专题2.2 圆心角（1大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版九年级下册

本初中数学讲义聚焦圆心角专题，以圆的对称性为基础，系统梳理圆心角、弧、弦的定义及关系定理，通过概念辨析（优弧、劣弧等）和定理推导（同圆或等圆中三组量关系）构建知识支架，衔接前后几何内容。 资料特色在于题型分类系统，涵盖判断、计算、证明等，结合中考真题设计“即学即练”与“典例+变式”，强化几何直观与推理意识，突出“同圆或等圆”前提理解，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺。

专题2.2 圆心角 教学目标 1. 理解弦、弧、圆心角的定义及相关概念，能准确区分优弧、劣弧与半圆。 2. 掌握同圆或等圆中弦、弧、圆心角之间的关系定理，会用定理进行简单推理。 3. 体会转化思想在几何中的应用，提升观察分析与逻辑推理的数学素养。 教学重难点 1.重点 （1）弦、弧、圆心角的概念辨析，同圆或等圆中三者之间的相等关系定理。 （2）运用三者的关系定理证明弧相等、弦相等，解决基础几何证明与计算问题。 2.难点 （1） 理解“同圆或等圆”这一前提条件的必要性，避免定理的滥用。 （2）结合圆的对称性，构造圆心角或弧的等量关系，解决复杂几何问题。 知识点01 圆的对称性 1.圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． （2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 2.弧、弦、圆心角 （1）顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1o的圆心角，我们也称这样的弧为1o的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 【即学即练1】1．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径，即点O是与的交点， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东阳江·月考）如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键。 由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆心角、弧、弦的关系求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 3．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【详解】（1）证明：， ， 即． ∴． （2）解：∵，， ． 题型01 由圆心角、弧、弦的关系判断结论正误 【典例1】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，D、E分别是半径，的中点，连接，，，，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 由，D、E分别是半径，的中点，可得，由，可得，可判断A的正误；证明，则，，证明，则，可判断B的正误；证明，则，可判断C的正误；由题意知，当时，，可判断D的正误． 【详解】解：∵，D、E分别是半径，的中点， ∴， ∵， ∴，A正确，故不符合要求； 又∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，B正确，故不符合要求； ∵，，， ∴， ∴，C正确，故不符合要求； 由题意知，当时，，D错误，故符合要求； 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦及弦心距的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系是解题的关键．结合已知条件，根据“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”得到与之间的关系；根据圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系即可得到弦与，弦心距与的数量关系，进而得出正确选项． 【详解】解：∵分别为的两条弦，， ∴，故③正确； ∵，于M，于N， ∴，故①②正确． 综上可知，正确的有3个． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图， 、是的两条弦，且．，， 垂足分别为点M、N，、的延长线交于点P，连接，下列结论①弧=弧； ②； ③； ④，正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 连接、，只要证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、； ∵， ∴，故①正确 ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∴，，故④正确， ∵， ∴，故③正确， 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，是半圆的直径，是半圆弧的中点，和均内接于半圆，分别连结、交于点、．若是的中点，给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】①根据点是弧的中点得，由此可对结论①进行判断；②证明，由此可对结论②进行判断；③连接，根据点是的中点，得，由此可对结论③进行判断；④连接，根据是半圆弧的中点，得垂直平分，所以，由此可对结论④进行判断． 【详解】解：①∵点是的中点， ， ∴，故①正确； ②∵是半圆的直径， ， ， 是半圆弧的中点， ， ， ， ， ， ，故②正确； ③如图，连接， ∵点是的中点，是半圆弧的中点， ∴， ∵， ， ∴，故③错误； ④如图，连接， ∵是半圆弧的中点， ∴垂直平分， ∴， 在中，根据勾股定理：， ∴，故④正确； 综上所述：正确结论的序号有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，勾股定理等知识点，熟练掌握圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系是解决问题的关键． 题型02 由圆心角、弧、弦的关系求线段长度 【典例2】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，半径为5的中，弦所对的圆心角分别是，若°，则弦的长等于（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理．作直径，连接,先利用勾股定理求得的长，再利用等角的补角相等得到，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等求得答案． 【详解】解：作直径，连接, 如图, 则，， ∴， ， ， ， 故选: A． 【变式1】（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，半径为2的的弦，且于点E，连接，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，连接，根据，可得，所以，由，可得，所以，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： A． 【变式2】（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，设交于E，根据垂径定理求出，，根据圆周角定理求出，解直角三角形求解即可． 【详解】解：设交于E，如图： ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：6 【变式3】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，内接于，A为劣弧的中点，，为的直径，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．先根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，接着根据圆周角定理得到，，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长． 【详解】解：为劣弧的中点， ， ， ， ， 为的直径， ，则 在中，， ∴， ． 故答案为：． 题型03 由圆心角、弧、弦的关系求角度 【典例3】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 【变式2】 （25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，已知，则弧的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求弧的度数． 根据等边对等角求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴弧的度数是． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 题型04 由圆心角、弧、弦的关系求弧度 【典例4】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、圆心角的关系，先求出，然后根据弧、圆心角的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，内接于，是的直径．若，的度数为70°，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角定理，等腰三角形的判定及性质等；由弧的度数得，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解． 【详解】解：连接， 的度数为， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图，已知是的直径，，，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，解题关键是熟练掌握同圆（或等圆）中，等弧所对的圆心角相等． 根据同圆（或等圆）中，等弧所对的圆心角相等，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为： 【变式3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角和弧的关系等知识点，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 连接，利用圆周角定理和等腰三角形的性质求出，即的度数为，继而求出的度数，利用圆周角定理即可求出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵， ， ， ， ∴的度数为， ∵， ， ∴的度数为， ， ， 故答案为：． 题型05 由圆心角、弧、弦的关系求周长 【典例5】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是（　　） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质、弧长公式，根据等边三角形的性质得到，利用弧、弦的关系和弧长公式求得的长，进而可求解． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴该“莱洛三角形”的周长是． 故选：B． 【变式1】（2023·陕西西安·模拟预测）如图的弦，且于，连接，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AB、OA、OD，然后由弦与弧的关系，求出，得到，再根据勾股定理求出半径，即可得到答案． 【详解】解：连接AB、OA、OD，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在直角△AOD中，设OA=OD=R， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴圆的周长为：； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，扇形中，，，为弧的中点，点为上一动点，连接，当阴影部分周长最小时，等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求正切，与圆有关的计算，轴对称的性质如图，利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，进而根据等腰三角形的性质得出，进而根据轴对称的性质，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、， 由对称可知，，， ∵，当点移动到点时，取等号，此时最小， ∵为弧的中点， ∴，则， ， 又， ， ， 由轴对称可知，， ， 当阴影部分周长最小时，，则 ． 故答案为：． 【变式3】（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆中最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：∵， ， ∵为的中点， ， 在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图， ， ， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∴的周长， 故答案为：． 题型06 由圆心角、弧、弦的关系求面积 【典例6】（24-25六年级下·上海·单元测试）如果一个半径为 厘米的圆的面积恰好与一个半径为 厘米的扇形面积相等．那么这个扇形的圆心角度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆和扇形的面积计算. 设这个扇形的圆心角度数为，利用圆和扇形的面积公式得出方程，求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式1】（2023七年级上·全国·专题练习）如图中有大小两个等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是50cm2，环形的面积是 ．    【答案】157平方厘米 【分析】根据图形可知，大三角形的面积等于大圆的直径乘大圆的半径除以2，小三角形的面积等于小圆的直径乘小圆的半径除以2，阴影部分的面积等于大三角形的面积减小三角形的面积，等于大圆半径的平方减小圆半径的平方，圆环的面积等于大圆的面积减小圆的面积，据此解答即可。 【详解】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r. ， 环形的面积是： （平方厘米） 所以环形的面积是157平方厘米. 故答案为：157平方厘米 【点睛】本题考查了圆的性质，圆心角、弦、弧之间的关系，的圆心角所对的弦是直径，等腰三角形的性质等知识，正确理解圆的有关性质是解题的关键. 【变式2】（22-23九年级下·浙江温州·期中）如图，点A，B，C，D，E，F都在上，且．若的半径为4，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理，根据圆心角、弧、弦的关系的关系求出是解题的关键．连接、，交于H，根据圆心角、弧、弦的关系的关系求出，解直角三角形分别求出，，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接、，交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 【变式3】（2025·陕西渭南·一模）如图，半圆的直径长为16，点C，D是半圆的三等分点，连接，，过点C作，垂足为E，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查同弧或等弧所对的圆周角（圆心角）相等、等边三角形的判定与性质、解直角三角形及求扇形面积，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据点C，D是半圆的三等分点得出是等边三角形，，根据“三线合一”的性质得出，利用的三角函数得出，根据即可得答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵半圆的直径长为16，点C，D是半圆的三等分点， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型07 由圆心角、弧、弦的关系证明 【典例7】（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，已知在中，两条弦和交于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的基本性质，根据在同圆中，等弦所对的弧相等，等弧对的弦相等证明即可． 【详解】证明：， ， ， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”证明即可． 【详解】证明：∵， ∴ ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键 （1）过O作于M，连接、，利用等腰三角形三线合一证明，，则问题可证； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，，进行角的组合可证明，利用圆心角、弦、弧的关系，即可证． 【详解】（1）证明：过O作于M，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ． 【变式3】（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 【分析】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积计算，熟练掌握圆的弧与圆心角的关系、全等三角形判定定理是解题的关键． （1）通过连接辅助线 ，利用圆的半径相等及弧中点对应的圆心角相等，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而证得线段相等； （2）先确定相关角的度数，结合勾股定理求出三角形的高，再利用三角形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：连接，如图： 为的中点， ， ，分别为半径，的中点，， ， 在和中， ， ． （2）解：如图：过点作于点， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 2．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系．由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∴，即，故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 3．（22-23九年级上·浙江宁波·月考）下列说法不一定正确的是（   ） A．平分弦和这条弦所对的弧的直线必过圆心 B．相等的弧所对的弦相等 C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．直径所对的弧是半圆 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关定理和性质，根据垂径定理，三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、平分弦和这条弦所对的弧的直线必过圆心，故本选项正确； B、相等的弧所对的弦相等，故本选项正确； C、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误； D、直径所对的弧是半圆，故本选项正确； 故选：C． 4．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，是的直径，．若，则的度数为（    ） A．140° B．70° C．65° D．55° 【答案】B 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等的性质是解答本题的关键．由在同圆中等弧所对的圆心角相等得从而求得答案． 【详解】解：是的直径，， ， ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 二、填空题 6．（24-25九年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，点A，B，C，D在上，，A是的中点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】连接，先求得，再利用弧长公式解答即可． 本题考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，弧长公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵A是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交对线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图以及等弧或等弦所对的圆心角相等．连接，根据作图，，推出，即可得到，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，由作图可知：， 由作图可知：， ∴， ， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知的半径为1，，是的两条弦，且，延长交于点D，连结，，． （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 【分析】可证，推出，，，，即可证明；依据对应边成比例，设，表示出、，根据，列方程求解即可． 【详解】解：在和中， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，的半径为1， ， ， （负值已舍去）； 故答案为：； （2）， ， 设，则， ∴， ， ， ，， ， 整理得：， 即， 解得：（舍去），， （舍去）， 因此， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 9．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知 则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆周角定理；连接，根据已知得出，根据等弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵ ， ∴ ， 又∵ ∴ ∵ ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，点D，C在上，，，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．延长交于，连接，，过作于，证明是等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】解：延长交于，连接，，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（20-21九年级上·江苏南京·月考）如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． （1）连接，求出和度数，求出，即可求出度数，即可求出答案； （2）根据得出，求出，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到． 【详解】（1）解：连接，如图， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的度数是， 的度数是； （2）证明：， ， ， ． 12．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，已知是的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．若点C是的中点． (1)求的度数； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据三线合一得到，再根据等弧所对圆心角相等得到，推出，即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 13．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系． （1）欲证弧弧，只需证明它们所对的圆心角相等，即． （2）利用圆周角、弧，弦的关系得，则． 【详解】（1）证明：连接， ， ． ， ，． ． ； （2）解：的度数是， ． ． ， ， ． 14．（2025·北京房山·二模）如图，已知为的外接圆，为的直径，是的中点，弦于点，是上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意可得，根据垂径定理可得进而可得，则； （2）连接，证明得出，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵D是的中点， ∴， ∵且为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，点在上，，．求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系，先由得，由得，则，求出，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题2.2 圆心角 内容概览 教学目标、教学重难点 知识清单 知识点1圆的对称性 题型1由圆心角、弧、弦的关系判断结论正误 题型2由圆心角、弧、弦的关系求长度 圆的对称性 题型3由圆心角、弧、弦的关系求角度 题型4由圆心角、弧、弦的关系求弧度 题型精讲 题型5由圆心角、弧、弦的关系求周长 题型6由圆心角、弧、弦的关系求面积 题型7由圆心角、弧、弦的关系证明 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解弦、弧、圆心角的定义及相关概念，能准确区分优弧、劣弧与半圆。 教学目标 2.掌握同圆或等圆中弦、弧、圆心角之间的关系定理，会用定理进行简单推理。 3.体会转化思想在几何中的应用，提升观察分析与逻辑推理的数学素养。 1.重点 (1)弦、弧、圆心角的概念辨析，同圆或等圆中三者之间的相等关系定理。 (2)运用三者的关系定理证明弧相等、弦相等，解决基础几何证明与计算问题。 教学重难点 2.难点 (1)理解“同圆或等圆”这一前提条件的必要性，避免定理的滥用。 (2)结合圆的对称性，构造圆心角或弧的等量关系，解决复杂几何问题。 知识清单 知识点01圆的对称性 1.圆的对称性 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线. (2)圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 2.弧、弦、圆心角 (1)顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1°的圆心角，我们也称这样的 弧为1°的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. (2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等， 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量分别相等. 【即学即练1】1.(25-26九年级上云南昆明期中)如图，AB、CD是O0的直径，AE=BD,若 ∠A0E=35°，则∠C0E的度数是() E D A.35° B.60 C.65° D.70° 2.(24-25九年级上广东阳江月考)如图，A、B、C是⊙0上的三点，点B是劣弧AC的中点， ∠0AB=72°，则∠A0C的度数等于 3.(25-26九年级上浙江宁波·月考)己知：如图，A、B、C、D是00上的点，∠1=∠2，AC=5cm. D (1)求证：AC=BD; (2)求BD的长. 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型精讲 题型01由圆心角、弧、弦的关系判断结论正误 【典例1】(23-24九年级上·河北邯郸期中)如图，在O0中，AC=BC,D、E分别是半径0A,OB的中 点，连接OC,AC,BC,CD,CE,则下列结论不一定成立的是() A.AC=BC B.CD=CE C.LACD=∠BCED.CD⊥OA 【变式1】(25-26九年级上浙江·课后作业)如图，AB,CD分别为O0的两条弦，OM⊥AB于M, ON⊥CD于N,且∠AOB=∠COD,则下列结论中，正确的个数为() ①AB=CD;②OM=ON;③AB=CD. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【变式2】(25-26九年级上辽宁盘锦阶段练习)如图，AB、CD是00的两条弦，且AB=CD. OM⊥AB,ON⊥CD,垂足分别为点M、N,BA、DC的延长线交于点P,连接OP,下列结论①弧AB =弧CD;②OM=ON;③PA=PC;④∠BP0=∠DP0,正确的个数是() A D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式3】(24-25九年级上·吉林长春·期末)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆弧的中点，△ABD和 ABC均内接于半圆O,分别连结AC、OC交BD于点E、F,若D是AC的中点，给出下面四个结论： ①LCAD=∠DBA;②CE=CF;③BC=2AD;④AD2+DF2=BF2. 上述结论中，正确结论的序号有■ 3/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C 题型02由圆心角、弧、弦的关系求线段长度 【典例2】(24-25九年级上·安微阜阳阶段练习)如图，半径为5的0A中，弦BC,ED所对的圆心角分别 是∠BAC,∠EAD,若BC=8,∠BAC+∠EAD=180°，则弦DE的长等于() D B A.6 B.5 C.4 D.3 【变式1】(24-25九年级下·吉林松原阶段练习)如图，半径为2的O0的弦AD=BC,且AD1BC于点E, 连接AB、AC,则AB的长为() 6 E B D A.22 B.2 C.2 D.1 【变式2】(24-25九年级下江苏盐城期中)如图，在O0中，0A1BC,∠ADB=30°，BC=65,则 0C的长为. B D 【变式3】(24-25九年级上·江苏南通阶段练习)如图，ABC内接于O0，A为劣弧BC的中点， ∠BAC=120°，BD为OO的直径，连接AD,若AD=8,则AC的长为 4/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 A 题型03由圆心角、弧、弦的关系求角度 【典例3】(25-26九年级上·江苏泰州·月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，以点C为圆心， BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E,则弧BD的度数为() B A.28° B.60 C.55 D.40 【变式1】(25-26九年级上江苏南京·月考)如图，⊙0经过五边形0ABCD的四个顶点，若∠A0D=150°， ∠A=65°，∠D=60°，则BC的度数为() A.45° B.40° C.35 D.30 (25-26九年级上江苏宿迁阶段练习)如图，在⊙0中，己知∠04B=50°，则弧AB的度数是 B 【变式3】(25-26九年级上江苏南京·阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为 圆心，BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则BD的度数为 5/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 题型04由圆心角、弧、弦的关系求弧度 【典例4】(25-26九年级上陕西安康期中)如图，AB是⊙0的直径，AD=CD,∠C0B=40°，则∠C0D 的度数是() D ⊙ A.50° B.55 C.60° D.70 【变式1】(25-26九年级上浙江舟山期中)如图，ABC内接于⊙0，BD是⊙0的直径.若∠ABC=50°， AD的度数为70°，则∠DBC等于() A.10° B.150 C.20° D.25° 【变式2】(24-25九年级上河南许昌·期中)如图，已知AB,CD是O0的直径，AE=AC,LA0E=32°， 那么∠COE的度数为 【变式3】(2025陕西咸阳·模拟预测)如图，AB是OO的直径，EF,EB是⊙0的弦，且EF=EB.连接 0F,若∠A0F=46°，则∠ABE= 6/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 题型05由圆心角、弧、弦的关系求周长 【典例5】(2023九年级下·全国专题练习)如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边” 分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为3，则这个“莱 洛三角形的周长是（ ) A.9 B.3π C.6元 D.9n 【变式1】(2023陕西西安模拟预测)如图⊙0的弦AC=BD,且AC⊥BD于E,连接AD,若AD=3√6 ,则⊙0的周长为() O B D E C A.6V3π B.4v6π C.33m D.4π 【变式2】(23-24九年级上江苏泰州期末)如图，扇形0AB中，OA=R,∠A0B=60°，C为弧AB的中 点，点D为OB上一动点，连接AD、DC,当阴影部分周长最小时，tanZADC等于一· D B 【变式3】(2024河南驻马店·三模)如图，在扇形A0B中，∠A0B=90°，B0=2,C为BO的中点，D为 7/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB上一点，且2BD=AD,连接AC,DC,在OC绕点O旋转的过程中，当CD取最小值时，△ACO的周 长为一 B D 题型06由圆心角、弧、弦的关系求面积 【典例6】(24-25六年级下·上海单元测试)如果一个半径为2厘米的圆的面积恰好与一个半径为4厘 米的扇形面积相等.那么这个扇形的圆心角度数为一· 【变式1】(2023七年级上·全国·专题练习)如图中有大小两个等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是50cm2, 环形的面积是 【变式2】(22-23九年级下·浙江温州期中)如图，点A,B,C,D,E,F都在O0上，且 AB=BC=CD=DE=EF=AF.若OO的半径为4，则△ABF的面积是 A D 【变式3】(2025陕西渭南一模)如图，半圆AmB的直径长为16，点C,D是半圆的三等分点，连接AC, BD,过点C作CE⊥AB,垂足为E,求图中阴影部分的面积. m B 题型07由圆心角、弧、弦的关系证明 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例7】(25-26九年级上·浙江舟山期中)如图，已知在⊙0中，两条弦AB和CD交于点P,且AD=CB ,求证：AB=CD. D B 【变式1】(25-26九年级上·浙江嘉兴期中)如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径的O0分别交 AC,BC于点E,F.求证：AE=BF. E 【变式2】(24-25九年级下·广东中山开学考试)如图，在⊙0中，半径0C,OD分别交弦AB于点E,F, 且OE=OF B (I)求证：AE=BF; (2)求证：AC=BD. 【变式3】(25-26九年级上江西赣州期中)如图，已知D,E分别为半径OA,OB的中点，C为AB的中 点. D C (I)求证：CD=CE; (2)若∠A0B=120°，0A=6,求a0AC面积. 9/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 强化训练 一、单选题 1.(25-26九年级上·全国课后作业)下图中的∠ACB是圆心角的是() 2.(24-25九年级下·贵州贵阳·月考)如图，A,B,C,D均为O0上的点，且AB=CD,则下列说法不正确的 是() B A.LAOB=∠COD B.∠AOC=∠BOD C.AC=BD D.OC=CD 3.(22-23九年级上·浙江宁波·月考)下列说法不一定正确的是（) A.平分弦和这条弦所对的弧的直线必过圆心B.相等的弧所对的弦相等 C.三角形的外心到三角形三边的距离相等D.直径所对的弧是半圆 4.(25-26九年级上河南信阳期中)如图，AB是O0的直径，BC=BD.若∠A0C=110°，则∠BOD的 度数为() D A.140° B.70° C.65° D.55 5.(24-25九年级上山东淄博·期末)如图，己知AB,CD是⊙0的两条直径，弦CE∥AB,∠B0D=112°， 则CE的度数为() 10/13