专题03 一元一次方程（3大知识点+10大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材北师大版

专题03 一元一次方程 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 知识点02 等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的传递性 知识点03 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【考点1 一元一次方程的定义】 【例1】（24-25七年级上·吉林白城·期末）下列式子是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．本题考查了一元一次方程的定义，熟知：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，是解题的关键． 【详解】解：A、不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、不是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、是一元一次方程，故此选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选： 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，难度较小．根据一元一次方程的定义“含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程”作答即可． 【详解】解：A、是代数式，不满足一元一次方程的定义，该选项不符合题意； B、有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不符合题意； C、，是一元一次方程，该选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元一次方程，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列选项中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是方程，故此选项不符合题意； B、没有未知数，不是方程，故此选项不符合题意； C、是不等式，不是方程，故此选项不符合题意； D、是一元一次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）下列式子，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一次方程，据此判断即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是方程，该选项不合题意； 、是一元一次方程，该选项符合题意； 、不是方程，该选项不合题意； 、含有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 【考点2 利用一元一次方程的定义求参数】 【例2】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则m，n应满足的条件为m ，n ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ， 解得， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃定西·期末）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是，系数不为，则这个方程是一元一次方程．可根据未知数的系数及未知数的指数列出关于的方程，继而求出的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】题目主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题关键．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是(a，b是常数且），据此求解即可． 【详解】解：因为是关于x的一元一次方程， 所以 且， 解得． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，本题属于基础题型．根据一元一次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：由原方程，得， 解得或， ， ， 解得． 故答案为：． 【考点3 已知方程的解求字母或代数式的值】 【例3】（23-24七年级上·北京石景山·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·广东深圳·期末）若是关于x的方程的解，则a的值为 【答案】7 【分析】把解代入方程，解方程求得a值即可． 本题考查了一元一次方程的解，即使得方程左右两边相等的未知数的值，解一元一次方程，熟练掌握方程的解，灵活解方程是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴, 解得， 故答案为：7． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，先根据方程的解满足方程求得，再代值求解即可． 【详解】解：把代入关于x的一元一次方程中，得， 所以． 故答案为：2026 【变式3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知方程的解为．则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据方程的解为，可以求得的值，然后整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：方程的解为， ， ， ， 故答案为：． 【考点4 等式的基本性质】 【例4】（25-26七年级上·广东东莞·期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质：等式两边加、减、乘或除以（除数不为零）同一个数，结果仍相等． 根据等式的性质逐一判断各选项是否满足正确即可． 【详解】解：A：当时，分母为零，变形错误； B：由，应得，而非，变形错误； C：由，两边同乘，得，正确； D：由，两边同乘2，得，而非，变形错误． 故选C． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）下列式子是运用等式的性质进行的变形，其中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是明确等式两边同时除以同一个数（或式子）时，这个数（或式子）不能为零． 若，根据等式性质1（等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立），两边同时减可得，故A正确；根据等式性质2（等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为零的数，等式仍成立），两边同时乘可得，故B正确；是不为零的常数，两边同时除以可得，故C正确；若，当时，两边不能同时除以，此时不一定等于，故D错误． 【详解】解：A、若，根据等式性质1，等式两边同时减去，得，此选不项符合题意； B、若，根据等式性质2，等式两边同时乘，得，此选项不符合题意； C、若，，根据等式性质2，等式两边同时除以，得，此选项不符合题意； D、若，当时，等式两边不能同时除以，此时不一定等于，此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、如果，那么或，原写法错误，不符合题意； B、如果，那么，原写法错误，不符合题意； C、如果，当时，那么，原写法错误，不符合题意； D、如果，那么，原写法正确，符合题意， 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列各式中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，逐项分析判定即可． 【详解】解：A．∵， ∴， 即，故该选项正确，不符合题意； B．∵，， ∴，故该选项正确，不符合题意； C．∵， ∴①当时，a为任意实数；②当时，，故该选项错误，符合题意； D．∵， ∴，即，故该选项正确，不符合题意． 故选C． 【考点5 解一元一次方程】 【例5】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1． （1）先去括号，再移项，合并同类项，再将系数化为1即可； （2）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，再将系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式2】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程步骤是解题的关键． （）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解； （）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（24-25六年级下·山东泰安·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 【考点6 解一元一次方程错解复原】 【例6】（25-26七年级上·全国·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为：．……第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：．……第②步 去括号，得：．……第③步 移项，得：．……第④步 合并同类项，得：．……第⑤步 系数化1，得：．……第⑥步 所以为原方程的解． 上述小亮的解题过程中： (1)第②步的依据是 ； (2)第 （填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子． 【答案】(1)等式基本性质2 (2)③； 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1． （1）根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得； （2）根据一元一次方程的解法，结合小亮同学的解题过程分析即可． 【详解】（1）第②步的依据是：等式基本性质2； 故答案为：等式基本性质2； （2）第③步开始出现错误，这一步正确的式子：． 故答案为：③；． 【变式1】（24-25七年级上·福建福州·期末）下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得，（第一步） 去括号，得，（第二步） 移项，得，（第三步） 合并同类项，得，（第四步） 系数化为1，得．（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是______； ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请你求出该方程的解． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②三，移项时要变号；任务二：见解析 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握等式的基本性质以及解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 任务一：①回忆等式的性质，判断去分母这一步骤所依据的性质．②依次检查每一步骤，找出错误步骤并分析原因． 任务二：按照解一元一次方程的一般步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，逐步求解方程． 【详解】解：任务一 ①等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立．在第一步去分母时，方程两边同时乘8，依据的就是等式的基本性质2． ②第三步开始出现错误．移项的依据是等式的基本性质1，移项时要变号，而在这一步中，从右边移到左边应该变为但小明没有正确变号，没有移项却改变了符号． 任务二， 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 【变式2】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）在数学课上，杨老师给同学们出了一道解一元一次方程的题目：，小明的解答过程如下： 解：去分母，得…………………………（第一步） 去括号，得…………………………………（第二步） 移项，得………………………………………（第三步） 合并同类项，得……………………………………………（第四步） 方程的两边都除以-2，得……………………………………（第五步） (1)你认为小明的解答过程从第 步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)，见解析 【分析】此题考查解一元一次方程方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）检查小明解方程过程，找出错误步骤分析即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，求出正确的解即可． 【详解】（1）解：小明的解答过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一 （2）解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 方程的两边都除以，得 【变式3】（24-25七年级上·山西大同·期末）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一：（1）解答过程中，第______步开始出现了错误，产生错误的原因是______； （2）第三步变形的依据是______； 任务二：（1）该一元一次方程正确的解是______； （2）请写出两条解一元一次方程时应注意的事项． 任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程：． 【答案】任务一：（1）去分母时，1漏乘了6；（2）等式的基本性质；任务二：；（3）答案不唯一，见解析；任务三： 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 任务一：（1）根据去分母法则判断即可； （2）根据等式的基本性质求解即可； 任务二：（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）根据解一元一次方程的方法求解即可； 任务三：方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：任务一：（1）解答过程中，第一步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，1漏乘了6； （2）第三步变形的依据是等式的基本性质； 任务二：（1） 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （3）移项要变号（答案不唯一）； 任务三：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 【考点7 已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值】 【例7】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先根据一元一次方程的解法求出，然后根据一元一次方程有整数解求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当，即时，方程的解是， 关于的方程有整数解，为整数， 或或或或或或或， 或或或或或或1或6， 满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键； 先计算方程的解，然后选取符合题意的解，即可求解； 【详解】解： ， ， ∵x，k为整数， ∴或． 故答案为：4． 【变式2】（24-25七年级上·重庆江津·期末）若整数，关于的一元一次方程有非正整数解，那么符合条件的所有整数之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的特解问题，表示出解，进行合理讨论求解是解题的关键．先解方程，用a表示x，根据解的非正整数解，讨论求解即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得， 解得， 有非正整数解， ， ， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·重庆渝北·期末）若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之积是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为整数推出或或或或或，再根据多项式次数和项的定义得到且，最后利用有理数乘法法则计算，即可解题． 【详解】解：， ， ， 关于的方程的解是整数， 或或， 解得或或或或或， 关于的多项式是二次三项式， 且， 解得且， 或或或， 那么所有满足条件的整数的值之积是； 故答案为：． 【考点8 已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解】 【例8】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的概念，将方程变形为看成关于的方程即可进行计算即可． 【详解】解：， 则原方程化为，移项得 ∵关于的方程的解为， ∴的解为，即 即的解为 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．先把关于y的一元一次方程写成的解形式，再根据关于x的一元一次方程的解是，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解是：， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·四川广元·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键． 设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设 ，则关于y的方程化为：， ∵方程的解为， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 【考点9 一元一次方程中与运算有关的新定义型问题】 【例9】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义新运算：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能正确根据等式的性质进行变形是解（2）的关键． （1）已知等式利用题中的新定义运算计算即可； （2）已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可得到的值． 【详解】（1）解：． （2）解：因为， 所以， 解得． 【变式1】（24-25七年级上·河北邢台·期末）规定一种关于“”的新定义：，例如：． (1)计算：； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、解一元一次方程、求代数式的值，理解题中的新运算是解此题的关键． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）根据题意列出方程进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）∵， ∴， 解得． 答：m的值为． 【变式2】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）定义：叫作，的三等分点，叫做，的2倍距离．如：，，试求： (1) ， ． (2)若，则的值． 【答案】(1)；20 (2)9 【分析】本题考查了新定义，求代数式的值，解一元一次方程等知识，理解题中的新定义是解题的关键； （1）由两个数的三等分点及2倍距离含义即可求解； （2）由两个数的三等分点及2倍距离含义得到关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，再代入可求出两个数的三等分点． 【详解】（1）解：；； 故答案为：；20； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：， 则． 【变式3】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）给出新定义如下：，； 例如：，． 根据上述知识，解下列问题： (1)若，，则 ______； (2)若，化简：；（结果用含x的代数式表示） (3)若，求x的值． 【答案】(1)12 (2) (3)或0 【分析】此题考查了有理数的混合运算，整式的加减，解一元一次方程以及绝对值的含义，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）把，代入，进一步计算即可求解； （2）根据绝对值的性质化简即可求解； （3）由得出，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴ ． （2）解：当， 则 ． （3）解：∵， ∴， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得（舍去）； ∴x的值为或0． 【考点10 解一元一次方程中的新定义型拓展问题】 【例10】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于x的方程互为“归一方程”，求m的值． (2)若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值． (3)若关于x的两个方程与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值． 【答案】(1) (2) (3)，或， 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，已知方程的解求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先解得，因为方程与关于x的方程互为“归一方程”，得中的，则，即可作答． （2）先分别把方程与方程表示出的代数式，再结合新定义进行列式得，再解方程，即可作答． （3）与（2）同理得，，再结合新定义进行列式得，再解方程，根据m、n为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵方程与关于x的方程互为“归一方程”， ∴中的 即 ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”， ∴ ∴ ∴． （3）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵关于x的两个方程与互为“归一方程” ∴ ∴ ∴ 则 ∴ ∴ ∵m、n为正整数 那么，此时，； 或，此时，； 综上：，或， 【变式1】（24-25七年级上·新疆喀什·期末）【阅读材料】定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的和刚好是这个方程的解，则称这个方程为和谐方程.例如：方程中，方程的解为，一次项系数与常数项的和，则方程为和谐方程． 【解答问题】 请根据上述定义解答下列问题： (1)方程 是和谐方程吗?试说明理由； (2)已知关于x的一元一次方程是和谐方程，求m的值. 【答案】(1)方程不是和谐方程，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据题中的新定义判断即可； （2）利用题中的新定义确定出m的值即可； 【详解】（1）解：方程不是和谐方程；理由如下： 解得： 一次项系数与常数项的和为 ∴方程不是和谐方程； （2）解： 解得：， 一次项系数与常数项的和为 ∵关于x的一元一次方程是和谐方程， ∴ 解得： 【变式2】（23-24七年级上·云南德宏·期末）【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如，方程的解为，因为，所以有：，即，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，③三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求与的值． 【答案】(1)① (2) (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出每个方程的解，再根据“友好方程”的定义逐个判断即可； （2）先根据等式的性质求出方程的解，再根据“友好方程”的定义得出，再求出即可； （3）先把代入方程，求出，求出，依题意得出，再求出答案即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ①为“友好方程”； ②， ， ， ②不是“友好方程”； ③， ， ， ③不是“友好方程”． 故答案为：①； （2）解：， 解得：， 关于的一元一次方程是“友好方程”， ， ， ， ， ； （3）解：是关于的一元一次方程的解， ， 解得：， 依题意得：，， ， ， ． 【变式3】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）新定义：若是关于的一元一次方程（）的解，是关于的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号 ； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”，请求出的值； (3)如关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”．请求出的值． 【答案】(1)② (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，求代数式的值，新概念等知识，掌握新概念，理解一元一次方程的解，正确解一元一次方程是解题的关键； （1）分别求出各方程的解，根据“景元方程”的定义进行判断即可； （2）求出与的解，再根据题意即可求解； （3）求出的解，再根据求得，代入中，化简求得m与n的关系，即可求解． 【详解】（1）解：方程的解为：； 方程的解为，方程的解为或； 当时，，则方程①不是的“景元方程”； 当时，，则方程②是的“景元方程”； 故答案为：②； （2）解：， 整理得：， 解得：或； 方程整理得：， 解得：； 由于关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上，或； （3）解：解得：， ∵， ∴， 代入中，得， 整理得：， ∴， 解得：或， ∵， ∴当时，； 当时，； 综上，的值为或． 一、单选题 1．（24-25七年级上·河南商丘·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义进行逐一判断即可：只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程． 本题主要考查了一元一次方程的定义，熟知定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； D、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意； 故选A． 2．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C．3 D．8 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．把代入方程得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得． 故选：A 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）下列等式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质是解题关键．根据等式的性质逐一判断即可 ． 【详解】解：若， ∵等式两边同时加上(或减去)同一个数，等式仍然成立， ∴，，故A、B选项正确，不符合题意； 若， ∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立， ∴，故C选项正确，不符合题意； 若，则， ∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的式子，等式仍然成立， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·山西临汾·期末）关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程化简为关于的一元一次方程，代入各值计算对应的解，对比选项即可判断错误解． 【详解】原方程可化简为，解得（）． 当时，，与一致，正确． 当时，，但表中，矛盾，错误． 当时，，与一致，正确． 当时，，与一致，正确． 综上，错误的解为选项B． 故选B． 5．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列解方程的过程中正确的是（　　） A．方程去括号得 B．方程移项得 C．将去分母得 D．由得 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，根据去括号，移项，去分母，化整的步骤逐项分析即可． 【详解】解：A．方程去括号得，故不正确； B．方程移项得，故不正确； C．将去分母得，正确； D．由得，故不正确； 故选C． 6．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）若关于x的方程与有相同的解，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．根据解一元一次方程的一般步骤求出方程的解，代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解： ， ∵关于x的方程与有相同的解， ∴是关于x的方程的解， ∴， 解得：， 故选：B． 7．（24-25七年级上·河南安阳·期末）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A．14 B．45 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．先解一元一次方程可得，再由方程的解为正整数，则或，求出的值即可求解． 【详解】解：， ， ， 方程有正整数解， ， ， 方程的解是正整数， 或， 解得或， ， 故选：D． 8．（24-25七年级上·山东临沂·期末）若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查方程解的定义，换元法及同解方程知识，根据题意，令，则关于的方程与关于的方程是同解的方程列式求解即可得到答案，熟记方程解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：令， 由是方程的解可知， 关于的方程的解满足， 解得， 故选：B． 9．（24-25七年级上·四川广安·期末）已知关于的一元一次方程（其中为常数），若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“恰解方程”．例如：方程的解恰好为，则方程为“恰解方程”．若关于的一元一次方程是“恰解方程”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程；求出关于x的一元一次方程的解，根据此方程是“恰解方程”，得关于k的方程，解方程即可求得k的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程是“恰解方程”， ∴， ∴， 解得． 故选A． 10．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下列结论： ①若是关于x的方程的一个解，则； ②若，则关于x的方程的解为； ③若，且，则一定是方程的解． 其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程解的定义．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等． 【详解】解：①把代入得：，故结论正确； ②若，关于x的方程，移项，得：， 则，则原结论错误； ③把代入方程得，方程一定成立， 则一定是方程的解，结论正确． 故选：B． 二、填空题 11．（24-25七年级上·吉林·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是 ，根据定义求解即可，熟记一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， 解得：， 故答案为： 12．（24-25七年级上·河北承德·期末）如图所示的框图表示淇淇解方程的流程． 出现错误的步骤是 （用流程中的序号表示）． 【答案】④ 【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤是：移项，合并同类项，未知数的系数化为. 根据解一元一次方程的步骤判断即可 【详解】解： ， 出现错误的步骤是④， 故答案为：④. 13．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）当 时，方程是关于x的一元一次方程． 【答案】1或3 【分析】此题主要考查了一元一次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数元，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．通常形式是为常数，且 根据一元一次方程的定义可得，，据此解答即可． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， ， 解得或 故答案为：1或 14．（24-25七年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，这是一个正方体的表面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，解一元一次方程，熟练掌握根据正方体的表面展开图找出相对面，是解题的关键．根据正方体的表面展开图，找出相对面，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可知： 2与相对，与相对，5与相对， 正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数， ，， ， ∴． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知是方程的解，那么代数式的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，求代数式的值，熟练掌握方程的解是解题的关键．把解代入方程，求得m，n的关系式，再变形计算代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴ ． 故答案为：7． 16．（24-25七年级上·四川德阳·期末）已知关于的方程与的解相同．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程．先解方程，求得，再把代入，解方程即可求解． 【详解】解：解方程， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得， ∵关于的方程与的解相同， ∴， 解得， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）已知，为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：．若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据新定义，建立起方程，解答即可． 本题考查了新定义运算，解方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：1． 18．（24-25七年级上·重庆·期末）已知关于x的方程有整数解，则满足条件的所有整数k之和为 ． 【答案】4 【分析】本题考查解一元一次方程及方程的解，理解并掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键．先去分母解得方程的解，再根据方程的解为整数得到整数k值，进而求和即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， ∵该方程有整数解，k为整数， ∴，， ∴，2，，6， 则满足条件的所有整数k之和为， 故答案为：4． 19．（24-25七年级上·江苏南京·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元一次方程的解，比较两个方程的特点即可得出解．把看作一个整体，结合已知方程即可得出，即可求出y的值． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程中的， ∴， 故答案为：2025． 20．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）现定义运算“☆”，对于任意有理数a与b，满足，例如：，，若有理数x满足，则x的值为 ． 【答案】8或 【分析】本题考查了新定义，以及解一元一次方程，理解运算“☆”的法则，进行分类讨论，逐个解出x的值，即可作答． 【详解】解：∵现定义运算“☆”，对于任意有理数a与b，满足， ∴当时，则， 解得； ∴当时，则， 解得； 综上：x的值为8或， 故答案为：8或． 三、解答题 21．（24-25七年级上·全国·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1． （1）先去括号，然后移项并合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后未知数系数化为1． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项、合并同类项，得， 方程两边同时除以，得 ； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 22．（23-24七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：________，得    第一步 去括号，得        第二步 移项，得        第三步 合并同类项，得        第四步 方程两边同除以2，得    第五步 (1)以上求解步骤中，第一步进行的是________； (2)以上求解步骤中，第________步开始出现错误； (3)请写出正确解方程的过程． 【答案】(1)去分母 (2)三 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母， 故答案为：去分母； （2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号， 故答案为：三； （3）解： 两边同乘6得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同除以2，得． 23．（24-25七年级上·河北保定·期末）定义一种新运算“”：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用题中的新定义计算，求出解即可得到的值． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 24．（24-25七年级上·陕西安康·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程．与方程是否为“美好方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1)是“美好方程”，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，理解“美好方程”的定义及计算，掌握解一元一次方程的方法是关键． （1）根据解一元一次方程的方法解方程，再根据“美好方程”的定义判定即可； （2）分别解方程，再根据“美好方程”的定义得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：是“美好方程”，理由如下， ， 解得，， ， 解得，， ∵， ∴与方程是“美好方程”； （2）解：， 解得，， ， 解得，， ∵关于的方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得，． 25．（23-24七年级上·江西赣州·期末）对于两个不相等的有理数，我们规定符号表示中的较大值，如： ，按照这个规定解决下列问题： (1) ； ； (2)方程的解为 ； (3)当时，解方程：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数比较大小，化简绝对值，解一元一次方程，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意得，然后解方程即可； （）由，则，，故有，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴；， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，， ∴， 解得：． 26．（24-25七年级上·江苏常州·期末）定义：若，则称a与b是关于2的关联数． (1)5与______是关于2的关联数，______与是关于2的关联数（用含x的代数式表示）； (2)若，，判断a与b是否是关于2的关联数，并说明理由； (3)若，，且m与n是关于2的关联数，求x的值． 【答案】(1)， (2)与是关于2的关联数；详见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据题意，仿照示例，得到，，分别求出，即可； （2）先化简，，判断，即可得到结果； （3）由题意，得到，化简可得，讨论的取值，解方程，即可得到的值． 【详解】（1）解：设5与是关于2的关联数， ， ， 设与是关于2的关联数， ， ， 故答案为：，； （2）解：与是关于2的关联数，理由如下： ， ， ， 与是关于2的关联数； （3）解：与是关于2的关联数，，， ， ， 当时，，得， 当时，，得， 综上所述，或． 27．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)下列方程中与方程为“互逆方程”的是_____（填写序号）； ①，②，③． (2)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值． 【答案】(1)①，③ (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，根据方程的解求参数，掌握新定义，是解题的关键： （1）分别求出每个方程的解，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，根据互逆方程的定义，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：解，得：； 解得：； 解得：； 解得： ∴与方程为“互逆方程”的是①③； （2）解方程，得． 解方程，得． ∵两个方程为“互逆方程”， ∴． 解方程，得． 28．（24-25七年级上·四川成都·期末）对于任意的有理数、、、，我们约定．例如：．根据我们的约定，解答下列问题： (1)计算：； (2)若，求的值； (3)试比较与的大小． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了定义新运算、一元一次方程、整式的加减，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义进行化简，得到，求解方程即可得出的值； （3）先根据新定义进行化简，得出，，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， ， ， 解得：， 的值为． （3）解：， ， ， ． 29．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）关于的方程与关于的方程（均为不等于0的常数），两个方程的解的和为1，则称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与方程为“和谐方程”． (1)已知方程与方程，试说明这两个方程为“和谐方程”； (2)若关于的方程与关于的方程为“和谐方程”，求的值； (3)若关于的方程与关于的方程为“和谐方程”，且，能被3整除（为正整数），求的值． 【答案】(1)见详解 (2)22 (3)，或， 【分析】本题考查解一元一次方程，代数式求值，掌握“和谐方程”的定义，是解题的关键． （1）求出方程的解，根据“和谐方程”的定义，解答即可； （2）求出两个方程的解，根据“和谐方程”的定义，得到，再代入求解即可； （3）求出两个方程的解，根据，能被3整除（为正整数），进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， ∵， ∴方程与方程这两个方程为“和谐方程”． （2）解：解方程得， 解方程得， ∵关于的方程与关于的方程为“和谐方程”， ∴，即， ∴． （3）解：解方程得：， 解方程得：， ∵关于的方程与关于的为“和谐方程”， ∴，即， ∵，能被3整除（为正整数）， ∴可能为：3，6，9，12，15，18， ∴当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，，或，． 30．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为：，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)直接填空： ①若关于x的一元一次方程的解是，则关于y的一元一次方程的解是 ； ②若关于x的一元一次方程与互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解是 ． 【答案】(1) (2)①2023；②2025 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解及其解法，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义． （1）先分别求出两个方程的解，再根据已知条件中的新定义列出关于m的方程，解方程即可； （2）①根据已知条件和新定义列出关于y的方程，解方程即可； ②先求出方程的解，再根据它与互为“阳光方程”，求出方程的解，最后把所求方程化成，从而列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：， 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； （2）解：①∵关于x的一元一次方程的解是， 结合 ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程 的解是； ②， ∴， ∴， ∵关于x的一元一次方程与互为“阳光方程”， ∴方程的解为：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03一元一次方程 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 围重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 食举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 回复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 卜》思维导图串知识 知识点01一元一次方程的概念 知识点02等式的基本性质 知识点 知识点03一元一次方程的解法 【考点1一元一次方程的定义】 一元一次方程 【考点2利用一元一次方程的定义求参数】 【考点3已知方程的解求字母或代数式的值】 【考点4等式的基本性质】 【考点5解一元一次方程】 分支主题3 【考点6解一元一次方程错解复原】 【考点7已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值】 【考点8已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解】 【考点9一元一次方程中与运算有关的新定义型问题】 【考点10解一元一次方程中的新定义型拓展问题】 重点速记 局知识点01一元一次方程的概念 1/14 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.方程：含有未知数的等式叫作方程， 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次 方程。 细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数. 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 属知识点02等式的基本性质 等式的性质1等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：如果a=b,那么a±c=b±c. 等式的性质2等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：如果a=b,那么ac=bc,或0=b(c≠0). CC 等式的传递性如果a=b、b=c,那么a=c。 2/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同知识点03一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数. (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边 (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为=b(a≠0)的形式. (5⑤)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解x=-b(a≠0). (⑥)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相篷，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等， 则不是方程的解。 核心考点举一反三 【考点1一元一次方程的定义】 【例1】(24-25七年级上·吉林白城期末)下列式子是一元一次方程的是（) A.x-3>2x-3B.x2+x=1 C.2x-3=2 D.x-2y=0 【变式1】(24-25七年级上·全国期末)下列方程是一元一次方程的是() A.5x+1 B.3x-2y=0 C.x=4 D. 25=0 【变式2】(24-25七年级下·吉林长春·期末)下列选项中是一元一次方程的是() A.2x+3 B.2+3=5 C.2x+3>7 D.2x+3=9 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州期末)下列式子，是一元一次方程的是() A.2x-3 B.4x=3 C.2x<1 D.2x=1+y 【考点2利用一元一次方程的定义求参数】 【例2】(24-25七年级上·全国·期末)已知3x2m*+9=0是关于x的一元一次方程，则m,n应满足的条件 为m，n一 【变式1】(24-25七年级上·甘肃定西·期末)已知方程(m+1)xm+3=0是关于x的一元一次方程，则m的 值是 【变式2】(24-25七年级上辽宁铁岭期末)已知方程(a+3)x-2+4=0是关于x的一元一次方程，则 Q= 【变式3】(24-25七年级上·甘肃张掖期末)已知(k-1)x2-+5=0是关于x的一元一次方程，则 k= 3/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【考点3己知方程的解求字母或代数式的值】 【例3】(23-24七年级上北京石景山期末)若x=2是关于x的一元一次方程2x-m=5的解，则m的值 为 【变式1】(24-25七年级上：广东深圳期末)若x=5是关于x的方程ax-8=20+a的解，则a的值为 【变式2】(25-26七年级上·全国期末)已知x=1是关于x的一元一次方程ax+b=1的解，则a+b+2025的 值为 【变式3】(24-25七年级上甘肃兰州期末)已知方程ax+b-1=-4的解为x=1.则代数式 (a+b-1)(1-a-b)的值为 【考点4等式的基本性质】 【例4】(25-26七年级上广东东莞期末)根据等式的性质，下列变形正确的是() A.如果2x=1,那么2r=1 B.如果x=y,那么x-5=5-y mm C.如果x=y,那么-2x=-2y D、如果=6，那么：=) 【变式1】(25-26七年级上·全国期末)下列式子是运用等式的性质进行的变形，其中错误的是() A.若a=b,则a-c=b-c B.若a=b,则ac=bc C.若a=b,则9=b D.若ac=bc,则a=b π元 【变式2】(24-25七年级上辽宁抚顺期末)运用等式性质进行的变形，正确的是() A.如果a=b,那么a-2=b+2 B.如果a=b,那么a2=2b C.如果a=b,那么=b D.如果a=b,那么a+c=b+c cc 【变式3】(24-25七年级上·甘肃武威期末)下列各式中，不正确的是() A.若a=b,则ab=b B.若a=b,则0=b c2+1c2+1 C.若ab=b,则a=b D.若a+b=2b,则a=b 【考点5解一元一次方程】 【例5】(24-25七年级上甘肃兰州期末)解方程： (1)12x-19=7x+6 ②3y1-1=5y-7 6 4 【变式1】（24-25八年级上·全国期末)解方程： (1)6x-12(x-3)=0; 4/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 22x+1_5x-1-1. 2 4 【变式2】(24-25七年级上江苏苏州期末)解方程： 0)3-2.5x-7-1 4 6 21=2--2 3 2 【变式3】(24-25六年级下·山东泰安期末)解下列方程： (1)2-3x-1=7-5(x+2); 22+1-3x=x-2x-3 3 5 【考点6解一元一次方程错解复原】 【例6】(25-26七年级上·全国·期末)本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程： 2x-0.3_x+0.4=1 0.50.3 解：原方程可化为： 20x-3_10x+4-1.第①步 5 3 方程两边同时乘以15，去分母，得： 3(20x-3)-5(10x+4)=15...第②步 去括号，得：60x-9-50x+20=15...第③步 移项，得：60x-50x=15+9-20.第④步 合并同类项，得：10x=4..第⑤步 系数化1，得：x=0.4.…第⑥步 所以x=0.4为原方程的解. 上述小亮的解题过程中： (1)第②步的依据是_： (②)第_（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子. 【变式1】(2425七年级上福建福州期末)下面是小明解方程2x-1-3。的过程： 4 8 解：去分母，得2(2x-1)=8-(3-x,(第一步) 去括号，得4x-2=8-3+x,(第二步) 移项，得4x+x-8=3+2,(第三步) 合并同类项，得5x=7,(第四步) 7 系数化为1，得x=5· (第五步) 5/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 根据解答过程完成下列任务. 任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是 ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二：请你求出该方程的解。 【变式2】(2425七年级上·贵州六盘水期末)在数学课上，杨老师给同学们出了一道解一元一次方程的 题目：中！_1=1，小明的解答过程如下： 53 解：去分母，得3(x+1)-5(x-1)=1....… (第一步) 去括号，得3x+3-5X-5=1… (第二步) 移项，得3x-5x=1-3+5... (第三步) 合并同类项，得-2x=3…… (第四步) 3 方程的两边都除以-2，得x=- 2 (第五步) ()你认为小明的解答过程从第_步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程. 【变式3】(2425七年级上山西大同期末)下面是小敏解方程+3_5x-3=1的过程，请认真阅读，并 26 完成相应的任务 解：去分母，得3(x+3-5x-3=1.第一步 去括号，得3x+9-5x+3=1.第二步 移项，得3x-5x=-9-3+1.第三步 合并同类项，得-2x=-11.第四步 宗数化为1，得x三，第五步 任务一：(1)解答过程中，第 步开始出现了错误，产生错误的原因是 (2)第三步变形的依据是 任务二：(1)该一元一次方程正确的解是 (2)请写出两条解一元一次方程时应注意的事项， 任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程： 2x-53x+1 =1. 62 【考点7己知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值】 【例7】(2425六年级下黑龙江大庆期末)已知关于x的方程x-2一=；2有整数解，则满足条件的 63 所有整数a的和为 6/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(24-25七年级下·四川乐山期末)若关于x的方程k-2)x-3=1-2(x+1)的解为整数，则整数 k的取值个数为」 个 【变式2】(24-25七年级上重庆江津期末)若整数a,关于x的一元一次方程2+=2-日有非正整数解， 4 2 那么符合条件的所有整数a之和为 【变式3】(23-24七年级上重庆渝北期末)若关于x的方程2x+1+x=+的解是整数，且关于y的多 30.6 项式ay2-(a+2)y+1是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之积是_一 【考点8己知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解】 【例8】(24-25七年级下新疆克拉玛依期末)关于x的方程，1 x+3=2x+b3的解为x=2,则关于y的 2025 方程，025y+=2y-1+的解为 【变式1】(24-25七年级上·浙江绍兴期末)已知关于x的一元一次方程，无 2025-a=2025x的解是x=5,关 于y的一元一次方程+名-2025y=a+4050的解是一 2025 【变式2】(23-24七年级下四川广元期末)已知关于x的一元一次方程，x+7=9x+t的解为x=2023, 2024 累么关于y的元次方程2024-2列+7=-2引+1的解为 【变式3】(24-25六年级上·上海期末)定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程 2024x+1=0与 为“美好方程.例如：方程2x-1=3和x+1=0为美好方程.若关于x的方程， 1 2024x1=3x+k是“美好方程”，则关于y的方程2024y+3)-1=3y+k+9的解是 【考点9一元一次方程中与运算有关的新定义型问题】 a b 【例9】(23-24七年级上贵州六盘水期末)对于任意有理数a、b、c、d,定义新运算： ad-bc. 52 ①求43的值： (2)若 3y y =3,求y的值. 6y2y+1 【变式1】(2425七年级上河北邢台期术)规定一种关于※的新定义：※=2b-名例如： 7/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -2=2x-2子3 (1)计算：（-5※4； (2)若-3)※m=2-8m,求m的值、 【变式2】(24-25七年级上安徽准南期末)定义：4(x,)=x十'叫作x,y的三等分点， 3 小=2-叫做x,y的2倍距离，如：A-5十5=8，列=2-2，试 (1)A-3,7)=-,B(-3,7=- (2)若A(-2,x)+B-2,5)=2x,则A(x,19的值. 【变式3】(2425七年级上贵州遵义期末)给出新定义如下：∫(x)=2x-2,gy)=y+3: 例如：f(2)=2×2-2=2,g-6)=-6+3=3. 根据上述知识，解下列问题： (1)若x=-2,y=3,则fx+gy)= ； (2)若x<-3,化简：∫(x+gx;(结果用含x的代数式表示) (3)若f(x+g(x=5,求x的值. 【考点10解一元一次方程中的新定义型拓展问题】 【例10】(24-25七年级上湖南长沙期末)“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并 列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘微在《九章算术》对方程一词给出的注释.定义：如果两 个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”. (1)若方程2x=4与关于x的方程mx=1互为“归一方程”，求m的值. ②若关于x的方程背+a=0与关于x的方程3x2_十4互为归一方程，求a的值. 52 (③)若关于x的两个方程3x+2m+川=1与m-子=m+互为归一方程，求出所有满足条件的正整 13 4 数m、n值. 【变式1】(24-25七年级上新疆喀什期末)【阅读材料】定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与 常数项的和刚好是这个方程的解，则称这个方程为和谐方程例如：方程x】0中，方程的解为x=之 1 2 次项系数与常数项的和1+ 2则方程x0为和腊方程 【解答问题】 请根据上述定义解答下列问题： 8/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 )方程2x+?=0是和谐方程吗？试说明理由： 5 (2)己知关于x的一元一次方程x+3m=0是和谐方程，求m的值 【变式2】(23-24七年级上·云南德宏期末)【定义】若关于x的一元一次方程ax=b的解满足x=b+a, 则称该方程为“友好方程”，例如，方程2x=-4的解为x=-2,因为a=2,b=-4,所以有：-2=-4+2，即 x=b+a,则方程2x=-4为“友好方程. 【运用】 (①)①3x=-4.5,②，x=-1,③-2x=4三个方程中，为“友好方程的是_（填写序号）； (②)若关于x的一元一次方程4x=b是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程-3x=mn+n(n≠0)是“友好方程”，且它的解为x=n,求m与的值. 【变式3】(24-25七年级上·湖南株洲期末)新定义：若x是关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)的 解，是关于y的所有解的其中一个解，且x,%满足x。+。=100,则称关于y的方程为关于x的一元一 次方程的景元方程”.例如：一元一次方程3x-2x-99=0的解是x。=99,方程y2+1=2的所有解是y=1或 y=-1,当y。=1时，x+y=100,所以y2+1=2为一元一次方程3x-2x-99=0的“景元方程” (1)已知关于y的方程：①2y-2=0,②y=2,以上哪个方程是一元一次方程x-102=0的“景元方程”？请 直接写出正确的序号_： ②若关于y的方程2y-2引+3=5是关于的一元一次方程x-2x,24=a+1的景元方程，请求出4的值， 3 ③)如关于y的方程2m-49+my-=m+n是关于x的一元一次方程mx-45n=54m的景元方程.请求 45 出m+”的值。 n 复习提升 一、单选题 1.（24-25七年级上·河南商丘期末)下列方程中，是一元一次方程的是() A.x 13 B.2x-y=5 c.1+2=1 D.3x2-2x=6 2.(24-25七年级上山东菏泽期末)若x=-3是关于x的方程3x-a=2x+5的解，则a的值为（) A.-8 B.-3 C.3 D.8 9/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(24-25七年级下·福建泉州期末)下列等式变形中，不正确的是() A.若a=b,则a+1=b+1 B.若a=b,则a-2=b-2 C.若-3a=-3b,则a=b D.若4ac=4bc,则a=b 4.(24-25七年级下山西临汾期末)关于x的方程ax-x=2,当a取不同值时，欣欣得到方程的解如下表 所示，其中错误的解是() -1 1 2 2 x1=-1 X2= X=2 x4=1 A.x1=-1 B.x=4 C.x3=2 D.x4=1 5.(24-25七年级上山东聊城期末)下列解方程的过程中正确的是() A.方程40-5(3x-7=2(8x+2)去括号得40-15x-7=16x+4 B.方程-6x+13=13-7x移项得-6x+7x=13+13 C.将4x_2x+1=4去分母得34-x-22x+1)=24 23 D.由=_01x+02=1得1x+2=10 0.2 0.5 25 6.(24-25七年级上费州毕节期末)若关于x的方程2x-2=2与1-2m-x=0有相同的解，则m的值是() 2 A.1 B.2 C.3 D.4 7.(24-25七年级上河南安阳期末)已知关于x的方程x-1一-“=-1有正整数解，则整数的所有可能 63 的取值的和为() A.14 B.45 C.-45 D.-14 8.(24-25七年级上山东临沂·期末)若关于x的方程2x+1 2025x+a的解为x=-3,则关于y的方程 20-0+1-2035-+a的解为(） A.y=-1 B.y=-2 C.y=-3 D.不能确定 9.(24-25七年级上·四川广安期末)已知关于x的一元一次方程ax+b=0(其中a≠0，a,b为常数)，若这 个方程的解恰好为x=a-b,则称这个方程为“恰解方程”.例如：方程2x+4=0的解恰好为x=-2=2-4, 则方程2x+4=0为“恰解方程”.若关于x的一元一次方程6x-k=0是“恰解方程，则k的值为() A.36 5 c. D.4 10.(24-25七年级上河北石家庄·期末)下列结论： ①若x=1是关于x的方程a+bx+c=0的一个解，则a+b+c=0; 10/14