3.2.2 第2课时 函数奇偶性的应用（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的应用，涵盖利用奇偶性求解析式、结合单调性比较大小和解不等式三大核心知识点，通过定义法、方程组法等例题解析，衔接已学奇偶性定义与单调性知识，搭建从基础到综合问题的学习支架。 其亮点在于突出逻辑推理与数学运算素养，如通过例4将不等式转化为函数值比较，结合规律方法总结（如求解析式步骤）和课堂小结的易错点提醒，培养转化思想。分层作业（基础、综合、拓展）助力教师分层教学，帮助学生提升解题能力和思维严谨性。

第二课时　函数奇偶性的应用 1 1.会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式（逻辑推理）. 2.能利用函数的奇偶性与单调性，解决较简单的综合问题（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 知识点一　利用函数的奇偶性求解析式 01 知识点二　利用函数的单调性和奇偶性比较大小 02 知识点三　利用函数的单调性和奇偶性解不等式 03 目录 课时作业 04 3 知识点一 利用函数的奇偶性求解析式 01 PART 目 录 角度1　定义法求函数解析式 【例1】　若f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2－2x ＋3，求f（x）的解析式. 解：设x＜0，则－x＞0，f（－x）＝（－x）2－2（－x）＋3＝x2＋2x ＋3，由于f（x）是奇函数，故f（x）＝－f（－x），所以f（x）＝－x2 －2x－3.即当x＜0时，f（x）＝－x2－2x－3.又因为f（x）是定义在R 上的奇函数，所以f（0）＝0. 故f（x）＝ 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 利用函数奇偶性的定义求解析式的一般步骤 （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； （2）利用已知区间的解析式进行代入； （3）利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）. 　　提醒：注意f（x）定义域内含0时，解析式的特殊表示. 数学·必修第一册 目 录 角度2　方程组法求函数解析式 【例2】　设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝ ，求函数f（x）、g（x）的解析式. 数学·必修第一册 目 录 解：∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数， ∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x）. 由f（x）＋g（x）＝ ，　① 用－x代替x得f（－x）＋g（－x）＝ ， ∴f（x）－g（x）＝ ，　② （①＋②）÷2，得f（x）＝ . （①－②）÷2，得g（x）＝ . 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 方程组法求函数解析式的技巧 　　已知函数f（x），g（x）的组合运算解析式与奇偶性，则把x换为 －x，构造方程组求解. 数学·必修第一册 目 录 训练1　（1）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝1，当x＜ 0时，f（x）＝x＋1，求函数f（x）的解析式； 解：设x＞0，则－x＜0， 则f（－x）＝－x＋1. 又f（x）是R上的偶函数， ∴f（x）＝f（－x）＝－x＋1. 又∵f（0）＝1， 综上可知f（x）＝ 数学·必修第一册 目 录 （2）设f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）＋2g（x）＝2x2 ＋x－2，求f（x）和g（x）的表达式. 解：∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数， ∴f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x）， 由f（x）＋2g（x）＝2x2＋x－2，　① 用－x代替上式中的x，得 f（－x）＋2g（－x）＝2（－x）2＋（－x）－2， 即－f（x）＋2g（x）＝2x2－x－2，　② ①②联立，得f（x）＝x，g（x）＝x2－1. 数学·必修第一册 目 录 知识点二 利用函数的单调性和奇偶性比较大小 02 PART 目 录 【例3】　设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单 调递增，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（　　） A. f（π）＞f（－3）＞f（－2） B. f（π）＞f（－2）＞f（－3） C. f（π）＜f（－3）＜f（－2） D. f（π）＜f（－2）＜f（－3） √ 数学·必修第一册 目 录 解析：由偶函数与单调性的关系知，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则x∈（－∞，0）时，f（x）单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵｜－2｜＜｜－3｜＜π，∴f（π）＞f（－3）＞f（－2）. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 比较函数值大小的求解策略 　　奇函数在对称区间上单调性一致（相同）；偶函数在对称区间上单调 性相反. （1）若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； （2）若自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化 到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 数学·必修第一册 目 录 训练2　已知f（x）是奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，则f（－ 0.5），f（1），f（2）的大小关系是（　　） A. f（－0.5）＜f（2）＜f（1） B. f（－0.5）＜f（1）＜f（2） C. f（2）＜f（－0.5）＜f（1） D. f（1）＜f（2）＜f（－0.5） 解析：　∵函数f（x）为奇函数，且f（x）在区间[0，＋∞）上单调递 增，∴f（x）在R上为增函数，∴f（－0.5）＜f（1）＜f（2）. √ 数学·必修第一册 目 录 03 PART 知识点三 利用函数的单调性和奇偶性解不等式 目 录 【例4】　已知函数f（x）是奇函数，其定义域为（－1，1），且在[0， 1）上单调递增.若f（a－2）＋f（3－2a）＜0，试求a的取值范围. 解：∵f（a－2）＋f（3－2a）＜0， ∴f（a－2）＜－f（3－2a）. ∵f（x）为奇函数， ∴－f（3－2a）＝f（2a－3）， ∴f（a－2）＜f（2a－3）. ∵f（x）在[0，1）上单调递增， ∴f（x）在（－1，1）上为增函数， ∴ 解得1＜a＜2. 故实数a的取值范围为（1，2）. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 利用单调性和奇偶性解不等式的方法 （1）充分利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f （x1）＞f（x2）或f（x1）＜f（x2）的形式，再利用单调性脱掉“f”求 解； （2）在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反， 列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参 数的影响. 数学·必修第一册 目 录 训练3　已知定义在[－2，2]上的函数f（x）在[0，2]上单调递减，且f （1－m）＜f（m）. （1）若f（x）是奇函数，求m的取值范围； 解：若f（x）是奇函数，则f（x）在[－2，2]上单调递减，由f（1－ m）＜f（m）得 解得m∈ ，故m的取值范围为 . 数学·必修第一册 目 录 （2）若f（x）是偶函数，求m的取值范围. 解：若f（x）是偶函数，因为f（x）在[0，2]上单调递减，故在[－2， 0）上单调递增， 由f（1－m）＜f（m）得f（｜1－m｜）＜f（｜m｜）， 故 解得m∈ ， 故m的取值范围为 . 数学·必修第一册 目 录 1. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x＋2，则 当x＜0时，f（x）＝（　　） A. －x－2 B. －x＋2 C. x－2 D. x＋2 解析：　∵当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝－x＋2，∴f（x）＝－f （－x）＝x－2，故选C. √ 数学·必修第一册 目 录 2. 定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，若f（a）＜f （b），则一定可得（　　） A. a＜b B. a＞b C. ｜a｜＜｜b｜ D. 0≤a＜b或a＞b≥0 解析：　∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递增，∴由f （a）＜f（b）可得｜a｜＜｜b｜. √ 数学·必修第一册 目 录 3. 已知f（x）＝ 是奇函数，则f（g（－3））＝ ⁠ ⁠. 解析：因为函数f（x）是奇函数，所以f（－3）＝g（－3）＝－f（3） ＝－6，所以f（g（－3））＝f（－6）＝－f（6）＝－33. －33 数学·必修第一册 目 录 4. 已知函数f（x）为（－10，0）∪（0，10）上的偶函数，且当x∈（－ 10，0）时，f（x）＝x（x－1），则f（x）的解析式为 ⁠ ⁠. 解析：当x∈（0，10）时，－x∈（－10，0），则f（－x）＝－x（－x －1）＝x（x＋1），因为函数f（x）为定义域为（－10，0）∪（0， 10）上的偶函数，故当x∈（0，10）时，f（x）＝f（－x）＝x（x＋ 1），故f（x）的解析式为f（x）＝ f（x）＝ 数学·必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）利用奇偶性求函数的解析式； （2）利用奇偶性和单调性比较大小； （3）利用奇偶性和单调性解不等式. 2.应体会 转化与化归思想、数形结合思想. 3.避易错 （1）解不等式易忽视函数的定义域； （2）利用函数的奇偶性求解析式时，转化混乱导致求解错误. 数学·必修第一册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 下列四个函数中是偶函数，且在（－∞，0）上单调递减的是（　　） A. f（x）＝－｜x｜ B. f（x）＝ C. f（x）＝1－x2 D. f（x）＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第一册 目 录 解析：　对于A，f（x）＝－｜x｜，x∈R，f（－x）＝－｜－x｜＝ －｜x｜＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝x，在 （－∞，0）上单调递增，不符合题意；对于B，f（x）＝ ，定义域为 {x｜x≠0}，f（－x）＝－ ＝－f（x），为奇函数，不符合题意；对于 C，f（x）＝1－x2，x∈R，f（－x）＝1－（－x）2＝1－x2＝f（x）， 所以f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝1－x2，在（－∞，0）上单 调递增，不符合题意；对于D，f（x）＝－ ，定义域为{x｜x≠0}，f（－x）＝－ ＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝ ，在（－∞，0）上单调递减，符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 2. 设函数f（x）＝ 若f（x）是奇函数，则g（－1） ＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 解析：由已知可得g（－1）＝f（－1）＝－f（1）＝－（1－2）＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 3. 已知函数f（x）＝ 为奇函数，则3a＋2b＝（　　） A. －1 B. 1 C. 0 D. 2 解析：　当x＜0时，－x＞0，∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f （x）.即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1.故3a＋2b＝－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 4. 已知函数f（x）是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递减，则 下列结论正确的是（　　） A. f（3）＜f（－1）＜f（2） B. f（3）＜f（2）＜f（－1） C. f（－1）＜f（2）＜f（3） D. f（2）＜f（－1）＜f（3） 解析：　因为f（x）是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递 减，则f（x）在（－∞，0]上也单调递减，所以f（x）在R上为减函数， 因为－1＜0＜2＜3，所以f（3）＜f（2）＜f（－1）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 5. 已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1） ＜f（1）的x的取值范围是（　　） A. （－1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （－1，1） 解析：　首先函数定义域是R，再者根据f（2x－1）＜f（1）和偶函数f （x）在区间[0，＋∞）上单调递增，可得｜2x－1｜＜1，解得0＜x＜1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 6. 〔多选〕一个偶函数定义在区间[－7，7]上，它在[0，7]上的图象如图 所示，下列说法正确的是（　　） A. 这个函数有三个单调递增区间 B. 这个函数有两个单调递减区间 C. 这个函数在其定义域内有最大值7 D. 这个函数在其定义域内有最小值－7 √ √ 解析：AC　根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性， 作出函数在[－7，0]上的图象，如图所示，可知这个函数 有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域 内有最大值7，在其定义域内的最小值不是－7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 7. 〔多选〕函数y＝f（x）是R上的奇函数，当x＞0时f（x）＝x2－2x －3，则下列说法正确的是（　　） A. x＜0时f（x）＝x2＋2x＋3 B. f（0）＝－3 C. x＜0时f（x）＝－x2－2x＋3 D. f（－2）＝3 解析：当x＝0时，f（0）＝0，选项B错误；函数y＝f（x）是R上的奇函数，故f（－x）＝－f（x）.当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝x2＋2x－3＝－f（x），故f（x）＝－x2－2x＋3，故C正确，A错误；又x＝－2＜0，故f（－2）＝－4＋4＋3＝3，故D正确.故选C、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 8. 若二次函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞，0]上单调递减， 且f（2）＝0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是 ⁠. 解析：由题意知，画出函数f（x）的草图如图所示，所以使得f（x）＜0的x的取值范围是（－2，2）. （－2，2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 9. 已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋x －2，则f（x）＝ ，g（x）＝ ⁠. 解析：f（－x）＋g（－x）＝x2－x－2，由f（x）是偶函数，g（x） 是奇函数得，f（x）－g（x）＝x2－x－2，又f（x）＋g（x）＝x2＋x －2，两式联立得f（x）＝x2－2，g（x）＝x. x2－2 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 10. 设定义在[－2，2]上的奇函数f（x）＝x5＋x3＋b. （1）求b的值； 解：因为函数f（x）是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f（0）＝ 0，解得b＝0（经检验符合题意）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）若f（x）在[0，2]上单调递增，且f（m）＋f（m－1）＞0，求实 数m的取值范围. 解：因为函数f（x）在[0，2]上单调递增，又f（x）是奇函数，所以f（x）在[－2，2]上是增函数. 因为f（m）＋f（m－1）＞0， 所以f（m－1）＞－f（m）＝f（－m）， 所以m－1＞－m，　① 又需要不等式f（m）＋f（m－1）＞0在函数f（x）定义域内有意义， 所以 　② 解①②得 ＜m≤2， 所以m的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 11. 若奇函数f（x）在（－∞，0）上的解析式为f（x）＝x（1＋x）， 则f（x）在（0，＋∞）上有（　　） A. 最大值－ B. 最大值 C. 最小值－ D. 最小值 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：　法一（奇函数的图象特征）　当x＜0时，f（x）＝x2＋x＝ － ，所以f（x）有最小值－ ，因为f（x）是奇函数，所以当x ＞0时，f（x）有最大值 . 法二（直接法）　当x＞0时，－x＜0，所以f（－x）＝－x（1－x）.又 f（－x）＝－f（x），所以f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x＝－ ＋ ，所以f（x）有最大值 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 12. 设函数f（x）＝ 是奇函数，则实数a的值为 （　　） A. 0 B. 1 C. －1 D. ±1 解析：　f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x2－x， 所以当x＜0时，－x＞0，f（x）＝－f（－x）＝－[2×（－x）2－（－ x）]＝－2x2－x，所以a＝－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 13. 设奇函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（1）＝0，则不等式 ＜0的解集为 　 　 . （－∞，－1）∪（1， ＋∞） 解析：因为f（x）为奇函数， ＜0，即 ＜0，因为f （x）在（0，＋∞）上单调递减且f（1）＝0，所以当x＞1时，f（x）＜ 0.因为奇函数图象关于原点对称，所以在（－∞，0）上f（x）单调递减 且f（－1）＝0，即x＜－1时，f（x）＞0.综上使 ＜0的解集 为（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 14. 已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（－4，4），且在 （－4，0]上的图象如图所示，求关于x的不等式f（x）g（x）＜0的解 集. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解：设h（x）＝f（x）g（x）， 则h（－x）＝f（－x）g（－x）＝－f（x）·g（x）＝－h（x）， 所以h（x）是奇函数， 由图象可知，当－4＜x＜－2时， f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＜0， 当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0， 所以h（x）＜0的解集为（－4，－2）∪（0，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 15. 已知f（x）是定义在[－1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a， b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，则有 ＞0成立. （1）判断f（x）在[－1，1]上的单调性，并证明； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解：f（x）在[－1，1]上单调递增.证明如下： 任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，则－x2∈[－1，1]. ∵f（x）为奇函数， ∴f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝ ·（x1－x2）. 由已知得 ＞0，又x1－x2＜0， ∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）. ∴f（x）在[－1，1]上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）解不等式：f ＜f . 解：∵f（x）在[－1，1]上单调递增， ∴ ∴－ ≤x＜－1. 故原不等式的解集为{x｜－ ≤x＜－1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $