期末专题03 一元一次方程的十类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册

期末专题03 一元一次方程的十类综合题型 目录 典例详解 类型一、一元一次方程的定义 类型二、利用一元一次方程的定义求参数 类型三、已知方程的解求字母或代数式的值 类型四、等式的基本性质 类型五、解一元一次方程 类型六、解一元一次方程错解复原 类型七、已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 类型八、已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 类型九、一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 类型十、解一元一次方程中的新定义型拓展问题 压轴专练 类型一、一元一次方程的定义 1. 看整式结构：方程必须是整式方程，分母中不能含有未知数，像+2=3这类式子就不是一元一次方程。 2. 查未知数数量与次数：只含一个未知数，且未知数的最高次数为1，比如2x+3=0符合，x2-1=0或x+y=5则不符合。 3. 验等式属性：必须是等式，带有等号，不含等号的代数式不能算作方程。 例1．（24-25七年级上·云南·期末）下列方程是一元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可求解，熟记：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，故符合题意； B、有两个未知数，不是一元一次方程，故不符合题意； C、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，故不符合题意； D、含不是整式的项，不是一元一次方程，故不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．是不等式，不是方程，排除； B．，化简得，是整式方程且仅含未知数，次数为1，符合条件； C．含两个未知数，不是一元方程，排除； D．右边不是整式，不是一元一次方程，排除； 故选B． 【变式1-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列选项中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，掌握含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程成为解题的关键． 根据一元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 方程含有两个未知数和，不符合“一元”条件，不是一元一次方程，不符合题意； B． 方程中未知数的次数为2，属于二次方程，不符合“一次”条件，不是一元一次方程，不符合题意； C． 方程展开后为，化简后为，仅含一个未知数且次数为1，是一元一次方程，符合题意； D． 是不等式，不是方程，不符合题意． 故选：C． 类型二、利用一元一次方程的定义求参数 1. 紧扣定义列条件：根据一元一次方程只含一个未知数、未知数最高次数为1、是整式方程的要求，列出关于参数的等式，比如含 x的方程axn +b=0需满足n=1且a≠0。 2. 排除矛盾情况：求解参数后，要检验是否会使未知数系数为0或出现分母含未知数的情况，避免违背一元一次方程的整式属性。 例2．（24-25七年级上·全国·期末）已知关于 的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的定义，解题关键是熟练掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义即可得解． 【详解】解：是一元一次方程， ， ． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是 1 （次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a， b是常数且）．根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， 且， 解得：． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键． 根据一元一次方程的定义列式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 类型三、已知方程的解求字母或代数式的值 1. 代入消元：将已知的方程解代入原方程，把方程转化为只含待求字母的新方程，比如把x=2代入ax+3=7，得2a+3=7。 2. 求解新方程：按照一元一次方程的解法算出待求字母的值，若要求代数式的值，再把求得的字母值代入代数式计算。 3. 检验核对：将结果回代原方程，验证等式是否成立，避免计算失误。 例3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如果是关于x的方程的解，则a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中即可求出a的值． 【详解】解：把代入关于x的方程中，得 ， 解得， 故答案为：4． 【变式3-1】（24-25七年级上·陕西延安·期末）关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入，求出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25六年级下·山东威海·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程解的意义，整体代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．因为是关于的一元一次方程的解，将代入方程可得，观察所求代数式中与已知等式的关系，整体代入求值即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程的解，代入得： ， ， ． 故答案为：． 类型四、等式的基本性质 1. 同加同减保等式：等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍成立。解方程移项时，要变号，本质就是运用这一性质，避免移项漏号的错误。 2. 同乘同除有条件：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式不变。除以一个数时，必须先判断这个数不为0，防止出现无解或增根的情况。 例4．（24-25七年级上·四川泸州·期末）下列各式进行的变形中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，故选项A错误； B．若，则，故选项B错误； C．若，则，故选项C正确； D．若，则，故选项D错误． 故选：C． 【变式4-1】（24-25七年级上·全国·期末）运用等式的基本性质，下列变形错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．直接利用等式的基本性质分别分析得出答案． 【详解】解：A． 若，则，原变形正确，该选项不符合题意； B． 若，则，原变形正确，该选项不符合题意； C． 若，则，则，原变形正确，该选项不符合题意； D． 若，则，即，原变形错误，该选项符合题意； 故选：D． 【变式4-2】（24-25七年级上·山东枣庄·期末）下列判断错误的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．直接利用等式的基本性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．分别分析得出答案． 【详解】解：A、如果，那么，正确，不合题意； B、如果，那么，正确，不合题意； C、如果，那么，正确，不合题意； D、如果，当时，那么，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 类型五、解一元一次方程 1. 去分母去括号有序：去分母时两边同乘各分母最小公倍数，勿漏乘无分母项；去括号遵循“正不变负变号”法则，避免符号错误。 2. 移项合并要规范：移项必须变号，未移项的项符号不变；合并同类项时系数相加减，未知数及次数保持不变。 3. 系数化为1求结果：两边同除以未知数系数，系数为负数时注意不等号方向（解方程时无此顾虑，仅解不等式需注意），最后回代检验。 例5．（25-26七年级上·贵州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）移项， 合并同类项， 方程的两边都除以即可求解． （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，方程的两边都除以即可求解． 【详解】（1）解： 移项，得． 合并同类项，得． 方程的两边都除以，得． （2）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 方程的两边都除以，得． 【变式5-1】（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程： （1）先去括号，再移项，最后系数化为； （2）先去分母，再去括号，移项后合并同类项，最后系数化为． 【小题1】解：， ， ， ， 所以原方程的解是； 【小题2】解： ， ， ， ， 所以原方程的解是． 【变式5-2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：整理得， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 类型六、解一元一次方程错解复原 1. 定位错因：对比正确步骤和错误步骤，聚焦易错环节，比如去分母漏乘常数项、移项未变号、去括号符号出错，精准找到错误根源。 2. 按错求解：先顺着错误思路代入计算，求出题目中的参数值，再用正确方法重新解方程，得出标准答案。 3. 对比总结：整理错误类型和对应注意事项，避免同类错误重复出现。 例6．（23-24七年级上·北京延庆·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为……第一步， 方程两边同时乘15，得……第二步， 去括号，得……第三步， 移项，得……第四步， 合并同类项，得……第五步， 系数化为1，得……第六步 上述小明的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． 请你写出正确的解题过程． 【答案】三，去括号时没有改变符号；正确的解题过程见解答 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握其求解步骤是本题的关键．按照一元一次方程的求解步骤逐步检查并纠正即可． 【详解】解：小明的解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有改变符号． 故答案为：三，去括号时，与相乘的积的符号错误； 正确的解题过程如下： 原方程可化为：， 方程两边同时乘15，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式6-1】（24-25七年级下·江西赣州·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的解题过程： 解方程：． 解：去分母，得：…第一步 去括号，得：…第二步 移项，得：…第三步 合并同类项，得：…第四步 系数化1，得：…第五步 (1)上述小蒙的解题过程从第______步开始出现错误，具体的错误是______． (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；去分母没有加括号； (2)见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键． （1）根据解题过程可发现，第一步去分母没有带括号，即可作答； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：小蒙的解题过程从第一步开始出现错误，具体的错误是去分母没有加括号； 故答案为：一；去分母没有加括号； （2）解：， 解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：． 【变式6-2】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得（第一步） 去括号，得（第二步） 移项，得（第三步） 合并同类项，得（第四步） 系数化为1，得（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一： ①上述解答过程中，第一步的变形依据是________________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________； 任务二：请你写出解该方程的正确解题过程． 【答案】任务一：①等式的性质二；②三，移项未变号；任务二：见解析 【分析】本题考查了解含有分母的一元一次方程，熟悉各步骤，注意各步的注意事项是解题的关键． 任务一：①第一步是去分母，其依据是等式的性质二，据此即可完成； ②观察每步变形知，第三步开始出现错误，原因是移项未变号； 任务二：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，即可求解． 【详解】解：任务一：①第一步是去分母，其依据是等式的性质二； 故答案为：等式的性质二； ②第三步开始出现错误，原因是移项未变号； 故答案为：三；移项未变号； 任务二：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 类型七、已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 1. 解方程表参数：先将参数看作常数，解出方程的解，把解整理为用参数表示的代数式，比如解ax+b=0得x=-。 2. 分析整数条件：根据解为整数的要求，确定参数需满足的条件，让代数式的分子能被分母整除，同时保证未知数系数不为0，避免违背一元一次方程定义。 例7．（24-25七年级上·山东日照·期末）若关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能值为 ． 【答案】2，0，3， 【分析】此题考查解一元一次方程，根据方程的解的情况求参数，正确理解方程的解为整数由此得到k的值是解题的关键． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解为整数， ∴或， ∴，0，3，， 故答案为2，0，3，． 【变式7-1】（24-25七年级上·重庆巴南·期末）已知关于x的方程的解是整数，且a为整数，则满足条件所有a值的和为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．先解含有字母参数a的方程，求出x，再根据关于x的方程的解是整数，列出关于a的方程，解方程求出a，再根据a是整数，求出所有符合条件的a值，并求出它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于x的方程的解是整数， ∴或或或， 解得：或2或或或3或0或或， ∵a是整数， ∴满足条件所有a值为0或1或2或3， ∴满足条件所有a值的和为：， 故答案为：6． 【变式7-2】（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）若关于的方程的解为整数，且关于的多项式是二次三项式，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为整数推出是整数，进而得到解得或3或7或；再根据多项式次数和项的定义得到且，据此得到所有满足条件的整数a的值为3，7，，由此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是整数， ∴是整数，且 ∴或7或1或， ∵是二次三项式， ∴， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为3，7， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案：7． 类型八、已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 1. 代入求参：把已知方程的解代入含参数的方程，解出参数的具体数值，注意计算时符号和系数的准确性。 2. 代参求解：将求得的参数值代入另一个一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，算出新方程的解。 3. 回代检验：把结果代入两个方程验证，确保参数值和新方程的解都正确。 例8．（24-25七年级上·全国·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】2029 【分析】本题考查换元法求方程的解，将方程转化为，根据的解为，得到，进行求解即可． 【详解】解：方程可化为． ∵方程的解为， ∴ 的解为， ． 故答案为：2029． 【变式8-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，一元一次方程的解法，根据方程的解的定义利用整体代入思想求解．设，可得，从而可得答案． 【详解】∵的解为， ∴设，则的解为， 解得． 故答案为：． 【变式8-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．将化为，根据关于x的一元一次方程的解可知关于的一元一次方程的解，从而求出关于y的一元一次方程：的解即可． 【详解】解：可化为， ∵关于x的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 类型九、一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 1. 吃透新定义：认真阅读题干，提取新定义的核心规则、符号含义或运算方式，将抽象定义转化为熟悉的数学表达式，避免遗漏条件。 2. 结合方程本质：紧扣一元一次方程的定义，把新定义内容代入，构建符合“一个未知数、次数为1、整式方程”要求的等式。 3. 规范求解检验：按解一元一次方程的步骤计算，最后将结果代入新定义规则中检验，确保答案符合题意。 例9．（24-25七年级上·吉林·期末）用“※”定义一种新运算，规则如下，． (1)计算：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，理解新定义运算法则是解题关键． （1）根据已知新定义运算法则计算即可； （2）根据已知新定义运算法则得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：， ， 解得：． 【变式9-1】（24-25七年级上·吉林·期末）用“”定义一种新运算，规则如下：． (1)计算：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数混合运算及新定义，解题的关键是理解新定义． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． 故答案为：． （2）解： 解得：． 【变式9-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）定义一种新运算“”：．例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解一元一次方程等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列出算式或方程是解题的关键． （1）依题意得，，然后按照含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可——先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减； （2）由可得，整理得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：依题意得： ； （2）解：， ， 整理，得：， 解得：， 的值为． 类型十、解一元一次方程中的新定义型拓展问题 1.吃透新定义：认真阅读题干，提取新定义的核心规则、符号含义或运算方式，将抽象定义转化为熟悉的数学表达式，避免遗漏条件。 2.结合方程本质：紧扣一元一次方程的定义，把新定义内容代入，构建符合“一个未知数、次数为1、整式方程”要求的等式。 3. 规范求解检验：按解一元一次方程的步骤计算，最后将结果代入新定义规则中检验，确保答案符合题意。 例10．（24-25七年级上·广东广州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程 “和谐方程”（填“是”或“否”）； (2)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，判断即可； （2）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，列出方程，解方程求出的值即可； （3）先解出方程的解，再根据“和谐方程”的定义得出方程的解为：，代入方程，结合题意，即可得出，，求出与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 解得：， ∵与互为相反数， ∴方程与方程是“和谐方程”． 故答案为：是． （2）解：， 解得：， ， 解得：， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， 解得：． （3）解：， 解得：， ∵关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”， ∴方程的解为：， 将代入方程，得， 整理，得， ∵无论取任何有理数，上式都成立， 故，， 解得：，， ． 【变式10-1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）【新型定义】若，则称与是关于7的“奇妙数”． 例如：如果，那么与是关于7的“奇妙数”． (1)【初步探究】求①5与___________是关于7的“奇妙数”； ②___________与是关于7的“奇妙数”； ③与___________是关于7的“奇妙数”； (2)【拓展提升】若与是关于7的“奇妙数”，求的值． 【答案】(1)①，②，③ (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，能灵活运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键，也考查了解一元一次方程的应用． （1）根据已知条件得出即可； （2）根据已知条件得出，再求出方程的解即可． 【详解】（1）解：（1）①∵， ∴5与是关于7的“奇妙数” ②∵ ∴， ∴与是关于7的“奇妙数” ③∵ ∴， ∴与是关于7的“奇妙数”； ∴答案为；；． （2）∵与是关于7的“奇妙数”， ∴， ∴． 【变式10-2】（24-25七年级上·河北保定·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解的和为，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为；，所以方程与方程为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1)是“美好方程”，理由见解析 (2) 【分析】（）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可； （）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出的值即可； 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 【详解】（1）解：方程与方程是“美好方程”，理由如下： 解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程与方程是“美好方程”； （2）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级上·河南商丘·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义进行逐一判断即可：只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程． 本题主要考查了一元一次方程的定义，熟知定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； D、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意； 故选A． 2．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C．3 D．8 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．把代入方程得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得． 故选：A 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）下列等式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质是解题关键．根据等式的性质逐一判断即可 ． 【详解】解：若， ∵等式两边同时加上(或减去)同一个数，等式仍然成立， ∴，，故A、B选项正确，不符合题意； 若， ∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立， ∴，故C选项正确，不符合题意； 若，则， ∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的式子，等式仍然成立， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·山西临汾·期末）关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程化简为关于的一元一次方程，代入各值计算对应的解，对比选项即可判断错误解． 【详解】原方程可化简为，解得（）． 当时，，与一致，正确． 当时，，但表中，矛盾，错误． 当时，，与一致，正确． 当时，，与一致，正确． 综上，错误的解为选项B． 故选B． 5．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列解方程的过程中正确的是（　　） A．方程去括号得 B．方程移项得 C．将去分母得 D．由得 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，根据去括号，移项，去分母，化整的步骤逐项分析即可． 【详解】解：A．方程去括号得，故不正确； B．方程移项得，故不正确； C．将去分母得，正确； D．由得，故不正确； 故选C． 6．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）若关于x的方程与有相同的解，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．根据解一元一次方程的一般步骤求出方程的解，代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解： ， ∵关于x的方程与有相同的解， ∴是关于x的方程的解， ∴， 解得：， 故选：B． 7．（24-25七年级上·河南安阳·期末）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A．14 B．45 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．先解一元一次方程可得，再由方程的解为正整数，则或，求出的值即可求解． 【详解】解：， ， ， 方程有正整数解， ， ， 方程的解是正整数， 或， 解得或， ， 故选：D． 8．（24-25七年级上·山东临沂·期末）若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查方程解的定义，换元法及同解方程知识，根据题意，令，则关于的方程与关于的方程是同解的方程列式求解即可得到答案，熟记方程解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：令， 由是方程的解可知， 关于的方程的解满足， 解得， 故选：B． 9．（24-25七年级上·四川广安·期末）已知关于的一元一次方程（其中为常数），若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“恰解方程”．例如：方程的解恰好为，则方程为“恰解方程”．若关于的一元一次方程是“恰解方程”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程；求出关于x的一元一次方程的解，根据此方程是“恰解方程”，得关于k的方程，解方程即可求得k的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程是“恰解方程”， ∴， ∴， 解得． 故选A． 10．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下列结论： ①若是关于x的方程的一个解，则； ②若，则关于x的方程的解为； ③若，且，则一定是方程的解． 其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程解的定义．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等． 【详解】解：①把代入得：，故结论正确； ②若，关于x的方程，移项，得：， 则，则原结论错误； ③把代入方程得，方程一定成立， 则一定是方程的解，结论正确． 故选：B． 二、填空题 11．（24-25七年级上·吉林·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是 ，根据定义求解即可，熟记一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， 解得：， 故答案为： 12．（24-25七年级上·河北承德·期末）如图所示的框图表示淇淇解方程的流程． 出现错误的步骤是 （用流程中的序号表示）． 【答案】④ 【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤是：移项，合并同类项，未知数的系数化为. 根据解一元一次方程的步骤判断即可 【详解】解： ， 出现错误的步骤是④， 故答案为：④. 13．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）当 时，方程是关于x的一元一次方程． 【答案】1或3 【分析】此题主要考查了一元一次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数元，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．通常形式是为常数，且 根据一元一次方程的定义可得，，据此解答即可． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， ， 解得或 故答案为：1或 14．（24-25七年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，这是一个正方体的表面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，解一元一次方程，熟练掌握根据正方体的表面展开图找出相对面，是解题的关键．根据正方体的表面展开图，找出相对面，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可知： 2与相对，与相对，5与相对， 正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数， ，， ， ∴． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知是方程的解，那么代数式的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，求代数式的值，熟练掌握方程的解是解题的关键．把解代入方程，求得m，n的关系式，再变形计算代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴ ． 故答案为：7． 16．（24-25七年级上·四川德阳·期末）已知关于的方程与的解相同．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程．先解方程，求得，再把代入，解方程即可求解． 【详解】解：解方程， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得， ∵关于的方程与的解相同， ∴， 解得， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）已知，为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：．若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据新定义，建立起方程，解答即可． 本题考查了新定义运算，解方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：1． 18．（24-25七年级上·重庆·期末）已知关于x的方程有整数解，则满足条件的所有整数k之和为 ． 【答案】4 【分析】本题考查解一元一次方程及方程的解，理解并掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键．先去分母解得方程的解，再根据方程的解为整数得到整数k值，进而求和即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， ∵该方程有整数解，k为整数， ∴，， ∴，2，，6， 则满足条件的所有整数k之和为， 故答案为：4． 19．（24-25七年级上·江苏南京·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元一次方程的解，比较两个方程的特点即可得出解．把看作一个整体，结合已知方程即可得出，即可求出y的值． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程中的， ∴， 故答案为：2025． 20．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）现定义运算“☆”，对于任意有理数a与b，满足，例如：，，若有理数x满足，则x的值为 ． 【答案】8或 【分析】本题考查了新定义，以及解一元一次方程，理解运算“☆”的法则，进行分类讨论，逐个解出x的值，即可作答． 【详解】解：∵现定义运算“☆”，对于任意有理数a与b，满足， ∴当时，则， 解得； ∴当时，则， 解得； 综上：x的值为8或， 故答案为：8或． 三、解答题 21．（24-25七年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的一般步骤求解即可； （2）按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 22．（24-25七年级上·全国·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1． （1）先去括号，然后移项并合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后未知数系数化为1． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项、合并同类项，得， 方程两边同时除以，得 ； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 23．（23-24七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：________，得    第一步 去括号，得        第二步 移项，得        第三步 合并同类项，得        第四步 方程两边同除以2，得    第五步 (1)以上求解步骤中，第一步进行的是________； (2)以上求解步骤中，第________步开始出现错误； (3)请写出正确解方程的过程． 【答案】(1)去分母 (2)三 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母， 故答案为：去分母； （2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号， 故答案为：三； （3）解： 两边同乘6得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同除以2，得． 24．（24-25七年级上·陕西安康·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程．与方程是否为“美好方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1)是“美好方程”，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，理解“美好方程”的定义及计算，掌握解一元一次方程的方法是关键． （1）根据解一元一次方程的方法解方程，再根据“美好方程”的定义判定即可； （2）分别解方程，再根据“美好方程”的定义得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：是“美好方程”，理由如下， ， 解得，， ， 解得，， ∵， ∴与方程是“美好方程”； （2）解：， 解得，， ， 解得，， ∵关于的方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得，． 25．（23-24七年级上·江西赣州·期末）对于两个不相等的有理数，我们规定符号表示中的较大值，如： ，按照这个规定解决下列问题： (1) ； ； (2)方程的解为 ； (3)当时，解方程：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数比较大小，化简绝对值，解一元一次方程，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意得，然后解方程即可； （）由，则，，故有，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴；， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，， ∴， 解得：． 26．（24-25七年级上·江苏常州·期末）定义：若，则称a与b是关于2的关联数． (1)5与______是关于2的关联数，______与是关于2的关联数（用含x的代数式表示）； (2)若，，判断a与b是否是关于2的关联数，并说明理由； (3)若，，且m与n是关于2的关联数，求x的值． 【答案】(1)， (2)与是关于2的关联数；详见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据题意，仿照示例，得到，，分别求出，即可； （2）先化简，，判断，即可得到结果； （3）由题意，得到，化简可得，讨论的取值，解方程，即可得到的值． 【详解】（1）解：设5与是关于2的关联数， ， ， 设与是关于2的关联数， ， ， 故答案为：，； （2）解：与是关于2的关联数，理由如下： ， ， ， 与是关于2的关联数； （3）解：与是关于2的关联数，，， ， ， 当时，，得， 当时，，得， 综上所述，或． 27．（24-25七年级上·四川成都·期末）对于任意的有理数、、、，我们约定．例如：．根据我们的约定，解答下列问题： (1)计算：； (2)若，求的值； (3)试比较与的大小． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了定义新运算、一元一次方程、整式的加减，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义进行化简，得到，求解方程即可得出的值； （3）先根据新定义进行化简，得出，，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， ， ， 解得：， 的值为． （3）解：， ， ， ． 28．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）关于的方程与关于的方程（均为不等于0的常数），两个方程的解的和为1，则称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与方程为“和谐方程”． (1)已知方程与方程，试说明这两个方程为“和谐方程”； (2)若关于的方程与关于的方程为“和谐方程”，求的值； (3)若关于的方程与关于的方程为“和谐方程”，且，能被3整除（为正整数），求的值． 【答案】(1)见详解 (2)22 (3)，或， 【分析】本题考查解一元一次方程，代数式求值，掌握“和谐方程”的定义，是解题的关键． （1）求出方程的解，根据“和谐方程”的定义，解答即可； （2）求出两个方程的解，根据“和谐方程”的定义，得到，再代入求解即可； （3）求出两个方程的解，根据，能被3整除（为正整数），进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， ∵， ∴方程与方程这两个方程为“和谐方程”． （2）解：解方程得， 解方程得， ∵关于的方程与关于的方程为“和谐方程”， ∴，即， ∴． （3）解：解方程得：， 解方程得：， ∵关于的方程与关于的为“和谐方程”， ∴，即， ∵，能被3整除（为正整数）， ∴可能为：3，6，9，12，15，18， ∴当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，，或，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题03一元一次方程的十类综合题型 目录 典例详解 类型一、一元一次方程的定义 类型二、利用一元一次方程的定义求参数 类型三、已知方程的解求字母或代数式的值 类型四、等式的基本性质 类型五、解一元一次方程 类型六、解一元一次方程错解复原 类型七、已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 类型八、已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 类型九、一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 类型十、解一元一次方程中的新定义型拓展问题 压轴专练 典例详解 类型一、一元一次方程的定义 1. 看整式结构：方程必须是整式方程，分母中不能含有未知数，像一+2=3这类式子就不是一元一次方 X 程。 2. 查未知数数量与次数：只含一个未知数，且未知数的最高次数为1，比如2x+3=0符合，x2-1=0或 xy=5则不符合。 3.验等式属性：必须是等式，带有等号，不含等号的代数式不能算作方程。 例1.(24-25七年级上·云南期末)下列方程是一元一次方程的是（) A. 2x-1=0 B.3x-2y=1 C.x2=4 D.1-2=3 【变式1-1】(24-25七年级下·河南洛阳·期末)下列是一元一次方程的是() 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x≠0 B.2(x-3)=3x C.3x+2y=7 D.x-1=I x 【变式1-2】(2425七年级下·吉林长春·期末)下列选项中，是一元一次方程的是() A.3r+y=1 B.2x2+1=3 C.3x-3=2(x-2) D.2x-3<0 类型二、利用一元一次方程的定义求参数 1.紧扣定义列条件：根据一元一次方程只含一个未知数、未知数最高次数为1、是整式方程的要求，列 出关于参数的等式，比如含x的方程ax+b=0需满足n=1且a≠0。 2.排除矛盾情况：求解参数后，要检验是否会使未知数系数为0或出现分母含未知数的情况，避免违 背一元一次方程的整式属性。 例2.(2425七年级上·全国期末)已知关于的方程4+3= 是一元一次方程，则m 【变式2-】(2425七年级上全国期末)已知a-2列+10=0是关于x的一元一次方程，则u的值为 【变式2-2】(2425七年级上全园期未)已知m-r-2024=2025是关于x的一元一次方程，则m= 类型三、已知方程的解求字母或代数式的值 1.代入消元：将已知的方程解代入原方程，把方程转化为只含待求字母的新方程，比如把x2代入 ar+3=7,得2a+3=7。 2.求解新方程：按照一元一次方程的解法算出待求字母的值，若要求代数式的值，再把求得的字母值 代入代数式计算。 3.检验核对：将结果回代原方程，验证等式是否成立，避免计算失误。 例3.(24-25七年级上江苏南京·期末)如果x=1是关于x的方程-x+2a=3x+4的解，则a的值为 【变式3-1】(24-25七年级上陕西延安期末)关于x的一元一次方程3x一(k+2)=0 的解是x=4,则 2/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k+5的值为一· 【变式3-2】(24-25六年级下山东威海期末)若x=-2是关于的一元一次方程mx+”=4m≠0) 的解， 则6m-3n+1的值是一 类型四、等式的基本性质 1. 同加同减保等式：等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍成立。解方程移项时，要变 号，本质就是运用这一性质，避免移项漏号的错误。 2. 同乘同除有条件：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式不变。除以一个数时，必须先判 断这个数不为0，防止出现无解或增根的情况。 例4.(24-25七年级上四川泸州期末)下列各式进行的变形中，正确的是() A.若m=n’则m+1=n-1 B.若阳A,则贺=1 mn C.若m=n,则am=am D.若m=n’则a=a 【变式4-1】(24-25七年级上·全国·期末)运用等式的基本性质，下列变形错误的是() x_y A.若m=n,则m+a=n+a B.若32，则2x=3y m n C.若a+ia+1,则m+1=n+1 D.若42，则2m=n 【变式4-2】(24-25七年级上·山东枣庄·期末)下列判断错误的是() a b A.如果a=b,那么ac-d=bc-d B.如果a=b,那么c2+1c2+ C.如果=3，那么=3x D.如果x=r,那么a=b 类型五、解一元一次方程 1.去分母去括号有序：去分母时两边同乘各分母最小公倍数，勿漏乘无分母项：去括号遵循“正不变 负变号”法则，避免符号错误。 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.移项合并要规范：移项必须变号，未移项的项符号不变：合并同类项时系数相加减，未知数及次数 保持不变。 3.系数化为1求结果：两边同除以未知数系数，系数为负数时注意不等号方向（解方程时无此顾虑， 仅解不等式需注意)，最后回代检验。 例5.(25-26七年级上·贵州期末)解方程： (1)3x-8=5x-6: 2x-2+1=2x-l (2)3 2· 【变式5-1】(24-25七年级上·甘肃酒泉·期末)解方程： --+7 2x-1=2-x-4 (2)2 5 【变式5-2】(24-25七年级上·甘肃武威期末)解下列方程： 3y-1-1-5y-7 (1)4 6 -12x+1=1 (2)0.2-0.5 类型六、解一元一次方程错解复原 1.定位错因：对比正确步骤和错误步骤，聚焦易错环节，比如去分母漏乘常数项、移项未变号、去括 号符号出错，精准找到错误根源。 2.按错求解：先顺着错误思路代入计算，求出题目中的参数值，再用正确方法重新解方程，得出标准 答案。 3.对比总结：整理错误类型和对应注意事项，避免同类错误重复出现。 例6.(23-24七年级上·北京延庆·期末)本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 2x-0.3_x+0.4-1 0.50.3 20x-310x+4=1…第一步， 解：原方程可化为5一3 方程两边同时乘15，得3引20xr-3引-510x+4)=15 …第二步， 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 去括号，得60x-9-50x+20=15…第三步， 移项，得60x-50x=15+9-20…第四步， 合并同类项，得10x=4…第五步， 系数化为1，得x=0.4…第六步 上述小明的解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 请你写出正确的解题过程. 【变式6-1】(24-25七年级下·江西赣州期末)本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的解 题过程： 解方程： x+1_3x+2=3 24 解：去分，得：2x+-3x+2=12第一步 去括号，得：2x+2-3x+2=12…第二步 移项，得：2x-3x=12-2-2…第三步 合并同类项，得：-x=8…第四步 系数化1，得：x=-8.…第五步 ()上述小蒙的解题过程从第步开始出现错误，具体的错误是 (2)请你写出正确的解题过程. 2x-1=1-3- 【变式6-2】(24-25七年级上·宁夏银川期末)下面是小明解方程3 6的过程： 解：去分母，得22x-=6-3-(第一步) 去括号，得4x-2=6-3+x(第二步) 移项，得4x+x=6-3-2(第三步) 合并同类项，得5x=1(第四步) 系数化为1，得x=亏（第五步） 根据解答过程完成下列任务. 任务一： ①上述解答过程中，第一步的变形依据是 ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二：请你写出解该方程的正确解题过程. 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型七、已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 1.解方程表参数：先将参数看作常数，解出方程的解，把解整理为用参数表示的代数式，比如解 6-0得 0 2.分析整数条件：根据解为整数的要求，确定参数需满足的条件，让代数式的分子能被分母整除，同 时保证未知数系数不为0，避免违背一元一次方程定义。 例7.(24-25七年级上山东日照·期末)若关于x的一元一次方程x=x+2的解为整数，则整数k的所有可 能值为一· ax-3 x-4 【变式7-H】(2425七年级上重庆巴南：期末)已知关于x的方程32=2的解是整数，且a为整 数，则满足条件所有a值的和为一· 【变式7-2】(2425七年级上厘庆九龙拔期未)若关于x的方程2x--3x+-1的解为整数，且 关于少的多项式a-ly广+aw-l 是二次三项式，则所有满足条件的整数的值之和是一， 类型八、已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 1.代入求参：把已知方程的解代入含参数的方程，解出参数的具体数值，注意计算时符号和系数的准 确性。 2. 代参求解：将求得的参数值代入另一个一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、 系数化为1的步骤，算出新方程的解。 3.回代检验：把结果代入两个方程验证，确保参数值和新方程的解都正确。 例8，（24-25七年级上全国期末)已知关于x的一元一次方程2024+6=2024r+m的解为x=2024:则 关于y的一元一次方程2024 5-y-6=2024(5-y)-m的解是— 【变式81】(2425七年级上浙江绍兴期末)已知关于，的一元一次方程024+8=2024+“的解为 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=-2025,那么关于y的一元一次方程2024 6-y+8=2024(6-y)+a的解为y=— 【变式8-2】(2425七年级上浙江金华期末)已知关于x的一元一次方程2023+6=2024x+m的解为 x=5,那么关于y的一元一次方程2023 12-y-6=202412-川-m的解为一· 类型九、一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 1. 吃透新定义：认真阅读题干，提取新定义的核心规则、符号含义或运算方式，将抽象定义转化为熟 悉的数学表达式，避免遗漏条件。 2. 结合方程本质：紧扣一元一次方程的定义，把新定义内容代入，构建符合“一个未知数、次数为1、 整式方程”要求的等式。 3.规范求解检验：按解一元一次方程的步骤计算，最后将结果代入新定义规则中检验，确保答案符合 题意。 a※b=2a2-5b 例9.(24-25七年级上·吉林·期末)用“※”定义一种新运算，规则如下， (-3)※4= (1)计算： 2若6)※(x-8到=12 求x的值 【变式9-1】(24-25七年级上·吉林·期末)用“⑧”定义一种新运算，规则如下：a⑧b=ab-2a+b. (1)计算：(-6)⑧10= (10+x)⑧(-8)=12 (2)若 ,求的值. 【变式9-2 】(2425七年级上甘肃兰州期末)定义一种新运算，※，：※b=。+2ab 例如： 3※2=32+2×3×2=21.」 ④求-3列※(-2的值： (2)若-3到※r=3 ,求x的值 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型十、解一元一次方程中的新定义型拓展问题 1.吃透新定义：认真阅读题干，提取新定义的核心规则、符号含义或运算方式，将抽象定义转化为熟悉 的数学表达式，避免遗漏条件。 2.结合方程本质：紧扣一元一次方程的定义，把新定义内容代入，构建符合“一个未知数、次数为1、整 式方程”要求的等式。 3.规范求解检验：按解一元一次方程的步骤计算，最后将结果代入新定义规则中检验，确保答案符合 题意。 例10.(24-25七年级上广东广州期末)定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个 方程为“和谐方程”.例如：方程2x=4和x+2=0为“和谐方程”. 0店关于：的方发7后 =6与方程7x-3=4x+6-“和谐方程”（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程3x+m=0与方程4x-2=x+10是“和谐方程”，求m的值： 2x+ma b (3)若无论m取任何有理数，关于x的方程3=2+m（a'b为常数)与关于y的方程y+1=2y-2都 是“和谐方程”，求ab的值. 【变式10-1】(24-25七年级下辽宁丹东期末)【新型定义】若A-B=7,则称A与B是关于7的“奇妙 数”. 例如：如果2x+2-(2x-5列=2x+2-2x+5=7 那么2r+2与2x-5是关于7的“奇妙数”. (1)【初步探究】求①5与」 是关于7的“奇妙数”： ②】 与x-10是关于7的“奇妙数”； ®-x+2与 是关于7的“奇妙数”： ②【拓展提升】若M=2x-引-4与N=(x+3(2r-是关于7的“奇妙数”，求x的值 【变式10-2】(24-25七年级上河北保定期末)阅读下列材料，并完成相应的任务 定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”. 例如：方程4x=8的解为x=2,方程+1=0的解为=-，2+-1=1，所以方程4x=8与方程+1=0 为“美好方程” 请判断方程4r-x+5列=1与方程2y-y=3是否为“美好方程”，并说明理由： 8/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2y+1y8=1是“美好方程”，求m的值. (2)若关于x的方程2x+m=0与方程3-6 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级上河南商丘·期末)下列方程中，是一元一次方程的是（) 3 A.x-2 B.2x-y=5 1+2=1 C. D.3x2-2x=6 2.(24-25七年级上山东菏泽期末)若x=-3是关于x的方程3x-a=2x+5的解，则a的值为() A.-8 B.-3 C.3 D.8 3.(24-25七年级下·福建泉州期末)下列等式变形中，不正确的是() A.若a=b,则a+1=b+1 B.若a=b,则a-2=b-2 C.若-3a=-3b,则a=b D.若4ac=4bc,则a=b 4.(24-25七年级下·山西临汾期末)关于x的方程ax-x=2,当a取不同值时，欣欣得到方程的解如下 表所示，其中错误的解是() 1 -1 2 3 x x=-1 1 2= 4 X3-2 x4=1 A.x=-1 B.=-4 C.x3=2 D.x4=1 5.(24-25七年级上·山东聊城期末)下列解方程的过程中正确的是() A.方程40-53x-7)=2(8x+2)去括号得40-15x-7-16c+4 B.方程6x+13=13-7x移项得-6x+7x=13+13 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-x.2x+1=4去分母得3引4-刘-22x+1)=24 C.将23 x-10.x+02=1得2-5 D.由0.2 x-1_x+2=10 0.5 6。(2425七年级上黄州毕节期术)若关于的方程2x-2-2与12%-0有相阿的解，则加的值是 2 () A.1 B.2 C.3 D.4 7。(425七年级上河有安布明末)已知关于x的方程。音1有正整数解，则整数。的所有可能 的取值的和为() A.14 B.45 C.-45 D.-14 8.（24-25七年级上山东临沂期未)若关于x的方程2x+1=, 2025x+a的解为x=-3,则关于y的方程 2(y-1)+1= 20250y-)+a的解为() A.少1 B.y=-2 C.-3 D.不能确定 9.(2425七年级上四川广安期末)已知关于的一元一次方程r+h=0 其中a*0a, 为常数)，若 这个方程的解恰好为x=4-b,则称这个方程为“恰解方程”.例如：方程2x+4=0的解恰好为 x=-2=2-4,则方程2x+4=0为“恰解方程”.若关于x的一元一次方程6x-k=0是“恰解方程”，则 k的值为() 36 36 A.-5 B.-7 c D.4 10.(24-25七年级上河北石家庄·期末)下列结论： ①若x=l是关于x的方程a+bx+c=0的一个解，则a+b+c=0: 1 ②若b=2a,则关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=一2： ③若-a+b+c=1,且a≠0，则x=-1一定是方程ar+b+c=1的解. 其中正确的结论有() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 10/14