1.3.1 并集与交集（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦集合的并集与交集运算，以运动会参赛统计情境导入，通过问题链引导学生观察集合元素关系，构建从概念（文字、符号、图形语言）到运算性质，再到参数范围应用的完整学习支架。 其亮点在于融合数学抽象、数学运算与直观想象核心素养，通过Venn图和数轴辅助理解，结合例3参数问题培养逻辑推理，采用问题驱动和分层作业设计。学生能深化概念理解与运算能力，教师可依托清晰脉络提升教学效率。

第一课时　并集与交集 1 1. 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集（数学抽象、数学运算）. 2. 在具体情境中，了解全集的含义（数学抽象）. 3. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集（数学抽象、数学运算）. 4. 能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用（数学运算、直观想象）. 课标要求 　　某中学举行秋季运动会，高一（6）班同学踊跃报名参赛，有的跳远，有的跳高，有的接力，有的百米赛跑……，班主任如何统计参赛一项、两项甚至三项的同学呢？ 情景导入 知识点一　并集 01 知识点二　交集 02 提能点　根据并集与交集运算求参数范围 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 并集 01 PART 目 录 问题1　观察下列三组集合： ①A＝{－1，0}，B＝{1，3}，C＝{－1，0，1，3}； ②A＝{x｜x是偶数}，B＝{x｜x是奇数}，C＝{x｜x是整数}； ③A＝{1，2}，B＝{1，3，4}，C＝{1，2，3，4}. （1）集合C中的元素与集合A，B中元素的关系是什么？ 提示：集合C中元素是由所有属于A或属于B的元素组成. （2）集合C中元素的个数等于集合A，B中元素的个数和吗？ 提示：不一定. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 并集的概念 　　提醒：（1）A∪B仍是一个集合；（2）并集符号语言中的“或”包 含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. 数学·必修第一册 目 录 2. 并集的运算性质 A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪⌀＝A；A∪B＝A⇔B⊆A；A⊆ （A∪B），B⊆（A∪B）. 数学·必修第一册 目 录 【例1】　（1）（链接教材P10例1）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x｜x2 －1＝0}，则A∪B＝（　B　） A. {1，2，3} B. {－1，1，2，3} C. {1} D. {－1，0，1，2，3} 解析：B＝{x｜x2－1＝0}＝{1，－1}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}. B 数学·必修第一册 目 录 （2）（链接教材P10例2）已知集合P＝{x｜x＜3}，Q＝{x｜－ 1≤x≤4}，则P∪Q＝（　C　） A. {x｜－1≤x＜3} B. {x｜－1≤x≤4} C. {x｜x≤4} D. {x｜x≥－1} 解析：在数轴上表示出两个集合，如图，可得 P∪Q＝{x｜x≤4}. C 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 并集的运算技巧 （1）若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集 合中元素的互异性； （2）若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要 注意是否去掉端点值. 数学·必修第一册 目 录 训练1　（1）已知集合M＝{x｜－3＜x≤5}，N＝{x｜x＜－5或x＞ 5}，则M∪N＝（　A　） A. {x｜x＜－5或x＞－3} B. {x｜－5＜x＜5} C. {x｜－3＜x＜5} D. {x｜x＜－3或x＞5} 解析：在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x｜x＜－5或x＞－3}.故选A. A （2）已知集合A∪{1}＝{1，2，3}，则满足条件的集合A共有 个. 解析：若A∪{1}＝{1，2，3}，则A＝{2，3}或A＝{1，2，3}，共有2个. 2 数学·必修第一册 目 录 知识点二 交集 02 PART 目 录 问题2　观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{2，3}. （1）集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？ 提示：有公共元素.它们组成的集合是{2，3}. （2）集合C中的元素与集合A，B中的元素有什么关系？ 提示：集合C中的元素既属于集合A，又属于集合B. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 交集的概念 　　提醒：（1）A∩B仍是一个集合，且A∩B中任一元素都是A与B的 公共元素；（2）如果两个集合没有公共元素，即A∩B＝⌀. 数学·必修第一册 目 录 2. 交集的运算性质 A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩⌀＝⌀；A∩B＝A⇔A⊆B；（A∩B） ⊆A，（A∩B）⊆B. 【例2】　（1）（链接教材P11例3改编）已知A＝{x｜x是等腰三角形}， B＝{x｜x是直角三角形}，则A∩B＝ ⁠； 解析：A∩B＝{x｜x是等腰三角形}∩{x｜x是直角三角形}＝{x｜x是 等腰直角三角形}. {x｜x是等腰直角三角形} 数学·必修第一册 目 录 （2）设集合M＝{x｜0＜x＜4}，N＝{x｜ ≤x≤5}，则M∩N ＝ ⁠. 解析：因为M＝{x｜0＜x＜4}.N＝{x｜ ≤x≤5}，画 出数轴如图所示.所以M∩N＝{x｜ ≤x＜4}. {x｜ ≤x＜4} 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 求两集合交集的方法 （1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可； （2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交 集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共部分，要注意端点 值的取舍. 数学·必修第一册 目 录 训练2　（1）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－3，2}，则图中阴影 部分表示的集合为（　C　） A. {3} B. {－3，2} C. {2} D. {－2，3} 解析：根据题意，图中阴影部分表示集合A，B的公共部分，即A∩B. 因 为集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－3，2}，所以A∩B＝{2}. C （2）若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤－1，或x≥4}，则 A∪B＝ ，A∩B＝ ⁠. 解析：如图，借助数轴可知A∪B＝R，A∩B＝{x｜4≤x＜5}. R {x｜4≤x＜5} 数学·必修第一册 目 录 03 PART 提能点 根据并集与交集运算求参数范围 目 录 【例3】　已知集合A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜a＜x＜3a，且a＞0}. （1）若A∪B＝B，求实数a的取值范围； 解：因为A∪B＝B，所以A⊆B，画出数轴（如图）. 观察数轴可知 所以 ≤a≤2. 经检验端点符合题意，故实数a的取值范围为{a｜ ≤a≤2}. （2）若A∩B＝{x｜3＜x＜4}，求实数a的值. 解：画出数轴如图，A∩B＝{x｜3＜x＜4}. 观察图形可知 解得a＝3. 数学·必修第一册 目 录 变式　在本例（2）中，将条件“A∩B＝{x｜3＜x＜4}”变为“A∩B＝ ⌀”，求实数a的取值范围. 解：由于A∩B＝⌀，结合数轴（图略）得a≥4，或3a≤2. 又因为a＞0，所以a≥4或0＜a≤ .故实数a的取值范围是{a｜a≥4，或 0＜a≤ }. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　利用集合交集、并集的性质求参数的策略 （1）若集合中元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的 关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系； （2）将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）是否有解或解 集的取值范围； （3）解方程（组）或不等式（组），从而确定参数的值或取值范围. 数学·必修第一册 目 录 训练3　（1）设集合A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，若A∩B＝{2}，则 A∪B＝（　D　） A. {0，2} B. {0，5} C. {0，2，2，5} D. {0，2，5} 解析：若A∩B＝{2}，则2∈A，且2∈B，又A＝{a，b}，B＝{a＋2， 5}，所以a＋2＝2，即a＝0，则b＝2，所以A＝{0，2}，B＝{2，5}，则 A∪B＝{0，2，5}.故选D. D 数学·必修第一册 目 录 （2）设集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x｜x≤a}，若A∩B有两个元 素，则a的取值范围是 ⁠. 解析：将集合B在数轴上表示出来，如图所示，易知当2≤a＜3时符合题意. {a｜2≤a＜3} 数学·必修第一册 目 录 1. （2024·天津高考1题）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则 A∩B＝（　　） A. {1，2，3，4} B. {2，3，4} C. {2，4} D. {1} 解析：　因为A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2， 3，4}.故选B. √ 数学·必修第一册 目 录 2. 已知集合M＝{x｜－4＜x≤1}，N＝{x｜－1＜x＜3}，则M∪N＝ （　　） A. {x｜－4＜x＜3} B. {x｜－1＜x≤1} C. {0，1，2} D. {x｜－1＜x＜4} 解析：在数轴上表示出两个集合，如图，可得M∪N＝{x｜－4＜x＜3}. √ 数学·必修第一册 目 录 3. 已知A＝{x｜x为矩形}，B＝{x｜x为菱形}，则A∩B＝ ⁠ ⁠. 4. 已知集合A＝{－1，3}，B＝{2，a2}，若A∪B＝{－1，2，3，9}，则 实数a的值为 ⁠. 解析：由题意得a2＝9，解得a＝±3. {x｜x为 正方形} ±3 数学·必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）并集、交集的概念及运算； （2）根据集合间的运算求参数范围. 2.应体会 （1）常借助于Venn图、数轴等工具进行集合的交集、并集的运算； （2）由集合间的关系求参数范围（值）需要分类讨论. 3.避易错 （1）利用集合关系求参数时切莫遗忘空集； （2）无限集的并集与交集，端点值取到与否是关键. 数学·必修第一册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 若集合A＝{x｜－2＜x＜1}，B＝{x｜x＜－1，或x＞3}，则A∩B＝ （　　） A. {x｜－2＜x＜－1} B. {x｜－2＜x＜3} C. {x｜－1＜x＜1} D. {x｜1＜x＜3} 解析：　因为A＝{x｜－2＜x＜1}，B＝{x｜x＜－1，或x＞3}，所以 A∩B＝{x｜－2＜x＜－1}.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第一册 目 录 2. 已知集合M＝{0，x}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝ （　　） A. {0，1，2，x} B. {0，1，2} C. {0，2} D. {1，2} 解析：　∵M∩N＝{2}，∴2∈M，而M＝{0，x}，则x＝2，∴M＝ {0，2}，∴M∪N＝{0，1，2}. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 3. 已知集合A＝{x｜x≤－1或x≥3}，B＝{x｜a＜x＜4}，若A∪B＝ R，则实数a的取值范围是（　　） A. 3≤a＜4 B. －1＜a＜4 C. a≤－1 D. a＜－1 解析：利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 4. 已知集合A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x＞－2}，C＝{x｜x＞－1}，则 （A∩B）∪C＝（　　） A. {x｜－1＜x＜0} B. {x｜x＞－1} C. {x｜－2＜x＜0} D. {x｜x＞－2} 解析：　由A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x＞－2}，得A∩B＝{x｜－2＜ x＜0}，所以（A∩B）∪C＝{x｜x＞－2}.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 5. 〔多选〕已知集合A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}，则（　　） A. A∩B＝{x｜x＜ } B. A∩B＝⌀ C. A∪B＝{x｜x＜2} D. A∪B＝R 解析：　B＝{x｜3－2x＞0}＝{x｜x＜ }，所以A∩B＝{x｜x＜ }，A∪B＝{x｜x＜2}. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 6. 〔多选〕已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x｜－1≤x≤2，x∈Z}，则 下列结论正确的是（　　） A. M⊆N B. N⊆M C. M∩N＝{0，1} D. M∪N＝{－1，0，1，2} 解析：因为N＝{x｜－1≤x≤2，x∈Z}＝{－1，0，1，2}，又M＝{0，1，2}，所以M⊆N，且M≠N，故A正确，B错误；M∩N＝{0，1，2}，M∪N＝{－1，0，1，2}，故C错误，D正确.故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 7. 已知集合A＝{x｜－ ≤x≤3}，B＝{x∈Z｜x≤2}，则A∩B ＝ ⁠. 解析：因为A＝{x｜－ ≤x≤3}，B＝{x∈Z｜x≤2}，所以A∩B＝ {x∈Z｜－ ≤x≤2}，所以A∩B＝{0，1，2}. {0，1，2} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 8. 已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈A}，则集合 A∪B中元素的个数为 ⁠. 解析：由已知得，B＝{3，7，9，15}，所以A∪B＝{1，3，4，7，9， 15}，所以集合A∪B中元素的个数为6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 9. 已知集合A＝{1，3， }，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝ ⁠⁠. 解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A. 又A＝{1，3， }，B＝{1，m}，∴m ＝3或m＝ ，由m＝ 得m＝0或m＝1，但m＝1不满足集合中元素 的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3. 0或3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 10. 已知集合A＝{x｜3－x＞0，且3x＋6＞0}，集合B＝{x｜3＞2x－ 1}，求A∩B，A∪B. 解：解不等式组 得－2＜x＜3， 则A＝{x｜－2＜x＜3}， 解不等式3＞2x－1，得x＜2，则B＝{x｜x＜2}. 用数轴表示集合A和B，如图所示， 则A∩B＝{x｜－2＜x＜2}，A∪B＝{x｜x＜3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 11. 已知集合A＝{x｜x2－px－2＝0}，B＝{x｜x2＋qx＋r＝0}，且 A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r＝（　　） A. 12 B. 6 C. －14 D. －12 解析：因为A∩B＝{－2}，所以－2∈A且－2∈B，将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，所以A＝{1，－2}，因为A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，所以B＝{－2，5}，所以q＝－[（－2）＋5]＝－3，r＝（－2）×5＝－10，所以p＋q＋r＝－14. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 12. 〔多选〕定义集合A与B的运算：A－B＝{x｜x∈A且x∉B}.已知集 合M＝{1，2，3，4，5}，N＝{1，3，5，7}，P＝{2，4，6，8}，则 （　　） A. M－N＝{2，4} B. M－P＝{1，3} C. M－（M－N）＝{1，5} D. （N－P）－M＝{7} 解析：因为M＝{1，2，3，4，5}，N＝{1，3，5，7}，P＝{2，4，6，8}，所以M－N＝{2，4}，M－P＝{1，3，5}，M－（M－N）＝{1，3，5}，（N－P）－M＝{7}.故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 13. 〔多选〕设集合M＝{x｜a＜x＜3＋a}，N＝{x｜x＜2或x＞4}，则 下列结论中正确的是（　　） A. 若a＜－1，则M⊆N B. 若a＞4，则M⊆N C. 若M∪N＝R，则1＜a＜2 D. 若M∩N≠⌀，则1＜a＜2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：对于A，若a＜－1，则3＋a＜2，则M⊆N，故A正确；对于B，若a＞4，显然对于任意x∈M，x＞4，则x∈N，故M⊆N，故B正确；对于C，若M∪N＝R，则 解得1＜a＜2，故C正确；对于D，若M∩N＝⌀，则 不等式无解，故若M∩N≠⌀，则a∈R，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 14. 设集合A＝{x｜－1＜x＜3}，集合B＝{x｜2－a＜x＜2＋a}. （1）若a＝2，求A∪B和A∩B； 解：当a＝2时，B＝{x｜0＜x＜4}，又A＝{x｜－1＜x＜3}， 所以A∪B＝{x｜－1＜x＜4}，A∩B＝{x｜0＜x＜3}. （2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围. 解：由A∪B＝A，得B⊆A，而A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜2 －a＜x＜2＋a}， 当B＝⌀时，2－a≥2＋a，解得a≤0，满足题意； 当B≠⌀时，a＞0且 解得0＜a≤1， 综上实数a的取值范围是{a｜a≤1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 15. 〔多选〕某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑 步、拔河、篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛 的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步、拔 河、篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（　　） A. 同时参加跑步和篮球比赛的人数为24 B. 只参加跑步比赛的人数为26 C. 只参加拔河比赛的人数为16 D. 只参加篮球比赛的人数为22 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58＋38＋52－18－16－x＋12＝120－20，得x＝26，则只参加跑步比赛的人数为58－18－26＋12＝26，只参加拔河比赛的人数为38－16－18＋12＝16，只参加篮球比赛的人数为52－16－26＋12＝22. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $