2.1.1 不等关系与比较大小（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“不等关系与比较大小”，通过生活中限高、限速等标志导入，引导学生从实际问题中抽象不等关系，再通过作差法比较大小、重要不等式推导，构建“实际问题—符号表示—逻辑推理—应用拓展”的学习脉络。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，如用汽车购买问题训练不等式组表示（数学抽象），通过作差法比较代数式大小培养推理能力（逻辑推理），结合旅游包车等实际案例让学生用数学语言解决问题。小结梳理知识清单与方法，助力学生构建体系，教师可借助梯度例题提升教学效率。

2.1　等式性质与不等式性质 1 1. 能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系（数学抽象）. 2. 会梳理等式的性质，理解不等式的概念，用类比的方法探究和掌握不等式的性质（逻辑推理）. 课标要求 　实际生活中： 情景导入 在数学中，我们怎样来表示相等与不等关系呢？ 第一课时　不等关系与比较大小 4 知识点一　不等关系与不等式 01 知识点二　实数（式）的大小比较 02 提能点　不等关系的实际应用 04 目录 课时作业 05 知识点三　重要不等式 03 5 知识点一 不等关系与不等式 01 PART 目 录 问题1　在日常生活中，我们经常看到下列标志： （1）上面各图中的标志有何作用？ 提示：①限制高度；②最低限速；③限制质量. （2）其含义分别是什么？ 提示：①装载高度h不得超过3.5 m；②限制行驶速度v不得低于50 km/h； ③装载总质量m不得超过10 t. （3）你能用数学式子表示上述关系吗？ 提示：①h≤3.5 m；②v≥50 km/h；③m≤10 t. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 不等关系 用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表 示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式. 2. 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于，高 于，超过 小于，低 于，少于 大于或等于，至 少，不低于 小于或等于，至 多，不超过 符号 语言 ＞ ＜ ≥ ≤ 数学·必修第一册 目 录 【例1】　（链接教材P40练习1题）某汽车运输公司因发展需要，需购进 一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万 元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少 买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 用不等式（组）表示不等关系的思路 （1）审题，读懂题意，分清已知量和未知量，设出未知量； （2）找关系，寻找已知量和未知量之间有哪些不等关系（注意隐含条件 和实际意义）； （3）列不等式（组），建立已知量和未知量之间的关系式（不重不漏）. 数学·必修第一册 目 录 训练1　（1）〔多选〕下面说法正确的是（　　） A. x与2的和是非负数，可表示为“x＋2＞0” B. 小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＞y” C. △ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为 “a＋b＞c且a＋c＞b且b＋c＞a” D. 若某天的最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度t ℃可表示 为“7≤t≤13” 解析：x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，故A错误.小明比小华矮，应表示为“x＜y”，故B错误.C、D正确. √ √ 数学·必修第一册 目 录 （2）京沪线上，复兴号列车的速度为350 km/h，该速度的2倍再加上100 km/h不超过民航飞机的最低速度，该速度超过了普通客车速度的3倍，请 你用不等式表示这三种交通工具的速度关系. 解：设复兴号列车的速度为v1，民航飞机的最低速度为v2，普通客车的速 度为v3，则有 数学·必修第一册 目 录 知识点二 实数（式）的大小比较 02 PART 目 录 问题2　（1）对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？ 提示：三种关系：a＞b；a＝b；a＜b. （2）给定两个实数（或代数式）a，b，如何比较它们的大小？ 提示：可作差比较.若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a －b＜0，则a＜b. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么 ⁠ a－b＞0⇔ ⁠ 如果a－b等于0，那么 ⁠ a－b＝0⇔ ⁠ 如果a－b是负数，那么 ⁠ a－b＜0⇔ ⁠ a＞b　 a＞b　 a＝b　 a＝b　 a＜b　 a＜b　 数学·必修第一册 目 录 解：（2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＝x2＋x＋1＝ ＋ . ∵ ≥0，∴ ＋ ≥ ＞0， ∴（2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＞0， ∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2. 【例2】　（链接教材P38例1）（1）比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小； 数学·必修第一册 目 录 （2）已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小. 解：3x3－（3x2－x＋1）＝（3x3－3x2）＋（x－1）＝3x2（x－1） ＋（x－1）＝（3x2＋1）（x－1）. 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0， ∴（3x2＋1）（x－1）≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1. 数学·必修第一册 目 录 变式　把本例（2）中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的 大小. 解：3x3－（3x2－x＋1）＝（3x2＋1）（x－1）. ∵3x2＋1＞0， 当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 作差法比较两个实数（式）大小的基本步骤 　　提醒：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断”是目的， “变形”是关键.其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、 有理化法等. 数学·必修第一册 目 录 训练2　已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大 小. 解：∵a3＋b3－（a2b＋ab2）＝（a3－a2b）＋（b3－ab2） ＝a2（a－b）＋b2（b－a） ＝（a－b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）. 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，（a－b）2＞0，a＋b＞0，a3＋b3＞a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. 数学·必修第一册 目 录 知识点三 重要不等式 03 PART 目 录 问题3　如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的 图形. 数学·必修第一册 目 录 （1）你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的 大小吗？ 提示：能.设直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a≠b），则正 方形的边长为 .这4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积 为a2＋b2，则由图可知a2＋b2＞2ab. （2）它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？ 提示：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩 为一个点，这时有a2＋b2＝2ab，于是就有a2＋b2≥2ab. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥ ，当且仅当 时，等号 成立. 2ab　 a＝b　 数学·必修第一册 目 录 法二　因为a＞0，a＋ －2＝（ ）2＋ －2＝ ≥0，所 以a＋ ≥2. 证明：法一　因为a＞0， 所以a＋ ＝（ ）2＋ ≥2 · ＝2. 当且仅当 ＝ ，即a＝1时，等号成立. 所以a＋ ≥2. 【例3】　（链接教材P40练习3题）已知a＞0，求证：a＋ ≥2. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　　在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为 重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质. 训练3　已知x，y∈R，且x2＋y2＝4，试比较xy与2的大小关系. 解：由重要不等式可知x2＋y2≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，即 4≥2xy，所以xy≤2. 数学·必修第一册 目 录 04 PART 提能点 不等关系的实际应用 目 录 【例4】　某单位组织职工去北京旅游，需包车前往.甲车队说：“如果领 队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票， 按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位职工 的人数，比较两车队的收费哪家更优惠. 数学·必修第一册 目 录 解：设该单位职工有n人（n∈N*），全票价为x（x＞0）元，坐甲车队 的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元. 由题意，得y1＝x＋ x（n－1）＝ x＋ nx，y2＝ nx. 因为y1－y2＝ x＋ nx－ nx＝ x－ nx＝ x ， 当n＝5时，y1＝y2； 当n＞5时，y1＜y2； 当n＜5时，y1＞y2. 所以，当该单位职工有5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更 优惠；少于5人时，选乙车队更优惠. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 1. “最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这 个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论. 2. 与不等式有关的实际应用问题，解答时要注意最后将数学结论再转化到 实际问题中去，得出解决问题的方案. 数学·必修第一册 目 录 训练4　某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每 类每件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值（万元/件） A类 7.5 B类 6 今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发 件，最高产值 为 万元. 20 330 数学·必修第一册 目 录 解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件（50－x）件.根 据题意，得 ＋ ≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝7.5x＋6（50 －x）＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总 产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元. 数学·必修第一册 目 录 1. 某桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应 使车货总质量T（单位：吨）不超过40，则用不等式表示为（　　） A. T＜40 B. T＞40 C. T≤40 D. T≥40 解析：限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40. √ 数学·必修第一册 目 录 2. 某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总 分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示为 ⁠. 解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即“＞”， ∴ ​ 数学·必修第一册 目 录 4. 已知a＞0，b＞0，设m＝a－2 ＋2，n＝2 －b，比较m，n的大 小. 3. 不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为 ⁠. 解析：令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，即（a－2）2＝0，∴a＝2. a＝2 解：m－n＝a－2 ＋2－2 ＋b＝（ －1）2＋（ －1）2≥0，所 以m≥n. 数学·必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）用不等式（组）表示不等关系； （2）作差法比较大小； （3）重要不等式. 2.应体会 作差法比较大小的关键是差式变形，常用方法： （1）因式分解；（2）配方.其实质是比较差与零的大小. 3.避易错 易忽视实际问题中变量隐含的限制条件. 数学·必修第一册 目 录 课时作业 05 PART 目 录 1. 某厂月生活费a不低于300元，用不等式表示为（　　） A. a≤300 B. a≥300 C. a＞300 D. a＜300 解析：依题意，生活费a不低于300元，即a≥300.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第一册 目 录 2. 已知a1，a2∈{x｜0＜x＜1}，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N 的大小关系是（　　） A. M＜N B. M＞N C. M＝N D. 不确定 解析：　由题意得0＜a1＜1，0＜a2＜1，所以M－N＝a1a2－a1－a2＋1 ＝（a1－1）（a2－1）＞0，故M＞N. 故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 3. 某学生期中考试数学成绩x不低于90分，英语成绩y和语文成绩z的总成 绩高于200分且不高于240分，用不等式组表示为（　　） A. B. C. D. 解析：由题意可得 故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 4. 在开山爆破时，已知导火索燃烧的速度为每秒0.5 cm，人跑开的速度为 每秒4 m，距爆破点150 m以外（含150 m）为安全区.为使导火索燃尽时人 能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：cm）应满足的不等式为（　） A. 4× ＜150 B. 4× ＞150 C. 4× ≤150 D. 4× ≥150 解析：　由题意知，导火索从点燃到燃尽所需时间为 s，人在此时间内 跑的路程为（4× ）m，则应满足的不等式为4× ≥150，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 5. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000” B. 小亮的体重x kg，小谦的体重y kg，则小亮比小谦重表示为“x＞y” C. 某变量x至少为a可表示为“x≥a” D. 某变量y不超过a可表示为“y≤a” 解析：对于A，x应满足x≤2 000，故A错；B、C、D正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 6. 〔多选〕下列不等式中恒成立的是（　　） A. a2＋2＞2a B. a2＋b2≥2（a－b－1） C. a2＋b2≥ab D. （a＋3）（a－5）＞（a＋2）（a－4） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：A中，a2＋2－2a＝（a－1）2＋1＞0，故A正确；B中，a2＋b2－2（a－b－1）＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝（a－1）2＋（b＋1）2≥0，故B正确；C中，a2＋b2－ab＝a2－ab＋ b2＋ b2＝ ＋ b2≥0，故C正确；D中，因为（a＋3）（a－5）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－15）－（a2－2a－8）＝－7＜0，所以（a＋3）（a－5）＜（a＋2）（a－4），故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 7. 某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的 重量用不等式表示为 ⁠. 解析：∵某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则－ 1≤x－500≤1，∴499≤x≤501. 499≤x≤501 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 8. 已知P＝a2－4a＋3，Q＝－4a＋1，则P与Q的大小关系为 ⁠.⁠ 解析：∵P－Q＝（a2－4a＋3）－（－4a＋1）＝a2－4a＋3＋4a－1＝ a2＋2.∵a2≥0，∴a2＋2＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q. P＞Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 9. 已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是 ，当且仅当a＝b ＝ 时取得最小值. 解析：由重要不等式得a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝±1时等号成立. 2 ±1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 10. 有学生若干个，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每 间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数. 解：设宿舍有x间，则学生有（4x＋19）人，依题意，得 解得 ＜x＜ .∵x∈N*，∴x＝10，11或12，学 生人数分别为59，63，67，故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间 63人或12间67人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 11. 已知a＞0，b＞0，M＝ ＋ ，N＝ ，则（　　） A. M＞N B. M＝N C. M＜N D. 不能确定 解析：　易知M＞0，N＞0，∵M2－N2＝（ ＋ ）2－（ ）2 ＝2 ＞0，∴M＞N. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 12. 我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七 十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？其意是：今有人出钱 576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比 小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则 在这个问题中大竹子每根的单价可能为（　　） A. 6钱 B. 7钱 C. 8钱 D. 9钱 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：　依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，则买小竹子（78 －x）根，每根单价为（m－1）钱，所以576＝mx＋（78－x）（m－ 1），即78m＋x＝654，即x＝6（109－13m），因为0≤x≤78，所以 即 所以 ≤m≤ ，根据选项知 m＝8，x＝30，所以买大竹子30根，每根8钱. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 13. 比较下列各组M与N的大小. （1）M＝（ac＋bd）2与N＝（a2＋b2）（c2＋d2）； 解：M－N＝（a2c2＋2abcd＋b2d2）－（a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2） ＝－（ad－bc）2≤0，故M≤N. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）已知a≥1，M＝ － 与N＝ － . 解：因为a≥1， 所以M＝ － ＞0，N＝ － ＞0，所以 ＝ ＝ . 因为 ＋ ＞ ＋ ＞0， 所以 ＜1，所以M＜N. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 14. 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m， 和墙相对的一边长为x m. （1）若要求菜园的面积不小于110 m2，试用不等式组表示其中的不等 关系； 解：因为矩形菜园和墙相对的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0 ＜x≤18，这时菜园的另一边长为 ＝ m， 所以菜园的面积S＝x ，依题意有S≥110，即x ≥110， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）若矩形的长、宽都不能超过11 m，试求x满足的不等关系. 解：由题得 所以8≤x≤11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 15. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三 个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x， y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为 a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 （　　） A. ax＋by＋cz B. az＋by＋cx C. ay＋bz＋cx D. ay＋bx＋cz √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：　法一（作差法）　因为x＜y＜z，a＜b＜c，所以x－z＜0， a－c＜0，c－b＞0，a－b＜0，z－y＞0，所以ax＋by＋cz－（az＋ by＋cx）＝（x－z）（a－c）＞0，故ax＋by＋cz＞az＋by＋cx；同 理，ay＋bz＋cx－（ay＋bx＋cz）＝（x－z）（c－b）＜0，故ay＋ bz＋cx＜ay＋bx＋cz.又az＋by＋cx－（ay＋bz＋cx）＝（a－b）（z －y）＜0，故az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx.综上可得，最低的总费用为az ＋by＋cx. 法二（特值法）　令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3.A项：ax ＋by＋cz＝1＋4＋9＝14；B项：az＋by＋cx＝3＋4＋3＝10；C项：ay ＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11；D项：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13.因为10＜11 ＜13＜14，所以最低的总费用为az＋by＋cx. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $