. 数学·必修第一册 目 录 训练1　（1）下列各函数中，是指数函数的为（　D　） A. y＝x3 B. y＝（－4）x C. y＝ D. y＝5x 解析：A中，自变量出现在底数上，故不是指数函数；B中，自变量出现在 指数上，但－4＜0，不满足“底数大于0且不等于1”的条件，故不是指数 函数；C中，指数是x＋1，故不是指数函数；D中，y＝5x符合指数函数的 定义，故是指数函数.故选D. D 数学·必修第一册 目 录 解析：由指数函数的定义得 解得a＝2. （2）若y＝（a2－3a＋3）ax是指数函数，则有（　B　） A. a＝1 B. a＝2 C. a＝3 D. a＞0且a≠1 B 数学·必修第一册 目 录 知识点二 求指数函数的解析式或值 02 PART 目 录 【例2】　若函数f（x）＝ ·ax是指数函数，则f ＝（　　） A. 2 B. －2 C. －2 D. 2 解析：　因为函数f（x）是指数函数，所以 所以a＝8， 所以f（x）＝8x，f ＝ ＝2 . √ 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 1. 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析 式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式， 其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. 2. 求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式. 数学·必修第一册 目 录 训练2　已知函数f（x）为指数函数，且f ＝ ，则f（－2） ＝ ⁠. 解析：设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），由f ＝ 得， ＝ ，所 以a＝3，又f（－2）＝a－2，所以f（－2）＝3－2＝ . ​ 数学·必修第一册 目 录 03 PART 知识点三 指数型函数模型的实际应用 目 录 【例3】　（1）某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细 菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间（单位：小时），y表 示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为（　B　） A. 640 B. 1 280 C. 2 560 D. 5 120 解析：依题意，2＝ek，则y＝10ekt＝10×2t.∴当t＝7时，y＝10×27＝ 1 280. B 数学·必修第一册 目 录 （2）近年来，我国加大了对农业的投入，粮食连年丰收.某地区现在人均 一年占有粮食360 kg，在一定时期内，如果该地区人口平均每年增长 1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有粮食y kg，则y关于x的函数解析式是 ⁠. y＝360× （x∈N*） 数学·必修第一册 目 录 解析：设该地区现在人口数量为M，则该地区现在一年的粮食总产量为 360M kg.1年后，该地区粮食总产量为360M（1＋4%）kg，人口数量为M （1＋1.2%），则人均一年占有粮食为 kg，2年后，人均一年 占有粮食为 kg，…，x年后，人均一年占有粮食为 kg，即所求函数解析式为y＝360× （x∈N*）. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 关于函数模型y＝kax的构建与求解 （1）函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的 函数模型，一般当k＞0时，若a＞1，则刻画指数增长变化规律；若0＜a ＜1，则刻画指数衰减变化规律； （2）解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数 后，利用指数运算解题. 数学·必修第一册 目 录 训练3　随着我国经济的不断发展，2021年年底某地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增 长，那么2028年年底该地区的农民人均年收入为（　　） A. 3 000×1.06×7元 B. 3 000×1.067元 C. 3 000×1.06×8元 D. 3 000×1.068元 解析：　设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，根据题意可得y ＝3 000×1.06x，从2021到2028年共经过了7年，所以2028年年底该地区的 农民人均年收入为3 000×1.067元. √ 数学·必修第一册 目 录 1. 下列各函数中，是指数函数的是（　　） A. y＝（－3）x B. y＝－3x C. y＝3x－1 D. y＝ 解析：根据指数函数的定义知，D正确. √ 数学·必修第一册 目 录 2. 函数y＝（a－2）ax是指数函数，则（　　） A. a＝1 B. a＝2 C. a＝3 D. a＞0且a≠1 解析：由题意得 解得a＝3. √ 数学·必修第一册 目 录 3. 若指数函数f（x）的图象过点（3，8），则f（x）的解析式为 （　　） A. f（x）＝x3 B. f（x）＝2x C. f（x）＝ D. f（x）＝ 解析：　设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），则由f（3）＝8得a3＝8，∴a ＝2，∴f（x）＝2x. √ 数学·必修第一册 目 录 4. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达 到了危险状态，经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度 为64 ppm（ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一），再过4分钟测得浓 度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t （分钟）之间满足函数关系y＝c （c，m为常数），则c ＝ ，m＝ ⁠. 解析：由题意得 解得 128 ​ 数学·必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）指数函数的定义； （2）指数增长型和指数衰减型函数模型. 2.应体会 利用待定系数法求指数函数解析式. 3.避易错 易忽视指数函数的底数a的限制条件：a＞0且a≠1. 数学·必修第一册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 下列函数是指数函数的是（　　） A. y＝ B. y＝（－8）x C. y＝ D. y＝x2 解析：　对于A，函数y＝ 中，a＝ ＞1，是指数函数；对于B，函 数y＝（－8）x中，a＝－8＜0，不是指数函数；对于C，函数y＝ ＝ 2·2x，不是指数函数；对于D，函数y＝x2，是幂函数，不是指数函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第一册 目 录 2. 指数函数y＝f（x）的图象经过点 ，那么f（4）·f（2）＝ （　　） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 解析：　由指数函数y＝f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点 ，可得a－2＝ ，解得a＝2，函数的解析式为y＝2x，f（4）·f （2）＝24·22＝64.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 3. 函数f（x）＝（2a－3）ax是指数函数，则f（1）＝（　　） A. 8 B. C. 4 D. 2 解析：　∵函数f（x）＝（2a－3）ax是指数函数，∴ 解 得a＝2.∴f（x）＝2x，∴f（1）＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 4. 一种产品的成本是a元，今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降 低p%，成本y是经过年数x（0＜x＜m）的函数，其关系式是（　　） A. y＝a（1＋p%）x（0＜x＜m） B. y＝a（1－p%）x（0＜x＜m） C. y＝a（p%）x（0＜x＜m） D. y＝a－（p%）x（0＜x＜m） 解析：∵产品的成本是a元，1年后，成本为a－p%·a＝a（1－p%）；2年后，成本为a（1－p%）－a（1－p%）·p%＝a（1－p%）2，…，∴x年后，成本y＝a（1－p%）x（0＜x＜m）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 5. 〔多选〕已知指数函数f（x）满足f ＝ ，则下列结论中正确的 是（　　） A. f（x）＝5x B. f（x）＝5－x C. f（－1）＝ D. 5f（1）＝f（2） 解析：设指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），由题意得， ＝ ＝ ，所以a＝5，所以f（x）＝5x，故A中结论正确，B中结论错误；因为f（－1）＝5－1＝ ，所以C中结论正确；因为5f（1）＝5×51＝25＝52＝f（2），所以D中结论正确.故选A、C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 6. 〔多选〕设指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），则下列等式中正 确的是（　　） A. f（x＋y）＝f（x）f（y） B. f（x－y）＝ C. f ＝f（x）－f（y） D. f（nx）＝[f（x）]n（n∈Q） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：f（x＋y）＝ ＝axay＝f（x）·f（y），故A中的等式正确；f（x－y）＝ ＝ax ＝ ＝ ，故B中的等式正确；f ＝ ＝（ax ，f（x）－f（y）＝ax－ay≠（ax ，故C中的等式错误；f（nx）＝anx＝（ax）n＝[f（x）]n，故D中的等式正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 7. 若指数函数f（x）的图象与幂函数g（x）的图象相交于一点（2， 4），则f（x）＝ ，g（x）＝ ⁠. 解析：设指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），幂函数g（x）＝xα，将 （2，4）代入两个解析式得4＝a2，4＝2α，解得a＝2，α＝2，故f（x）＝ 2x，g（x）＝x2. 2x x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 8. 某钢厂的年产量由2012年的40万吨增加到2022年的50万吨，若按照这样 的年增长率计算，则该钢厂2032年的年产量约为 万吨（结果保留整 数）. 解析：设年增长率为x，根据题意得40（1＋x）10＝50，解得（1＋x）10 ＝ .若按照这样的年增长率计算，则该钢厂2032年的年产量约为40（1＋ x）20＝40× ＝62.5≈63（万吨）. 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 9. 某种细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），则 这种细胞由1个分裂成4 096个需经过 小时. 解析：因为1个细胞分裂一次时变为21个细胞，分裂2次时变为2×2＝22个 细胞，分裂3次时变为2×2×2＝23个细胞……所以当分裂n次时变为2n个 细胞，故可得出2n＝4 096.因为212＝4 096，所以n＝12，因为细胞15分钟 分裂一次，所以细胞分裂12次所需的时间为12×15＝180分钟＝3小时.故 这种细胞由1个分裂成4 096个需经过3小时. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 10. 一种占据内存的计算机病毒A，能在短时间内感染大量文件，使每个 文件都不同程度地加长，占据磁盘空间，这种病毒开机时占据内存2 KB， 每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分钟后的病毒所占内存为y KB. 如果病毒占据内存不超过1 GB（1 GB＝210 MB，1 MB＝210 KB）时，计算 机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解：因为这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来 的2倍. 所以x分钟后的病毒所占内存为 ，得y＝ （x∈R＋）， 因为病毒所占据内存不超过1 GB时，计算机能够正常使用，故有 ≤220，解得x≤95. 所以本次开机计算机能正常使用的时长为95分钟. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 11. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x－3，则f （－1）＝（　　） A. 1 B. －1 C. D. － 解析：因为x＞0时，f（x）＝2x－3，且函数f（x）为奇函数，所以 f（－1）＝－f（1）＝－（21－3）＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 12. 据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了 5%，如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2010年起，经 过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是（　　） A. y＝0.9 ·m B. y＝ ·m C. y＝0.9550－x·m D. y＝（1－0.0550－x）·m 解析：设每年减少的百分比为a，由在50年内减少了5%，得（1－a）50＝1－5%＝95%，即a＝1－（95% .所以经过x年后，y与x的函数关系式为y＝m·（1－a）x＝m·（95% ＝ ·m.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 13. 已知函数y＝f（x），x∈R，且f（0）＝2， ＝2， ＝2，…， ＝2，n∈N，则函数y＝f（x）的一个可能的解析 式为 ⁠. 解析：由题意，得 ＝4， ＝42，…， ＝4x，∴f（x） ＝2×4x. f（x）＝2×4x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 14. 已知函数f（x）＝（a2＋a－5）ax是指数函数. （1）求f（x）的表达式； 解：由a2＋a－5＝1，a＞0，且a≠1， 可得a＝2或a＝－3（舍去），所以f（x）＝2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）判断F（x）＝ 的奇偶性，并加以证明. 解：F（x）＝ 是奇函数. 证明如下：F（x）的定义域是R，关于原点对称，且F（x）＝f（x）－ ＝2x－ ＝2x－2－x， 又因F（－x）＝2－x－2x＝－（2x－2－x）＝－F（x）， 所以F（x）是奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 15. 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x 的关系式为y＝kerx（k，r为常数）.若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约 是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保 鲜时间是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解：因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx（k，r为常数）， 所以 解得 所以y＝100（ ）x， 所以当x＝10时，y＝100×（ ）10＝64， 所以在10 ℃的冰箱中的保鲜时间为64 h. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $