同学们，这节课我们来学习集合的第二个重难点，与集合有关的数学文化问题。对于数学文化问题，相信只要你是高中的学生经常做题，尤其是高三的学生，肯定会经常遇到与数学文化有关的问题。这个数学文化现在回头我会出一些专栏，专门讲这个数学文化的问题。今天我们来看一下与集合有关的数学文化问题。在此我们主要来介绍一个比较典型的习题，就是戴德金分割问题。所谓戴德金分割，它也是解决第一次数学危机的危机，也就是无理数的发现，尤其是这个根号二的发现。如果读过数学史的同学们应该了解这样一个数学危机，这次数学危机主要是靠戴德金分割把它给截出来。我们来看一下这个戴德金分割是什么意思，他是说的是就是将有理数集Q因为在根号二发现之前，主要是人类对数的认识主要是仅限于有理数，有理数包括整数和分数。好，我们做一个简单的一分类，整数可以包括自然属和负指数。而自然数是包括正整数，你分数包括两类，一类是可以除得尽的，我们称之为有限小数。如果除不尽的，我们称之为无限不循环小数。目前不循环小数包括这样的两类。好，既然是这样一个分类，我们来看一下这样一个分割是怎么分割呢？他说将有理数集Q划分为两个分分的子集，要求这两个子集并起来是全体有理数焦是空集，而且M中的每一个元素要小于N中的每一个元素。我们把这样一个分割称之为带走形分割，这是戴德金分割的一个定义。好，我们看一下这道题实际上跟我们第一期的题型一集合的新定义有关的。这个题有点类似，它是也相当于是一个新定义的题。你像上一期视频，我看有一些网友留言说这是不是数学题呢？实际上我们高中的数学题，有一部分的重难点题就是这样一种类型的题。不要怀疑，你一怀疑的话，针对于真正有需求的同学来说的话，恐怕还觉得我是在欺骗大家。好啊，我们来看一下这个戴德金分割这道题怎么做。这道题大家注意还是一样的。我们先从A选项来看，M集合是X属于QX小于0，N集合是X属于QX大于0。很明显它不满足带进风格，为什么呢？因为这里面它不满足M集合并上N集合等于Q这样一个集合。我们的Q是有理数集，它是不等于它的，因为这个病集里面它并不包含0，这个零它是不包含的，故A选项是错误的。我们再看B集合，M中没有最大元素，N中有一个最小元素，那这个我们能不能满足呢？我们来看一下，我比如说我们举个例子，只要我们能找到，那就可以可能成立。比我们令M就是我把上面这个M集合保留，所以M集合中的每个元素小于NG集合合中的每个元素，那我们就这样来写，X属于QX小于0，这个时候N集合我把它补一下，你看刚才我们不是说缺少一个零吗？那我们这样我把A集合中，把那个N集合中，我补一个零上X属于Q然后X是大于等于零就可以了。这样的话我就可以保证N中有一个最小的元素，0M集合中它没有最大的元素。因为是X小于零的有理数中，你是找不到最大的。你说你最大有多少呢？你找不出来，那数就是这么神秘。所以说这个B它是对的，所以这是多选题。我们再看CC说的是M中有一个最大元素，N中有一个最小元素。好，既然这样的话，那我们假设假设存在假设M中有一个最大元素M就是我结合这样来写X属于QX小于等于M其中M是属于Q的。这样的话就是有一个最大元素，就是小M那么这个N集合我们可以这样来写，X除以QX大于等于小NN也是属于Q的。假设存在这样一个情况，那由这个M集合中的元素都比N集合中的元素要小，所以我这个M肯定是小于N的，而且MN都是有理数。那么这个时候至少存在一个K属于Q使得它满足K是属于M到N之间了，也就是K是大于M小于N的，满足这样一个式子存在。所以说他说这样的话我这个MBN挺好的，MBN它并不是谁啊，并不是QG并不是有理数据。所以说它这个C一定是错的，但是找不到了，ACAC都是错的。那么D我们可以这样来找一个X除以QX小于根号2，你看根号二不是很特殊吗？根号2的发现引起第一次数学危机，那我们就根号二来表示。那么这个N集合我们可以这样来确定X除以QX大于根号2，你写大于等于根号2也可以，你写大于根号二也可以。因为这里面我们取的都是有理数，根号二是无理数，这个都无所谓。这样的话我这个M级合同没有最大值，N级合同也没有最小值就行了。那这样的话这个D就对了。当然了我们还有其他情况，有同学可能有疑问说这里面的M是不是会有这样的情况。比如说他说可可能可能不可能有这样一种情况，就是M等于X属于QX小于0，小于等于0。对，刚才我们把这个等号加在这边来，加在这个M级，然后我们的N集合是X属于QX大于0，这种情况也是可以的。这种情况就说明M有最大值，M有最大值无最小值。如果说我们要填充这样一个选项，它也是对的。那这样的话我们就可以把这个戴德金分割，把它全部理解透。好，今天的视频课我们就讲到这里，感谢大家的收看，下期视频我们再见。