2.1.2 等式性质与不等式性质（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦等式性质与不等式性质，通过“甲比乙高”“糖水变甜”等现实情境问题导入，衔接等式性质复习，逐步过渡到不等式性质探究，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以“糖水不等式”等生活实例抽象数学关系，培养数学眼光，通过逻辑推理证明不等式、求代数式范围，发展数学思维，用符号语言规范表达，强化数学语言。例题典型且规律方法清晰，助力学生理解应用，也为教师提供结构化教学资源。

第二课时　等式性质与不等式性质 1 知识点一　等式的性质 01 知识点二　不等式的性质 02 提能点　利用不等式的性质求代数式的范围 04 目录 课时作业 05 知识点三　利用不等式的性质证明不等式 03 2 知识点一 等式的性质 01 PART 目 录 【知识梳理】 性质 别名 内容 1 对称性 如果a＝b，那么b＝a 2 传递性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 3 同加（减）性 如果a＝b，那么a±c＝b±c 4 同乘性 如果a＝b，那么ac＝bc 5 同除性 如果a＝b，c≠0，那么 ＝ 　　提醒：（1）性质1，2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递 性；（2）性质3，4，5反映了等式在运算中保持的不变性. 数学·必修第一册 目 录 训练1　（1）〔多选〕若ma＝mb，则下列等式一定成立的是 （　BCD　） A. a＝b B. ma－3＝mb－3 C. － ma＝－ mb D. ma＋8＝mb＋8 解析：当m＝0时，a＝b不一定成立；根据等式的性质3可知ma－3＝mb －3，ma＋8＝mb＋8均成立；根据等式的性质4可知，－ ma＝－ mb. BCD 数学·必修第一册 目 录 （2）利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数. ①若2x－3＝－5，则2x＝ ，x＝ ⁠； ②若5x＋2＝2x－4，则3x＝ ，x＝ ⁠. －2 －1 －6 －2 解析：①根据等式的性质3，等式两边同加3，得2x＝－2.再根据等式的性 质5，等式两边同除以2，得x＝－1. ②根据等式的性质3，等式两边同减（2x＋2），得3x＝－6.再根据等式的 性质5，等式两边同除以3，得x＝－2. 数学·必修第一册 目 录 知识点二 不等式的性质 02 PART 目 录 问题　（1）如果甲比乙高，乙比丙高，那么甲与丙谁高？你能提炼出什 么样的不等关系？ 提示：甲比丙高.如果a＞b，b＞c，那么a＞c. （2）若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数一 定比乙班多吗？如何用符号语言表述这种不等关系？ 提示：一定.若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a＞b⇔b ⁠a 可逆 2 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 不可逆 3 可加性 a＞b⇔a＋c b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac bc c的符号 ⇒ac bc ＜　 ＞　 ＞　 ＜　 数学·必修第一册 目 录 性质 别名 性质内容 注意 5 同向可加性 ⇒a＋c b＋d 同向 6 同向同正 可乘性 ⇒ac bd 同向 同正 7 可乘方性 a＞b＞0⇒an bn（n∈N，n≥2） 同正 ＞　 ＞　 ＞　 数学·必修第一册 目 录 【例1】　〔多选〕下列命题中为真命题的是（　　） A. 若a＞b，c＞d则a－d＞b－c B. a2＞b2⇒a＞b＞0 C. 若a＞b，c＞d＞0，则 ＞ D. 若a＞b， ＞ ，则a＞0，b＜0 √ √ 数学·必修第一册 目 录 解析：对于A，由c＞d，则－d＞－c，又因为a＞b，所以a－d＞b－c，故A为真命题；对于B，性质7不具有可逆性，故B为假命题；对于C，取a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1满足a＞b且c＞d＞0，而 ＝－1， ＝－1， ＝ ，故C为假命题；对于D，由 ＞ ，可知 － ＝ ＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0，故D为真命题. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 利用不等式的性质判断命题真假的2种方法 （1）直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性质证 明；对于假命题只需举出一个反例即可； （2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二 是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 数学·必修第一册 目 录 训练2　（1）已知a＞b，则下列关系中正确的是（　A　） A. a－c＞b－c B. ac＞bc C. ｜a｜＞｜b｜ D. a2＞b2 解析：对于A，由a＞b，得a－c＞b－c，故A正确；对于B，当c＝0 时，ac＝bc，故B错误；对于C，D，当a＝－3，b＝－7时，a＞b， 而｜a｜＝3，｜b｜＝7，则｜a｜＜｜b｜，故C错误；a2＝9，b2＝49， 则a2＜b2，故D错误. A 数学·必修第一册 目 录 （2）〔多选〕对于实数a，b，c，下列命题中正确的有（　AD　） A. 若a＞b且ab＞0，则 ＜ B. 若 ＜ 且c＞0，则a＞b C. 若a＞b＞0，c＜d＜0，则 ＞ D. 若a＞b＞0，c＞d＞0，则 ＞ AD 数学·必修第一册 目 录 解析：由ab＞0，得 ＞0.又a＞b，所以 ·a＞ ·b，即 ＜ ，A正 确；取a＝－1，b＝1，c＝1，满足 ＜ 且c＞0，但a＜b，B错误；由c ＜d＜0，得－c＞－d＞0， ＞ ＞0.又a＞b＞0，所以 ＞ ， ＜ ，C错误；因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以 ＞ ＞0，所以 ＞ ，D 正确. 数学·必修第一册 目 录 知识点三 利用不等式的性质证明不等式 03 PART 目 录 【例2】　（链接教材P42例2）已知c＞a＞b＞0，求证： ＞ . 证明：因为a＞b＞0，所以－a＜－b，c－a＜c－b. 因为c＞a＞b＞0，所以0＜c－a＜c－b. 上式两边同乘 ，得 ＞ ＞0. 又因为a＞b＞0，所以 ＞ . 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 （1）利用不等式的性质证明不等式时，一定要在理解的基础上，记准、 记熟不等式的性质并在解题中灵活准确地加以应用； （2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条 件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 数学·必修第一册 目 录 训练3　已知a＞b＞0，求证： ＞ . 证明：∵a＞b＞0，∴ ＞ ＞0.　① 又∵a＞b＞0，两边同乘正数 ，得 ＞ ＞0.　② 由①②得 ＞ . 数学·必修第一册 目 录 04 PART 提能点 利用不等式的性质求代数式的范围 目 录 【例3】　已知1＜a＜6，3＜b＜4，则 的取值范围是 　 ＜ ＜2　，2a －b的取值范围为 ⁠. 解析：因为3＜b＜4，所以 ＜ ＜ ，所以 ＜ ＜2.因为1＜a＜6，3＜b ＜4，所以2＜2a＜12，－4＜－b＜－3，所以2－4＜2a－b＜12－3，即 －2＜2a－b＜9. ＜ ＜2 －2＜2a－b＜9 数学·必修第一册 目 录 变式1　本例条件不变，则－ 的取值范围为 　－8＜－ ＜－1　. 解析：因为1＜a＜6，3＜b＜4，所以 ＜ ＜1，所以 ＜ ＜4，所以－4 ＜－ ＜－ ，所以－8＜－ ＜－1. －8＜－ ＜－1 变式2　若将本例条件变为“2＜a＜7，1＜b＜2”，求2a－b， 的取值 范围. 解：因为2＜a＜7，1＜b＜2，所以4＜2a＜14，－2＜－b＜－1， ＜ ＜1，所以2＜2a－b＜13，1＜ ＜7. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 利用不等式的性质求代数式范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的 性质进行运算，求得待求的范围； （2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价 变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其范围. 数学·必修第一册 目 录 训练4　已知－ ＜β＜α＜ ，求2α－β的取值范围. 解：因为－ ＜α＜ ，－ ＜β＜ ， 所以－ ＜－β＜ ，所以－π＜α－β＜π. 又因为β＜α，所以α－β＞0，所以0＜α－β＜π， 又2α－β＝α＋（α－β），所以－ ＜2α－β＜ π. 数学·必修第一册 目 录 糖水不等式的探究与应用 （链接教材P43习题10题）已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添 加m克糖（m＞0）（假设全部溶解），糖水变甜. 数学·必修第一册 目 录 【问题探究】 试将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 解：已知b＞a＞0，m＞0，则 ＞ （糖水不等式）. 证明如下：法一　 － ＝ ＝ . ∵b＞a，m＞0， ∴b－a＞0， ＞0，即 ＜ . 数学·必修第一册 目 录 法二　要证 ＜ ， 只需证a（b＋m）＜b（a＋m）， 只需证am＜bm， 即证a＜b，由已知条件可得显然成立. 数学·必修第一册 目 录 【拓展延伸】 “糖水不等式”常见变形如下： ①a，b，m都为正实数，且a＞b，则 ＞ ； ②a，b，m都为正实数，且a＜b，则 ＜ ； ③a，b，m都为正实数，且a＜b，a＞m，则 ＜ ； ④a，b，m，n都为正实数，且a＜b，n＜m，则 ＜ ； ⑤a，b，m，n都为正实数，且a＞b，n＜m，则 ＞ ； ⑥a，b，c，d都为正实数，且 ＜ ，则 ＜ . 数学·必修第一册 目 录 【迁移应用】 1. 已知p：m＞n＞0，q： ＞ ，则p是q的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　由糖水不等式得m＞n＞0时， ＞ 成立；反之当n＝0，m ＝1时， ＞ 成立，m＞n＞0不成立.故选B. √ 数学·必修第一册 目 录 2. （链接教材P58复习参考题7题）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小 于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越 大，采光效果越好. （1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220 m2，则这所公寓的窗户 面积至少为多少m2？ 解：设公寓窗户面积为a m2，则地板面积为（220－a）m2.由题意知 ≥10%，解得a≥20.所以这所公寓的窗户面积至少为20 m2. 数学·必修第一册 目 录 （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了 还是坏了？ 解：设窗户面积为a m2，地板面积为b m2，增加的面积为m m2. 因为a，b，m＞0，且a＜b，所以 － ＝ ＝ ＞0，即 ＞ .所以公寓的采光效果变好了. 数学·必修第一册 目 录 1. 与a＞b等价的不等式是（　　） A. ｜a｜＞｜b｜ B. a2＞b2 C. ＞1 D. a3＞b3 解析：　可利用赋值法.令a＝1，b＝－2，满足a＞b，但｜a｜＜｜ b｜，a2＜b2， ＝－ ＜1，故A、B、C都不正确. √ 数学·必修第一册 目 录 2. 〔多选〕已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是（　　） A. ac2＞bc2⇒a＞b B. ＞ ⇒a＞b C. ⇒ ＞ D. ⇒ ＞ 解析：由ac2＞bc2可知c≠0，∴c2＞0，∴a＞b，A成立；当c＜0时，B不成立；ab＜0，a＞b⇒ ＜ ，即 ＞ ，C成立；同理可证D不成立. √ √ 数学·必修第一册 目 录 3. 已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则3x＋2y的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x ＋2y＜18. 4. 已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d. 证明：因为a＞b，c＜d，所以a＞b，－c＞－d.则a－c＞b－d. 1＜3x＋2y＜18 数学·必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）等式的性质； （2）不等式的性质及其应用. 2.应体会 不等式的性质是解不等式或证明不等式的理论依据，变形要等价，条件 要满足. 3.避易错 注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性. 数学·必修第一册 目 录 课时作业 05 PART 目 录 1. 若a＞0，b＜0，且｜a｜＜｜b｜，则a＋b一定是（　　） A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 解析：因为a＞0，b＜0，所以｜a｜＝a，｜b｜＝－b.又因为｜a｜＜｜b｜，所以a＜－b，所以a＋b＜0，所以a＋b一定是负数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第一册 目 录 2. 已知a＜b＜0，则（　　） A. a2＜ab B. ab＜b2 C. a2＜b2 D. a2＞b2 解析：由a＜b＜0，不妨取a＝－2，b＝－1.对于A，a2＝4，ab＝2，故a2＜ab不成立；对于B，b2＝1，ab＝2，故ab＜b2不成立；对于C，a2＝4，b2＝1，故a2＜b2不成立；对于D，因为a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，所以（－a）2＞（－b）2＞0，即a2＞b2.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 3. 若a，b，m都是正数，则不等式 ＞ 成立的条件是（　　） A. a＞b B. b＞a C. a＞m D. m＞b 解析：　 ＞ ⇒ － ＞0⇒ － ＝ ＞0，因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需 b－a＞0，即b＞a. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 4. 下列命题中正确的是（　　） A. 若a＞b，则ac4＞bc4 B. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd C. 若a＞b且k∈N*，则ak＞bk D. 若a＞b＞0，则 ＞ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：　A项，当c4＝0时，ac4＝bc4，故A不正确.B项，当a＝－1，b ＝－2，c＝－3，d＝－4时，满足a＞b，c＞d，但ac＝3，bd＝8，此 时ac＜bd，故B不正确.C项，当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立， 故C不正确.D项，因为a＞b＞0，所以 ＞ ＞0①，又a＞b＞0两边同 乘正数 得 ＞ ＞0②，由①②得 ＞ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 5. 〔多选〕若m＋n＜0，且m＞0，则（　　） A. n＜0 B. －mn＞n2 C. －mn＞m2 D. ｜m｜＞｜n｜ 解析：因为m＋n＜0，且m＞0，所以n＜0，且｜m｜＜｜n｜，A正确，D错误；因为m＋n＜0，所以－m＞n，不等式两边同时乘以n（n＜0）得－mn＜n2，B错误；因为m＋n＜0，所以－m＞n，不等式两边同时乘以－m（m＞0）得m2＜－mn，故－mn＞m2，C正确.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 6. 〔多选〕已知1≤a≤2，3≤b≤5，则（　　） A. 4≤a＋b≤7 B. 2≤b－a≤3 C. 3≤ab≤10 D. ≤ ≤ 解析：因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，故A正确；因为－2≤－a≤－1，所以1≤b－a≤4，故B错误；因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以3≤ab≤10，故C正确；因为 ≤ ≤ ，所以 ≤ ≤ ，故D错误，故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 7. 设x＞1，－1＜y＜0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列为 ⁠ ⁠. 解析：因为－1＜y＜0，所以0＜－y＜1，所以y＜－y，又x＞1，所以y ＜－y＜x. y＜－ y＜x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 8. 不等式a＞b和 ＞ 同时成立的条件是 ⁠. 解析：∵ － ＝ ，∴a＞b和 ＞ 同时成立的条件是a＞0＞b. a＞0＞b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 9. 若a，b都是实数，则“ － ＞0”是“a2－b2＞0”的 ⁠ 条件. 解析：∵ － ＞0，∴ ＞ ，∴（ ）2＞（ ）2，∴a＞b＞ 0，∴a2－b2＞0，∴“ － ＞0”是“a2－b2＞0”的充分条件，又 ∵a2－b2＞0，不妨取a＝－2，b＝1，无法推出 － ＞0. 充分不必 要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 10. （1）若a＜b＜0，求证： ＜ ； 证明：由于 － ＝ ＝ . ∵a＜b＜0， ∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0， ∴ ＜0，故 ＜ . （2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证： ≤ . 证明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b（c＋d）≥d（a＋b），又bd＞0，∴ ＞0，两边同乘以 得， ≤ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 11. 若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－｜b｜的范围是（　　） A. －3＜a－｜b｜≤3 B. －3＜a－｜b｜＜5 C. －3＜a－｜b｜＜3 D. 1＜a－｜b｜＜4 解析：　∵－4＜b＜2，∴0≤｜b｜＜4，∴－4＜－｜b｜≤0.又1＜a ＜3，∴－3＜a－｜b｜＜3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 12. 有外表相同，质量不同的4个小球，它们的质量分别为a，b，c，d， 且满足a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，b＞a＋c，则这4个小球由重到轻 的顺序为（　　） A. d＞b＞a＞c B. b＞c＞d＞a C. d＞b＞c＞a D. c＞a＞d＞b 解析：由于a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，则a＋d＋（a＋b）＞b＋c＋（c＋d），所以a＞c，b＜d.又b＞a＋c，则a＜b.综上，d＞b＞a＞c.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 13. 若实数x，y满足－2＜x＜1，0＜x＋y＜2，则x＋2y的取值范围 为 ⁠. 解析：∵x＋2y＝2（x＋y）＋（－x），且－2＜x＜1，0＜x＋y＜2， ∴－1＜－x＜2，0＜2（x＋y）＜4，∴－1＋0＜2（x＋y）＋（－x）＜ 4＋2，即－1＜x＋2y＜6. －1＜x＋2y＜6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 14. 证明下列不等式： （1）若a＞0，b＞0，求证： ＋ ≥a＋b； 证明：因为 －（a＋b）＝ ＝ ， 又因为a＞0，b＞0，所以 ≥0，所以 ＋ ≥a＋b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证： ＞ . 证明：由 － ＝ ＝ ， 因为a＞b＞0，c＜d＜0，所以a＋b＞0，c＋d＜0，b－a＜0，c－d＜0， 所以（a＋b）－（c＋d）＞0，（b－a）＋（c－d）＜0. 又因为e＜0，所以e[（a＋b）－（c＋d）][（b－a）＋（c－d）]＞0. 又因为（a－c）2（b－d）2＞0， 所以 － ＞0，即 ＞ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 15. 对于四个正数m，n，p，q，若满足mq＜np，则称有序数对（m， n）是（p，q）的“下位序列”. （1）对于2，3，7，11，有序数对（3，11）是（2，7）的“下位序列” 吗？请简单说明理由； 解：有序数对（3，11）是（2，7）的“下位序列”. 因为3×7＜11×2， 所以（3，11）是（2，7）的“下位序列”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序 列”，试判断 ， ， 之间的大小关系. 解：因为（a，b）是（c，d）的“下位序列”，所以ad＜bc，因 为a，b，c，d均为正数， 所以 － ＝ ＞0， 所以 ＞ ，又 － ＝ ＜0， 所以 ＜ ，综上所述， ＜ ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $