期末专题01 有理数及其运算的八类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题01有理数及其运算的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、绝对值的非负性求解问题 类型二、用科学记数法表示较大的数 类型三、根据点在数轴的位置判断式子的正负 类型四、数轴上表示含绝对值乘方的有理数 类型五、有理数的混合运算 类型六、有理数的运算中的新定义型问题 类型七、有理数的运算中规律探究问题 类型八、有理数的运算中应用问题 压轴专练 典例详解 类型一、绝对值的非负性求解问题 1. 和为0型：利用a≥0，若a十b=0,则a0且b=0,多变量同理，据此列方程求解未知数。 2.最值求解型：绝对值部分最小为0，求x一m+的最小值，直接取x一m=0时，结果为n;求 最大值则结合题目限定条件分析。 3.等式拆分型：遇x=a(a≥0)，拆成x=a或x=-a,解后需代入验证是否符合绝对值非负性。 【例1】(24-25七年级上·重庆永川期末)若1a+1川与(b-2)2互为相反数，则ab的值为 【变式1】(24-25七年级上，四川德阳期末)当2m+7-5的值最小时，1= 【变式2】(24-25七年级上·湖南岳阳期中)若(x-3)+y+5=0,则x=,y=一· 【变式3】(23-24七年级上·安微池州期末)已知，数轴上A,B,C三点对应的有理数分别为a,b,c.其 中点A在点B左侧，A,B两点间的距离为4，且a,b,c满足a+b+c-2024)2=0,则 (1)c的值为一· (2)数轴上任意一点P,点P对应的数为x,若存在x使x-a+r-b+x-c的值最小，则x的值为」 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、用科学记数法表示较大的数 1. 确定a和n:a满足1sa<10,将原数变为a时，小数点向左移动的位数就是n。 2. 计数位验证：n也等于原数整数位数减1，可快速核对结果是否正确。 3. 带单位换算：先把万、亿等单位转化为10的幂次形式，再结合前两步写出科学记数法。 【例2】(24-25七年级上·四川成都期末)第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附 近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度.第一宇宙速度的具体 数值是7900米/秒，用科学记数法表示7900应为」 【变式1】(24-25七年级上·重庆巫山期末)据统计，2024年考研报名人数约有438万，较2023年减少， 为自2015年来首次下降.把438万用科学记数法表示为. 【变式2】(24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔期末)央广网报道“中国旅游研究院数据显示2023-2024冰雪 季，我国冰雪休闲旅游人数超过3.85亿人次，预计新一轮，也就是2024-2025冰雪季有望突破5亿人次”， 数据3.85亿用科学记数法表示为 【变式3】(24-25七年级上江苏徐州期末)据综合测算，2024年“五一”假期徐州共接待游客571.78万人 次，徐州各大商圈特色活动不断出新，充分释放消费活力.将数据571.78万用科学记数法表示为】 类型三、根据点在数轴的位置判断式子的正负 1. 定数的正负：数轴上，原点左侧的点表示负数，右侧表示正数，原点为0，先明确每个点对应数的符 号。 2. 判运算结果：两数相加看绝对值大小，异号相减取绝对值大的符号；相乘除时，同号得正、异号得负。 3.结合绝对值化简：绝对值内式子为正，去绝对值不变号；为负则变号，化简后再判断最终正负。 【例3】(24-25六年级下·黑龙江绥化期末)有理数，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：① a-b<0;②ld>以，③二>1，④a+b>0,⑤-a>b;⑥ab<0.其中结论正确的个数是() A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 【变式1】(25-26七年级上山西晋城期中)若有理数α，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结 论正确的是() -101 b 2/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.a>b B.a D.abx0 【变式2】(2425七年级上·福建福州期末)如图，数轴上点A,B对应的有理数分别为a,b,下列说法 正确的是() A B 0 6 A.ab>0 B.b>a C.a+bx0 D.b-a>0 【变式3】(2425七年级上·湖北孝感期末)如图，数轴上的点A、B对应的有理数分别为α、b,则下列 结论中：①a+b<0;②a-b<0;③ab<0;④aa-b)<0,正确的有() B -10b1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 类型四、数轴上表示含绝对值乘方的有理数 1. 先化简有理数：先算乘方（注意符号，负数偶次幂为正、奇次幂为负），再根据绝对值非负性去绝对 值，将式子化为最简有理数。 2. 确定数轴位置：正数在原点右侧，负数在左侧，0在原点处，根据数值大小确定与原点的距离。 3. 标注并验证：在数轴对应位置标注点，结合有理数的大小关系，验证标注是否符合左小右大的数轴规 则。 【例4】(24-25七年级上福建龙岩·期末)画出数轴并表示下列各数：0，-+1)，-4，（-22,2 【变式1】(24-25七年级上全国期末)在数轴上表示下列各数，并将各数用“<”号连接起来： -,-35,含-，0.（←2 -6-5-4-3-2-10123456 【变式2】(24-25七年级上·全国期末)在如图所示的数轴上表示下列各数，并用<”将这些数连接起来： (-22，-4,-(-1.5,-12,0. 内42024→ 【变式3】(2425七年级上广东韶关期末)已知有理数：-1P,3,+5,0,15 (1)这些有理数中，整数有 个，负数有 个； 3/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)请补充完整数轴，并把上述各数所表示的点画在数轴上： (3)请把以上有理数按从小到大的顺序用“<”连接起来. 类型五、有理数的混合运算 1. 遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减：有括号先算括号内，多层括号从内到外依次计算 2. 巧用运算律简算：加法交换律、结合律凑整，乘法交换律、结合律、分配律简化计算，同级运算可调 整顺序。 3.注意符号规则：负号个数决定结果符号，奇负偶正；减去一个数等于加它的相反数。 【例5】(25-26七年级上·甘肃张掖期末)计算： 9*》-5x1-02 @-+h-+() 【变式1】(24-25七年级上浙江丽水期末)计算： a-1g号》： ②--4×[-3到2-5] 【变式2】(25-26七年级上黑龙江·期末)计算： (1)-12)-5+(-14-(-39): @-4×8-122-2] 【变式3】(25-26七年级上·湖南期末)计算： 0--1-05列×3[2-3] a-+-2j}-j明 4/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型六、有理数的运算中的新定义型问题 1. 读懂新定义规则：认真分析题目给出的新运算符号（如#、*）的运算公式，明确参与运算的数的位 置和计算步骤。 2.代入已知数计算：将题目中给定的有理数，严格按照新定义的规则代入式子，转化为常规的有理数加、 减、乘、除或乘方运算。 3.遵循常规运算律：代入后按先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内的顺序计算，同时注意符 号判断。 【例6】(24-25七年级下江西赣州期末)我们定义一种新运算：a*b=a'-b. 例如：3*2=32-2=7. (1)求(-2)*1的值； (2)求(-4)*2*-3)]的值 【变式1】(24-25七年级上广东惠州期末)若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b=a2-ab,如 2*3=22-2×3=4-6=-2. (1)求3*(-4)的值： (2)求(-2)*(6*3)的值. 【变式2】(24-25六年级上·山东淄博期末)定义一种新的运算：a★b=a×b-a-b2+1,例如 3★(-4)=3×(-4)-3-(-4)2+1，请用上述规定计算下面各式： (1)2★8； (2)(-5)★[3★(-2)]. 【变式3】(23-24七年级上河北沧州期末)用“口”定义一种新运算：对于任意有理数a和b,规定 a☆b=ab2+2ab+a. 如：1☆3=1×32+2×1×3+1=16. (1)2☆(-3)= (2)若 〔8，求a的值 (3)若2☆x=m， ☆3=n(其中x为有理数)，试比较m,的大小. 4 类型七、有理数的运算中规律探究问题 1. 列举前几项找规律：根据题目给出的初始算式，依次计算前3-4项的结果，观察数字、符号的变化特 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点，总结重复出现的模式。 2.归纳通用表达式：结合项数n,把规律转化为含n的代数式，注意区分奇偶项的符号差异，常用 (-1)”来表示符号交替。 3.代入验证防出错：将取简单数值代入表达式，核对结果是否与之前计算的项一致，确保规律准确。 【例7】(23-24八年级上·吉林四平.期末)观察下列各式的规律，然后回答问题 11 22； 1111 2×3236 111 1 1x22×33x4 …十 9×10 ()把横线处结果填出来 1 1 1 2猜想：1×2十2×3十3×4+…+ 一十 n(n+1 (3)说明你的猜想的合理性， 【变式1】(23-24七年级上·安微安庆期末)观察下列各式： 0-1x=-1+1 ②-x}-1+1 ③-x-1+1 2 2 2323 3434 (1)按照上述规律，第4个等式是： (2)写出第n个等式： (3)根据上述规律，计算： （对-(4 【变式2】(23-24七年级上·广东深圳期末)观察下列等式 111 111 第1个等式：41以22第2个等式：42x323 111 111 第3个等式：4,3×4行不：第4个等式：4=4x545: … 解答下列问题： )按以上规律写出第5个等式：a,=5x6 1 (2)求41+a2+…+a2023的值； )求，1+1+1 1 2×44×66×8 ++ 的值 98×100 【变式3】(23-24七年级上·安徽芜湖·期末)探索规律并解答问题： 1P=1x2x3 6 1P+22=2×3x5 6 ； 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1P+22+32=3×4×7 6: 1P+22+32+42=4×5×9 6； … (1)12+22+32+42+52= ;12+22+32+.+n2= (n为正整数)， (2)计算：62+72+82+92+102+112+122. 类型八、有理数的运算中应用问题 1. 审题列关系式：抓住“多、少、和、差、倍、分”等关键词，区分正负数含义（如收入为正、支出为 负)，把实际问题转化为有理数运算式。 2.按序准确计算：遵循先乘方、再乘除、后加减的运算顺序，有括号先算括号内，巧用运算律简化计算， 注意符号的正确判断。 3.检验答对应题意：计算后对照实际情境验证结果合理性，确认单位统一，最后规范写出答语。 【例8】(25-26七年级上湖北期末)某水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下(“+”表示进库，“-”表示 出库)：+50、-45、-33、+55、-41、-36. ()经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存150吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥 吨； (3)如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？ 【变式1】(24-25七年级上河北邯郸期末)某地将腌制的萝卜泡菜出口国外，现有20箱萝卜泡菜，以每 箱25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录情况如下表所示。 与标准重量的差值（单位：千克） -2.5 -2 -1.5 0 .5 箱数 2 (1)在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)求每箱萝卜泡菜的平均重量； (3)若萝卜泡菜每千克的售价为15元，求售完这20箱萝卜泡菜的销售总额. 【变式2】(24-25七年级上·吉林·期末)小李家购置了一辆续航为350km(能行驶的最大路程)的新能源 纯电汽车.他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：k,以40km为 标准，超过部分记为+”，不足部分记为“-”).已知该汽车第六天行驶了35km 7/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第 第二 第三 第四 第五 第六 第七 天 天 天 天 天 天 天 6 +2 +4 -3 +8 ■ ￥7 (1)在“■”处的数为-，这7天路程最多的一天比最少的一天多行驶_km; (②)已知小李家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航不足总续航的15%时，行车电脑就会发出充电提示.请 通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示， 【变式3】（24-25七年级上·河南郑州期末)出租车司机郑师傅某天上午从A地出发，在东西方向的公路 上行驶运营，下表是郑师傅这天上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负， ×表示空载， O表示载有乘客，且乘客都不相同)· 次数 1 里程 2 -12 +18 -1 -15 -8 +14 载客 (1)郑师傅走完第7次里程后，它在A地的 (填“东”或“西”)面，离A地有 千米； 2)己知出租车行驶每千米的油耗约0.07升，郑师傅开始营运前油箱里有7升油，若剩余油量少于2升则需 要加油，请通过计算说明郑师傅这天上午中途是否可以不加油： (3)已知载客时2千米以内收费7元，超过2千米后每千米收费1.6元，问郑师傅这天上午最高一次的营业额 是多少元？ 压轴专练 一、单选题 1.(25-26七年级上全国·期末)下列各组的两个数中，运算后结果相等的是() 4.-2与(-24 B.53与 C.-(-3)与--3 D.(-13与(-12 2.(25-26七年级上·福建泉州期末)“一带一路”建设项目2600多个累计发放贷款超过2000亿美元，涉及 8/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 交通、基础设施、装备出口等多个领域，其中2000亿用科学记数法表示为() A.2×10 B.2×10 C.1x102 D.2000×108 3.(25-26七年级上江苏徐州期末)数m、n在数轴上的大致位置如图所示，下列判断正确的是() m 0 A.m-n>0 B.m nx0 C.mn>0 D.m-n>0 4.（25-26七年级上江苏宿迁期末)如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第一次输出的结 果为18，第二次输出的结果为9，…，第2025次结果为() x为偶数 输入x 输出 r+3 x为奇数 A.3 B.6 C.9 D.12 5.(24-25七年级上·广西梧州期末)利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统， 图2是某个学生的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为 a,b,c,d,那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×2+c×2+d×2°（规定2°=1）.如图2， 第一行数字从左到右依次为0,1,0,1，序号为0×2+1×22+0×2+1×2°=5，表示该生为5班的学生.图 3中表示学生所在班级序号是() ▣ 图1 图2 图3 A.6 B.9 C.10 D.12 二、填空题 6.(24-25七年级下·湖南郴州期末)若(a+3)+b-2=0,且a,b都是有理数，则a= 7.(24-25七年级下·江西赣州期末)赣县位于江西省赣州市中部，被誉为“千里赣江第一县”，是一个非常 宜居的城市.2024年，赣县区的常住人口已经达到57.68万人，其中57.68万用科学记数法表示为 8.(24-25七年级上辽宁铁岭期末)生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数的，满十进一， 例如：212=2×102+1×10+2.在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如 9/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一， 根据图示，孩子已经出生的天数为 9.(24-25七年级上全国期末)若a,b互为相反数，c,d互为倒数，x的绝对值为4，则a+b-cd+x-1的 值为一 10.(24-25七年级上全国期末)如图，一条数轴上有点A、B、C,其中点A、B表示的数分别是-14,10 ,现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上A处，且A'B:A'C=2:3,则C点表示的数 是 B 三、解答题 11.(25-26七年级上全国期末)计算： a5+2斗-(23 @-4-6-2+25引 12.(24-25七年级上山东聊城期末)计算： 06x26x(-(8)月 -名2-（←]（引 13. (25-26七年级上江苏期末)计算： (2)-12025+16÷-2)°×-3 14.(25-26七年级上河南新乡·期末)计算： 0-+5-。 10/12 期末专题01 有理数及其运算的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、绝对值的非负性求解问题 类型二、用科学记数法表示较大的数 类型三、根据点在数轴的位置判断式子的正负 类型四、数轴上表示含绝对值乘方的有理数 类型五、有理数的混合运算 类型六、有理数的运算中的新定义型问题 类型七、有理数的运算中规律探究问题 类型八、有理数的运算中应用问题 压轴专练 类型一、绝对值的非负性求解问题 1. 和为0型：利用，若，则a=0且b=0，多变量同理，据此列方程求解未知数。 2. 最值求解型：绝对值部分最小为0，求的最小值，直接取=0时，结果为n；求最大值则结合题目限定条件分析。 3. 等式拆分型：遇=a(a0)，拆成x=a或x=-a，解后需代入验证是否符合绝对值非负性。 【例1】（24-25七年级上·重庆永川·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和非负数的性质．掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】与互为相反数， 答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 此时时，的值最小，则； 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解得关键是掌握非负数的性质．根据题意得到：，，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， 故答案为：，． 【变式3】（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 类型二、用科学记数法表示较大的数 1. 确定a和n：a 满足 1≤a<10，将原数变为 a 时，小数点向左移动的位数就是 n。 2. 计数位验证：n 也等于原数整数位数减1，可快速核对结果是否正确。 3. 带单位换算：先把万、亿等单位转化为10的幂次形式，再结合前两步写出科学记数法。 【例2】（24-25七年级上·四川成都·期末）第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是米/秒，用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·重庆巫山·期末）据统计，2024年考研报名人数约有438万，较2023年减少，为自2015年来首次下降．把438万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：438万． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）央广网报道“中国旅游研究院数据显示冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过亿人次，预计新一轮，也就是冰雪季有望突破亿人次”，数据亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键：科学记数法的表示形式为，确定的值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动的位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数即为的值． 根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：亿， 故答案为： ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）据综合测算，2024年“五一”假期徐州共接待游客571.78万人次，徐州各大商圈特色活动不断出新，充分释放消费活力．将数据万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：万用科学记数法表示为． 故答案为：． 类型三、根据点在数轴的位置判断式子的正负 1. 定数的正负：数轴上，原点左侧的点表示负数，右侧表示正数，原点为0，先明确每个点对应数的符号。 2. 判运算结果：两数相加看绝对值大小，异号相减取绝对值大的符号；相乘除时，同号得正、异号得负。 3. 结合绝对值化简：绝对值内式子为正，去绝对值不变号；为负则变号，化简后再判断最终正负。 【例3】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，由数轴可得，，进而根据有理数的运算法则逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，，，， ∴结论正确的有①③④⑥，共个， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·山西晋城·期中）若有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据数轴比较大小． 根据数轴得到，进而逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， 即，，，． 只有C正确． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，数轴上点，对应的有理数分别为，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查利用数轴比较数的大小，有理数减法，加法，乘法运算法则，正确理解数的大小是解题的关键．根据数据确定出，进而结合运算法则进行判断即可； 【详解】解：由数轴可知， 则， 故选D． 【变式3】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，数轴上的点A、B对应的有理数分别为a、b，则下列结论中：；；；，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了根据数轴判断式子正负． 先求出a、b的取值范围，再逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴， 即正确的有，，共3个， 故选：C． 类型四、数轴上表示含绝对值乘方的有理数 1. 先化简有理数：先算乘方（注意符号，负数偶次幂为正、奇次幂为负），再根据绝对值非负性去绝对值，将式子化为最简有理数。 2. 确定数轴位置：正数在原点右侧，负数在左侧，0 在原点处，根据数值大小确定与原点的距离。 3. 标注并验证：在数轴对应位置标注点，结合有理数的大小关系，验证标注是否符合左小右大的数轴规则。 【例4】（24-25七年级上·福建龙岩·期末）画出数轴并表示下列各数：0，，，，2 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数．熟练掌握在数轴上用点表示数，是解题的关键． 画出数轴，在数轴直接表示出所给数的位置即可． 【详解】解：，， 数轴表示如下： 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）在数轴上表示下列各数，并将各数用“＜”号连接起来： ，，，，，． 【答案】在数轴上表示见解析， 【分析】本题考查数轴，绝对值，有理数的大小，熟练掌握在数轴上表示有理数是解题的关键； 先将各数在数轴上表示出来，比较大小即可求解； 【详解】解：，，， 在数轴上表示为： 将各数用“＜”号连接起来：； 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将这些数连接起来： ，，，，0． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、利用数轴上的点表示有理数、有理数的乘方、绝对值，先将各个数进行计算，再表示在数轴上，比较即可得解． 【详解】解：∵，，，， 在数轴上表示为： ∴． 【变式3】（24-25七年级上·广东韶关·期末）已知有理数：，，，0，． (1)这些有理数中，整数有________个，负数有________个； (2)请补充完整数轴，并把上述各数所表示的点画在数轴上； (3)请把以上有理数按从小到大的顺序用“<”连接起来． 【答案】(1)3，3； (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查有理数的乘方，数轴上的点表示有理数，有理数的大小比较，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先化简各数，再进行分类即可； （2）把有理数在数轴上表示出来即可； （3）根据数轴上表示的有理数，从左到右，有小于号连接即可． 【详解】（1）解：，，0，是整数，有3个； ，，，，是负数，有3个， 故答案是：3,3； （2）解：如图所示： （3）解：． 类型五、有理数的混合运算 1. 遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内，多层括号从内到外依次计算。 2. 巧用运算律简算：加法交换律、结合律凑整，乘法交换律、结合律、分配律简化计算，同级运算可调整顺序。 3. 注意符号规则：负号个数决定结果符号，奇负偶正；减去一个数等于加它的相反数。 【例5】（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，包括乘除、加减、绝对值和乘方运算，解题时需注意运算顺序：先乘方、乘除后加减，有括号和绝对值时先计算内部； （1）先计算除法与乘法，再计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算绝对值，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·浙江丽水·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算顺序及乘法分配律的运用． （1）利用乘法分配律将分别与括号内的每一项相乘，再计算加减； （2）先计算乘方，再计算括号内的运算，接着计算乘法，最后计算减法． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）根据有理数的加减法则进行计算即可； （2）先算乘方，再进行小括号内的计算，继而算乘除，最后进行加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式3】（25-26七年级上·湖南·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算； （1）先计算乘方和小括号里的计算，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 类型六、有理数的运算中的新定义型问题 1. 读懂新定义规则：认真分析题目给出的新运算符号（如＃、＊）的运算公式，明确参与运算的数的位置和计算步骤。 2. 代入已知数计算：将题目中给定的有理数，严格按照新定义的规则代入式子，转化为常规的有理数加、减、乘、除或乘方运算。 3. 遵循常规运算律：代入后按先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内的顺序计算，同时注意符号判断。 【例6】（24-25七年级下·江西赣州·期末）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，准确理解题目中给出的新定义，按照要求计算为解题关键． （1）根据题目中给出的新定义列式计算即可； （2）根据题目中给出的新定义列式按照有理数混合运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， ． 【变式1】（24-25七年级上·广东惠州·期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)21 (2)40 【分析】本题考查了新定义和有理数的混合运算，正确理解新定义和有理数的运算法则解题的关键． （1）按照新定义法则把原式转化为有理数运算，再计算即可； （2）按照新定义法则把原式转化为有理数运算，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴． 【变式2】（24-25六年级上·山东淄博·期末）定义一种新的运算：，例如，请用上述规定计算下面各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算： （1）根据的运算法则列式计算即可； （2）先计算，再计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ． 【变式3】（23-24七年级上·河北沧州·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解一元一次方程，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用已知的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用已知新定义变形，得出a方程求解即可； （3）已知等式利用新定义表示出，，然后利用作差法比较即可． 【详解】（1）． 故答案为：8； （2）∵ ∴ 解得：； （3）由题意， ， ∵， ∴． 类型七、有理数的运算中规律探究问题 1. 列举前几项找规律：根据题目给出的初始算式，依次计算前3-4项的结果，观察数字、符号的变化特点，总结重复出现的模式。 2. 归纳通用表达式：结合项数n，把规律转化为含n的代数式，注意区分奇偶项的符号差异，常用(-1)n来表示符号交替。 3. 代入验证防出错：将n取简单数值代入表达式，核对结果是否与之前计算的项一致，确保规律准确。 【例7】（23-24八年级上·吉林四平·期末）观察下列各式的规律，然后回答问题． ； ； ______． (1)把横线处结果填出来． (2)猜想： ______． (3)说明你的猜想的合理性． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据已知等式发现计算规律是解题关键． （1）根据已知等式规律即可求解； （2）根据已知等式规律完成猜想即可； （3）根据已知等式规律即可求解． 【详解】（1）解：观察题中等式可知， , 故答案为：． （2）解：猜想：． 故答案为：． （3）解：由中的发现可知， ． 【变式1】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）观察下列各式： ①    ②    ③ (1)按照上述规律，第4个等式是：__________； (2)写出第个等式：__________； (3)根据上述规律，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数的四则混合运算，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）分别从两个因数找规律，利用规律求解； （2）利用（1）的特点，总结归纳即可． （3）利用（1）中的规律，拆项求解． 【详解】（1）解：∵①    ②    ③ 第4个等式是：． （2）由（1）归纳可得： 第个等式： （3） ． 【变式2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）观察下列等式 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：______； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的计算，找规律，利用规律求值． （1）仿照题目内容，写出第5个等式即可； （2）找到规律再计算即可； （3）利用规律，求和即可． 【详解】（1）按以上规律写出第5个等式：， 故答案为：； （2）∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： …， ∴第n个等式：， ∴ ； （3） ． 【变式3】（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）探索规律并解答问题： ； ； ； ； …； (1)________；________（为正整数）． (2)计算：． 【答案】(1)55； (2)595 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及数字的变化规律，根据题目中的算式，总结得到规律是解题的关键． （1）根据所给的4个算式的规律，可知，求解即可；根据所给的算式总结得到规律，即可获得答案； （2）用的值减去的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据所给的4个算式的规律，可得； 根据所给的算式，总结得到规律为：． 故答案为：55；； （2）原式 ． 类型八、有理数的运算中应用问题 1. 审题列关系式：抓住“多、少、和、差、倍、分”等关键词，区分正负数含义（如收入为正、支出为负），把实际问题转化为有理数运算式。 2. 按序准确计算：遵循先乘方、再乘除、后加减的运算顺序，有括号先算括号内，巧用运算律简化计算，注意符号的正确判断。 3. 检验答对应题意：计算后对照实际情境验证结果合理性，确认单位统一，最后规范写出答语。 【例8】（25-26七年级上·湖北·期末）某水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）：、、、、、． (1)经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥____________吨； (3)如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？ 【答案】(1)经过这6天，仓库里的水泥减少了；减少了吨 (2) (3)这6天要付元装卸费 【分析】本题考查了正数和负数的应用，有理数的加减法，有理数的乘法等知识点，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据有理数的加法运算，可得答案； （2）根据有理数的减法运算，可得答案； （3）根据装卸都付费，可得总费用． 【详解】（1）解： ， 答：经过这6天，仓库里的水泥减少了，减少了吨； （2）解：（吨）， 答：6天前仓库里存有水泥吨， 故答案为：200； （3）解： （元）， 答：这6天要付元装卸费． 【变式1】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）某地将腌制的萝卜泡菜出口国外，现有20箱萝卜泡菜，以每箱25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录情况如下表所示． 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1.5 2 箱数 4 2 4 3 6 1 (1)在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)求每箱萝卜泡菜的平均重量； (3)若萝卜泡菜每千克的售价为15元，求售完这20箱萝卜泡菜的销售总额． 【答案】(1)千克 (2)千克； (3)元． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的减法运算，有理数的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有理数的减法进行列式计算，即可作答． （2）根据题意，结合平均数的公式进行列式计算，即可作答． （3）结合（2）的结论，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（千克）， ∴在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重千克； （2）解：（千克）， ∴每箱萝卜泡菜的平均重量为千克； （3）解：由（2）得每箱萝卜泡菜的平均重量为千克； 依题意，（元）， ∴售完这20箱萝卜泡菜的销售总额为元． 【变式2】（24-25七年级上·吉林·期末）小李家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车．他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)在“”处的数为 ，这7天路程最多的一天比最少的一天多行驶 ； (2)已知小李家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航不足总续航的时，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)，14； (2)行车电脑不会发出充电提示． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减应用，有理数的乘法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意，得，即可得“”处的数为；再比较，然后列式，即可作答． （2）理解题意，先算出总的路程，得，因为续航为，剩余续航不足总续航的时，行车电脑就会发出充电提示，然后，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵该汽车第六天行驶了． ∴， ∴在“”处的数为； ∵， ∴， ∴这7天路程最多的一天比最少的一天多行驶； （2）解： 则 ∴ ∴，故行车电脑不会发出充电提示． 【变式3】（24-25七年级上·河南郑州·期末）出租车司机郑师傅某天上午从地出发，在东西方向的公路上行驶运营，下表是郑师傅这天上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负，表示空载，表示载有乘客，且乘客都不相同）． 次数 1 2 3 4 5 6 7 里程 载客 (1)郑师傅走完第7次里程后，它在地的__________（填“东”或“西”）面，离地有__________千米； (2)已知出租车行驶每千米的油耗约0.07升，郑师傅开始营运前油箱里有7升油，若剩余油量少于2升则需要加油，请通过计算说明郑师傅这天上午中途是否可以不加油； (3)已知载客时2千米以内收费7元，超过2千米后每千米收费1.6元，问郑师傅这天上午最高一次的营业额是多少元？ 【答案】(1)西，6 (2)郑师傅这天上午中途可以不加油，见解析 (3)郑师傅这天上午最高一次的营业额是32.6元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，绝对值，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可； （3）分别求得每次载客后的营业额后即可求得答案． 【详解】（1）解：（千米）， 即郑师傅走完第7次里程后，它在A地的西面，离A地有6千米， 故答案为：西；6； （2）解：（千米）， ∴（升）． ， 郑师傅这天上午中途可以不加油． （3）解：由表格可得第3次载客行驶了18千米，行驶的路程越多，营业额越高， ∴（元）． 答：郑师傅这天上午最高一次的营业额是32.6元． 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期末）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方、相反数和绝对值，将四个选项中的各数计算出来是解题的关键． 将四个选项中的各数都计算出来，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：A、，，，故不符合题意； B、，，，故不符合题意； C、，，，故不符合题意； D、，，，故符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）“一带一路”建设项目2600多个累计发放贷款超过2000亿美元，涉及交通、基础设施、装备出口等多个领域，其中2000亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．将2000亿转换为数字，利用科学记数法的定义（数字部分在1到10之间）进行表示． 【详解】解：2000亿， 故选：B． 3．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）数、在数轴上的大致位置如图所示，下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答． 根据数轴，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由数轴可得， ， ，故选项A不合题意； ，故选项B不合题意； ，故选项C不合题意， ，故选项D符合题意． 故选：D． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查运算程序，代数式的值，规律探索，根据运算程序先判断输入的数是奇数还是偶数，是奇数选择运算，是偶数选择计算，直到从第4次开始偶数次输出结果为6，奇数次输出结果为3，根据2025为奇数，即可得出第2025次结果． 【详解】解：第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， ， 从第次开始，以，依次循环， 因为， 所以第次输出的结果为． 故选：A． 5．（24-25七年级上·广西梧州·期末）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为（规定）．如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．图3中表示学生所在班级序号是（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，图3中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，据此根据题意计算出对应的序号即可得到答案． 【详解】解：如图3，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，即表示该生为9班的学生， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）若，且，都是有理数，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查偶次幂、绝对值的非负性，非负数的性质，有理数的乘方，求出、的值是解决问题的关键． 根据偶次幂、绝对值的非负性，非负数的性质，求出、的值再代入计算即可． 【详解】解：因为， 所以，， 即，， 所以， 故答案为：9． 7．（24-25七年级下·江西赣州·期末）赣县位于江西省赣州市中部，被誉为“千里赣江第一县”，是一个非常宜居的城市．2024年，赣县区的常住人口已经达到万人，其中万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：万， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数的，满十进一，例如：．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示，孩子已经出生的天数为 ． 【答案】92天 【分析】本题考查有理数的混合运算，六进制与十进制转换的关系，结合已知条件中“满十进一”的算式可列出“满六进一”的算式. 【详解】解：∵“满十进一”的数， ∴图片中“满六进一”的数表示的为， ∴孩子已经出生的天数为92天 故答案为：92天 9．（24-25七年级上·全国·期末）若互为相反数，互为倒数，的绝对值为4，则的值为 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查有理数的运算，根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，互为相反数的两个数的绝对值相同，结合有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴或； 故答案为：2或4． 10．（24-25七年级上·全国·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上处，且，则C点表示的数是 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的减法运算，先求出的长，再由折叠的性质得到，再分当点在的右侧时，当点在的左侧时，两种情况分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵点A、B表示的数分别是，10， ∴， 由折叠可知， 当点在的右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 当点在的左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 故答案为：4或 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，涉及绝对值、乘方、乘除、加减运算，按照先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减的顺序计算． （）按照先算绝对值，再从左到右依次进行乘除运算的顺序求解， （）按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 12．（24-25七年级上·山东聊城·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将分数除法转化为乘法，再去括号并约分化简即可； （2）先算括号里面的，乘方，再算乘除，最后算加减即可． 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（25-26七年级上·江苏·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算括号内减法，再将除法化为乘法计算，最后进行加法计算； （2）先计算乘方，再进行乘除计算，最后进行加减计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解： 原式． 14．（25-26七年级上·河南新乡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算乘方，化简绝对值，再计算括号里的加法，然后计算乘法，最后计算加法即可； （2）先计算乘方，化简绝对值，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1） （2） 15．（25-26七年级上·全国·期末）为保证粤海铁路的运输安全，检修小组会定期在凌晨的个小时空窗期乘坐检修车由北向南检修线路，从A点开始检修，共检查了10个检修点（包含A点），若每个检修点检修时长基准为分钟，超过分钟，记为正，不足分钟，记为负，下面是某次他们对每个检修点检修时长的记录（单位：分钟）：，，，，，，，，，． (1)收工时，他们检修线路一共花费了多长时间? (2)若每两个相邻检修点之间的平均距离为千米，检修车的速度为千米/分钟，那么请你计算检修小组能否在空窗期结束前回到点? 【答案】(1)分钟 (2)检修小组能在空窗期结束前回到点 【分析】本题考查正负数的应用及有理数混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）用个检修点的基准总时间加上每个检修点超过或不足的时间即可得答案； （2）先计算个检修点之间的距离，即可得出检修车在路上需要的时间，加上检修时间，得出总时间，与分钟比较，即可得答案． 【详解】（1）解：（1）（分钟）， 答：收工时，他们检修线路花费了分钟． （2）解：个检修点来回共需行驶（千米）， 因为检修车的速度为千米/分钟， 所以检修车在路上需要行驶（分钟）， 所以本次检修所需要的总时间为（分钟）， 因为检修空窗期为（分钟），分钟分钟， 所以检修小组能在空窗期结束前回到A点． 16．（25-26七年级上·吉林长春·期末）概念学习：规定，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方”． (1)初步探究：直接写出计算结果：______； (2)深入思考：我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算． 例如： 类比上面的计算，将下列运算结果直接写成幂的形式：______； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，除方的运算法则，解题的关键在于正确理解除方的运算法则． （1）根据除方的运算法则，以及有理数的乘除运算法则计算求解，即可解题； （2）根据除方的运算法则，以及有理数乘方整理求解，即可解题； （2）根据除方的运算法则，以及含乘方的有理数的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 17．（24-25七年级上·新疆吐鲁番·期末）对有理数a，b，定义一种新运算T：规定．例如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算及整式的加减运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示无人上车或下车． 停靠站 起点站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 终点站 上、下车人数 ； ； ； ； ； ； (1)中间第站上车的人数是 人，下车的人数是 人； (2)途中的个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车； (3)公共汽车离开中间第站时车上的人数为 人，离开中间第站时车上的人数为 人； (4)从表中你还能知道什么信息？ 【答案】(1)1；7 (2)6；3 (3)24；22 (4)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加减法的应用，正确理解正负数的意义是解题关键． （1）根据表格中的数据，正数表示上车人数，负数表示下车人数解答即可； （2）在表格的数据中，找出上车人数为0人、下车人数为0人即可得； （3）将起始点的人数，与中间第1站和中间第2站的上、下车人数相加即可得；再与中间第3站、中间第4站的上、下车人数相加即可得； （4）在表格的数据中，途中的个站中，分别找出上、下车人数最多的站点即可得． 【详解】（1）解：由表格可知，中间第站上车的人数是1人，下车的人数是7人， 故答案为：1；7． （2）解：由表格可知，途中的个站中，中间第3站的下车人数为0人，中间第6站的上车人数为0人， 所以途中的个站中，第6站没有人上车，第3站没有人下车， 故答案为：6；3． （3）解：公共汽车离开中间第站时车上的人数为 （人）， 离开中间第站时车上的人数为 （人）， 故答案为：24；22． （4）解：从表中可以知道，途中的6个站中，中间第5站下车的人数最多，中间第1站上车的人数最多． 19．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）某地将腌制的萝卜泡菜出口国外，现有20箱萝卜泡菜，以每箱25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录情况如下表所示． 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1.5 2 箱数 4 2 4 3 6 1 (1)在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)求每箱萝卜泡菜的平均重量； (3)若萝卜泡菜每千克的售价为15元，求售完这20箱萝卜泡菜的销售总额． 【答案】(1)千克 (2)千克； (3)元． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的减法运算，有理数的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有理数的减法进行列式计算，即可作答． （2）根据题意，结合平均数的公式进行列式计算，即可作答． （3）结合（2）的结论，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（千克）， ∴在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重千克； （2）解：（千克）， ∴每箱萝卜泡菜的平均重量为千克； （3）解：由（2）得每箱萝卜泡菜的平均重量为千克； 依题意，（元）， ∴售完这20箱萝卜泡菜的销售总额为元． 20．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期末）在数学活动课上，张老师让同学们观察下列算式： 第个：； 第个：； 第个：； … 完成下列问题： (1)请根据上述规律填空：_______； (2)根据上述规律猜想第个算式：_______； (3)； (4)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了数字类的规律型，有理数的混合运算，分式的加减法，读懂题目信息，观察出规律是解答本题的关键． （1）根据规律即可求解； （2）根据规律即可猜想出第个算式； （3）根据规律即可求解； （4）根据规律即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据上述规律猜想第个算式为， 故答案为：； （3）解：原式 （4）解： ， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $