4.3.1 对数的概念(第一课时) 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“对数的概念”，涵盖对数定义、指数与对数互化及常用、自然对数等核心知识点。导入从16世纪天文计算难题切入，通过纳皮尔对应思想表格将乘除运算转化为指数加减，以指数函数为前导知识支架，构建从具体运算简化到抽象概念的学习脉络。 其亮点在于以历史情境驱动培养数学眼光，通过类比加减乘除运算引出对数定义发展数学思维，结合《九章算术》应用题渗透文化与应用意识。学生能提升抽象能力和探究兴趣，教师可借助结构化资源高效实施概念教学。

的 对 数 念 概 § 4.3.1 授课对象：高一学生 教材版本：人教A版 主讲人： 1 目 录 2 新知引入 在16世纪，随着哥白尼“日心说”的盛行，天文学也蓬勃发展欧洲人渐渐热衷于地理探险和海洋贸易，特别是地理探险需要更准确的天文知识，需要对庞大的“天文数据”进行快速和准确的计算，但那时候还没有计算机，人们迫切需要找到一种方法让运算变得简便，那该怎么办呢? 3 新知引入 只能从运算方法出发去简化运算! 在16世纪，随着哥白尼“日心说”的盛行，天文学也蓬勃发展欧洲人渐渐热衷于地理探险和海洋贸易，特别是地理探险需要更准确的天文知识，需要对庞大的“天文数据”进行快速和准确的计算，但那时候还没有计算机，人们迫切需要找到一种方法让运算变得简便，那该怎么办呢? 4 为了简化数值计算，1614年纳皮尔利用对应思想发表《奇妙的对数定律说明书》 新知引入 纳皮尔 （1550-1617） 5 新知引入 纳皮尔的对应思想 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 … 𝒇(𝒏) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 … 6 新知引入 计算下列四个算式： 7 新知引入 关键：把每个数转化为 这样一来，就可以将整数的乘法、除法、乘方、开方转化为对应指数的加法、减法、乘法、除法。 利用表格计算以下式子 8 新知引入 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 11 12 13 14 15 16 17 18 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 19 20 21 22 23 24 25 524288 1048576 2097152 4194304 8388608 16777216 33554432 26 27 28 29 …… 37 67108864 134217728 268435456 536870912 …… 137438953472 299792458×499=? ≈8.9（保留一位小数） ≈28.1（保留一位小数） 9 新知引入 26 27 28 29 …… 37 67108864 134217728 268435456 536870912 …… 137438953472 299792458×499=149596436542 上述指数过于粗略。实际上，用有限小数精确表达出来，是不可能做到的。 10 新知引入 【思考】如果幂的底数不是２，而是任意正数a，那么，如何求给定幂的指数呢？ 11 新知引入 【回顾】指数函数图像及其性质，说明x的存在性和唯一性。 a > 1 1 > a > 0 12 新知建构 观察数的运算的发展，思考问题： 引入？？ 引入开方 引入除法 引入减法 (1)已知 求 (2)已知 求 (3)已知 求 (4)已知 求 对数 13 新知建构——对数的定义 对数：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底N的对数，记作 其中 叫做对数的底数， 叫做真数。 对数的读法： 以a为底N的对数 对数的写法： 对数的符号： 14 新知建构——对数的定义 【拓展】 纳皮尔将对数记作logarithm. “log”是拉丁文logarithm的缩写，这个词是希腊文logos(关系)和arithmos（数）两词合成。 体现对应思想 新知建构——对数的定义 对数：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底N的对数，记作 其中 叫做对数的底数， 叫做真数。 对数的读法： 以a为底N的对数 对数的写法： 对数的符号： 16 新知建构——对数和指数间的关系 17 新知建构——对数和指数间的关系 三条结论 负数和零没有对数 三个范围 18 新知建构——两种特殊对数 它们的值分别是1，2，3，-1，-2，-3 所以可以知道以10的正整数幂的常用对数值等于真数里0的个数； 10的负整数幂的常用对数值是一个负数，它的绝对值等于小数里0的个数。 19 新知建构——两种特殊对数 自然在哪里？ 很多反映自然规律的数学模型都包含e，如放射性元素的衰变公式、牛顿的冷却定律、细胞繁殖规律等. 其中是一个和圆周率一样重要的无理数，可以说它和的关系就象孪生兄弟一样。 ≈2.71828… 并且把记为 20 新知巩固 例1：把下面指数式化为对数式，对数式化为指数式。 21 新知巩固 例1：指数式化为对数式 解： 22 新知巩固 例1：对数式化为指数式 解： 23 新知巩固 例2：求下列各式中x的值 24 新知巩固 例2：求下列各式中x的值 解： 25 例3：今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。 问：几何日相逢？ 新知巩固 【分析】现在有一面5尺厚的墙,两只老鼠从两面相对着打洞。 大老鼠第一天打一尺的洞,小的也是第一天打1尺。 大鼠从第2天开始每天打洞是前一天的2倍距离（第二天2尺,第三天4尺,第四天8尺……） 小的从第2天开始每天打洞是前一天的一半的距离（第二天1/2尺,第三天1/4尺,第四天1/8尺……） 问何日将墙打穿? 《九章算术》中的第196题 例3：今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。 问：几何日相逢？ 新知巩固 《九章算术》中的第196题 解：设两鼠x日相遇，由题意可知： 化简得： 即： 由等比数列求和公式可得： 课堂小结 299792458×499=? 转化的数学思想 类比的数学思想 28 课堂小结 两种特殊对数 对数的定义 对数和指数间的关系 29 课堂小结 曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立称为17世纪数学的三大成就。 ——恩格斯 对数的发明极大的延长了天文学家们的生命。 ——拉普拉斯 给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。 ——伽利略 30 课堂小结 对数者，苦乘除之烦，变为加减，用之作历，省易无讹者也。此算经三变，可称精详简易矣。 ——薛凤祚(中国引进对数第一人) 31 课后作业 1.（必做题）完成课后练习第131页习题1、2、3； 2.（拓展题）进一步了解对数的发展史、无理数e. 32 的 对 主讲人：XXX 教材版本：人教A版 授课对象：高一学生 数 念 概 § 4.3.1 33 Lavf57.83.100 Lavf57.83.100 $