20.2勾股定理的逆定理及其应用（第2课时）导学案 2025-2026学年 人教版数学八年级下册

该初中数学导学案聚焦勾股定理逆定理的应用，通过“温故知新”回顾定理概念及互逆关系，衔接实际应用问题，以问题链引导学生从已知信息到构建模型，搭建“理解-应用-归纳”的学习支架。 资料以航海、建房等真实情境案例为载体，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过“标注信息-构建模型-求解”步骤培养数学思维，分层习题与互动质疑设计，助力发展推理意识与应用意识，提升解决实际问题能力。

20.2勾股定理的逆定理及其应用（2） 一、温故知新（导） 你还记得勾股定理和它的逆定理吗? 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？ 这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。 学习目标 1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. 学习重难点 重点：应用勾股定理的逆定理解决实际问题. 难点：灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题. 二、自我挑战（思） 1、如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ （1）题目已知了哪些信息？ “远航”、“海天”号的速度，运行时间，QR30，“远航”号的航向. （2）由题目信息，可以得出什么？ PQ，PR， QR的长度，QPN45°(即下图中∠145°). （3）需要解决的问题是什么？ 求出两艘船航向所成的角∠QPR，结合图形，∠1已知，所以求∠QPR就可以转化为求∠2. （4）已知线段的长度求角的度数，可以用什么知识呢？ 勾股定理的逆定理 2、请同学们尝试写出解题过程. 解：由题意得： PQ161.524，PR121.518，QR30 ∵242182302，即PQ2PR2QR2 ∴QPR90° 由“远航”号沿东北方向航行可知145° ∴245° 即“海天”号沿西北方向航行. 三、互动质疑（议、展） 1、除了航海领域，勾股定理的逆定理在实际生活中还有哪些应用呢？ 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格. 2、 解：∵ABDC8，ADBC6， ∴AB2BC28262100 又∵AC29281 ∴AB2BC2AC2 ∴ABC90° ∴该农民挖的不合格. 2、归纳总结： 解决实际问题的步骤： （1）标注有用信息，明确已知和所求； （2）构建几何模型——从整体到局部； （3）应用数学知识求解. 3、实例： 例2 工厂生产一批零件，如图所示，当BAD、BDC均为直角时才合格，经测量AD3，AB4，BD5，DC12，BC13，这批零件是否合格？ 解：∵AD3，AB4，BD5 ， 易得AD2AB2BD2， ∴由勾股定理的逆定理得，△ABD是直角三角形BAD90°. 又∵BD5，DC12，BC13 可得BD2DC2BC2 ， ∴△BCD为直角三角形，BAD90°. ∴这批零件合格. 四、清点战果（评） 今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？ 五、一战成名（检） 1、如图，小肖同学有4根长度不一的木棍，取其中三根木棍可以拼成一个直角三角形的是（　　） A．4cm,5cm,8cm B．3cm,4cm,5cm C．3cm,4cm,8cm D．3cm,5cm,8cm 1、解：∵42+52=41≠82，故A不符合题意； ∵42+32=25=52，故B符合题意； ∵3+4＜8，不能组成三角形，故C不符合题意； ∵3+5=8，不能组成三角形，故D不符合题意； 故选：B． 2、如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（　　） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．勾股定理的逆定理 D．直角三角形的两锐角互余 2、解：若AB2+BC2=AC2， 则△ABC是直角三角形，且∠B=90°， 故选：C． 3、李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30cm,40cm和50cm,则这个教具 （填“合格”或“不合格”）． 3、解：合格， 理由是：∵302+402=502， ∴三边为30cm,40cm和50cm的三角形是直角三角形， 所以合格， 故答案为：合格． 4、明明散步从A到B走了41米，从B到C走了40米，从A到C走了9米，则∠A+∠B的度数是 ． 4、解：∵从A到B走了41米，从B到C走了40米，从A到C走了9米， ∴AB=41，BC=40，AC=9， 由勾股定理的逆定理得：412=402+92， ∴△ACB是直角三角形，AB是斜边， ∴∠A+∠B=90°． 故答案为：90°． 5、在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB=6.5千米，CD=6千米，BD=2.5千米．求证：CD⊥AB． 5、证明：由题知BD=2.5，CD=6，BC=6.5， 在三角形BCD中，BD2+CD2=BC2， ∴三角形BCD是直角三角形， ∴∠CDB=90°， ∴CD⊥AB． 六、用 （一）必做题 1、古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于180° D．勾股定理 1、解：设相邻两个结点的距离为m,则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m, ∵（3m）2+（4m）2=（5m）2， ∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：B． 2、如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点 构成直角三角形（请填“能”或“不能”） 2、解：能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2=AB2． 3、如图，学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，连接AC，测出CD=3，AD=4，BC=12，AB=13，AD⊥CD，求需要绿化部分的面积  ． 3、解：∵∠ADC=90°， ∴AC2=AD2+CD2=16+9=25， ∵AC2+BC2=25+144=132=AB2， ∴△ABC为直角三角形， 需要绿化部分的面积=S△ACB-S△ACD=×AC•BC-AD×CD=×5×12-×4×3=24（m2）． 故答案为：24m2． 4、某住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是 米2． 4、解：连接AC，如图， ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°， ∵AB=3米，BC=4米，∴AC=5米， ∵CD=12米，DA=13米， ∴△ACD为直角三角形， ∴草坪的面积等于=S△ABC+S△ACD=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36米2． 故答案为36． 5、如图，小圆家（点C）和小方家（点B）相距2.6km,他们同时从学校（点A）放学回家，5分钟后同时到家．已知小方沿东北方向每分钟骑车480m,小圆每分钟步行200m,请求出小圆家在学校的什么方位． 5、解：由题意得：AB=5×480=2400=2.4km,AC=5×200=1000=1km, ∵BC=2.6km, ∴2.42+12=2.62， 即AC2+AB2=BC2， ∴小西家在学校北偏西45°方向上． （二）选做题 6、一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 6、 解：∵42+32=52，52+122=132， 即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°， 同理，∠ACD=90° ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD =×3×4+×5×12 =6+30 =36． 7、如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ 7、解：设MN与AC相交于E，则∠BEC=90° ∵AB2+BC2=52+122=132=AC2， ∴△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°， 由于MN⊥CE，所以走私艇C进入我国领海的最短距离是CE， 由S△ABC=AB×BC=AC×BE，得BE=（海里）， 由CE2+BE2=122，得CE=（海里）， ∴÷13=≈0.85（h）=51（min） 9时50分+51分=10时41分． 答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2勾股定理的逆定理及其应用（2） 一、温故知新（导） 你还记得勾股定理和它的逆定理吗? 我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？ 这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。 学习目标 1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. 学习重难点 重点：应用勾股定理的逆定理解决实际问题. 难点：灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题. 二、自我挑战（思） 1、如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ （1）题目已知了哪些信息？ （2）由题目信息，可以得出什么？ （3）需要解决的问题是什么？ （4）已知线段的长度求角的度数，可以用什么知识呢？ 2、请同学们尝试写出解题过程. 三、互动质疑（议、展） 1、除了航海领域，勾股定理的逆定理在实际生活中还有哪些应用呢？ 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格. 2、归纳总结： 解决实际问题的步骤： （1）标注有用信息，明确已知和所求； （2）构建几何模型——从整体到局部； （3）应用数学知识求解. 3、实例： 例2 工厂生产一批零件，如图所示，当BAD、BDC均为直角时才合格，经测量AD3，AB4，BD5，DC12，BC13，这批零件是否合格？ 四、清点战果（评） 今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？ 五、一战成名（检） 1、如图，小肖同学有4根长度不一的木棍，取其中三根木棍可以拼成一个直角三角形的是（　　） A．4cm,5cm,8cm B．3cm,4cm,5cm C．3cm,4cm,8cm D．3cm,5cm,8cm 2、如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（　　） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．勾股定理的逆定理 D．直角三角形的两锐角互余 3、李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30cm,40cm和50cm,则这个教具 （填“合格”或“不合格”）． 4、明明散步从A到B走了41米，从B到C走了40米，从A到C走了9米，则∠A+∠B的度数是 ． 5、在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB=6.5千米，CD=6千米，BD=2.5千米．求证：CD⊥AB． 六、用 （一）必做题 1、古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于180° D．勾股定理 2、如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点 构成直角三角形（请填“能”或“不能”） 3、如图，学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，连接AC，测出CD=3，AD=4，BC=12，AB=13，AD⊥CD，求需要绿化部分的面积  ． 4、某住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是 米2． 5、如图，小圆家（点C）和小方家（点B）相距2.6km,他们同时从学校（点A）放学回家，5分钟后同时到家．已知小方沿东北方向每分钟骑车480m,小圆每分钟步行200m,请求出小圆家在学校的什么方位． （二）选做题 6、一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 7、如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $