第七章 证明(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 江西专版）

+90+90+95+100)÷5=93,Sz=(90-93)2+(90-93)2+(90-93)2+(95-93)2+(100-93)2=80,所以分组方式二的组内离 差平方和S=S甲十S2=110.(2)因为110<360，所以分组方式二中学生之间的水平更接近. 2中位数与箱线图 第1课时中位数及其应用 针对训练 1.D2.C3.2929.54.8 第2课时四分位数与箱线图 针对训练 1.C 2.解：(1)809093(2)如图所示.(3)相对于甲组而言，乙组成员对AI应用知识的掌握水平比较接近.（答案不唯一，合理即可） 成绩/分 100 T98 .96 93 93 90 90 90 80 80 70 70 70 -65 60 甲组 乙组 3哪个团队收益大 针对训练 1.A 2.解：选择甲种包装机.理由如下：甲种包装机包装的这8袋中位数等于100，且其他几袋也更接近100.（答案不唯一） 第七章证明 1为什么要证明 针对训练 1.(1)=(2)=2.C 3.解：当n=1时，n2-n十3=1-1十3=3；当n=2时，n2-n+3=4-2+3=5;当n=3时，n2-n十3=9-3+3=9.因为3,5是质 数，9不是质数，所以这个结论不正确. 2认识证明 第1课时定义与命题 针对训练 1.C2.B3.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 4.解：(1)真命题.(2)假命题.反例：当a=2,b=-2时，a十b=0. 第2课时定理与证明 针对训练 1.B2.C3.两点之间线段最短 4.已知BAC垂直的定义180°BAD同旁内角互补，两直线平行 3平行线的证明 第1课时平行线的判定 知识梳理 相等∠5相等∠4互补180 针对训练 1.D2.C3.C 4.2DCE角平分线的定义DCE等量代换内错角相等，两直线平行 5.证明：，CG平分∠DCF,∠DCG=65°，.∠DCF=2∠DCG=130°.∴.∠BCE=∠DCF=130°.，∠B=50°，.∠B+∠BCE= 180°..AB∥EF 第2课时平行线的性质 知识梳理 相等∠2相等∠3互补∠4 41 针对训练 1.A2.C3.B4.EF∥CD平行于同一条直线的两条直线平行 5.解：AD是△ABC的角平分线，∠BAC=80,.∠DAB=号∠BAC=40.:DE∥AB,∴∠ADE=∠DAB=40 6.证明：(1)∠1+∠2=180°，∠2=∠AFC,∴.∠1+∠AFC=180°..AB∥CD.(2)AB∥CD,.∠B=∠DCE.,∠B=∠D, ∠D=∠DCE..AD∥BE.∠DAE=∠E. 提分小卷 基本功专练（一）与勾股定理有关的计算及应用 1.解：在Rt△BCD中，由勾股定理，得CD2=BC-BD2=152-92=144,所以CD=12.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=AC -CD2=202-144=256,所以AD=16.所以AB=AD+BD=25. 2.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2十BC=1.52+22=6.25.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2十CD2= 6.25十2.52=12.5.所以正方形ADEF的面积为12.5. 3.解：因为AD⊥CE,所以∠D=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC=AD2+CD2=72+242=625.因为AB2+BC=202+ 152=625,所以AB2+BC=AC.所以△ABC是直角三角形，且∠B=90°.所以AB⊥BC. 4.解：(1)根据题意，得ACLBC,所以∠C=90°.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB2-AC=202-122=256,所以BC= 16m.(2)这辆小汽车在BC段的速度约是16÷1.5≈10.7(m/s),答：这辆小汽车在BC段的速度约是10.7m/s. 5.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=BC2-AC=172-82=225.所以AB=15m.由题意，得CD=17-1×7=10(m).在 Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2=CD2-AC=102-82=36.所以AD=6m.所以BD=AB-AD=9m.答：船向岸边移动了9m. 6.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB2-AC=132-122=25.所以BC=5.(2)因为CD2+BD2=32+4=25,BC= 25,所以CD+BD2=BC.所以△BCD为直角三角形，且∠BDC=90.所以Sa=SAc-SAm=号AC·BC-专BD·CD =2×12X5-号×4×3=24. 7,.解：补充证明过程如下：因为Saae=Sc十SAA十SE=合ab十名ab十K6-a）=,SE=SAe十SAe= 合c+26叶a6-a)=c+8-c,所以=名c+-7c.整理，得a2+8=. 易错章测（一） 1.C【易错点拨】忽略勾股数的前提是正整数而致错. 2.C【易错点拨】要对主要方向敏感，正东、正北成90° 3.D 4.C【易错点拨】对直角三角形的判定理解不透彻而致错. 5.C【易错点拨】注意直接用AC=AD+CD,BC=BD2+CD进行转化，不要复杂化问题. 6.D 7.225或63【易错点拨】题干未指明斜边，需要分类讨论. 8.1509.20 10.30【易错点拨】注意审题，绕礼盒侧面2周，不是1周. 11.解：因为AD⊥AC,所以∠DAC=90°.在Rt△ADC中，CD2=AD2+AC=625,所以CD=25.所以BD=BC-CD=32-25=7. 12.解：(1)因为AC+BC=802+602=10000,AB=10000,所以AC+BC=AB2.所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°. 所以AC⊥BC.(2)48 13.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=BC-AB2=202-122=256,所以AC=16.(2)设AP=x,则BP=CP=AC-AP =16-x.在Rt△ABP中，由勾股定理，得AB2+AP2=BP2,即122十x2=(16-x)2,解得x=3.5.所以AP=3.5. 14.解：(1)出发3s后，AE=AC-CE=40-4×3=28(m),AF=AB-BF=30-3×3=21(m).在Rt△AEF中，EF2=AE+AF =282+212=1225,所以EF=35m.因为35>25，所以出发3s后，遥控信号不会相互干扰.(2)设出发ts后，两赛车与点A的距离 之和为35m.由题意，得AE=(40-4t)m,AF=(30-3t)m.当AE+AF=35m时，40-4t+30-3t=35,解得t=5.所以AE= 20m,AF=15m.在Rt△AEF中，AE十AF2=202+152=625.所以EF=25m.所以当两赛车与点A的距离之和为35m时，遥控 信号将会相互干扰. 15.解：(1)4(2)由题意，得BP=2tcm.分两种情况进行讨论：①当∠APB=90°时，点P与点C重合， 则BP=BC=4cm,所以2t=4,解得t=2.②当∠BAP=90°时，如图，CP=BP-BC=(2t-4)cm,AC =3cm.在Rt△ACP中，AP2=AC+CP2=32+(2t-4)2,在Rt△BAP中，AP2=Bp2-AB2=(2t)2- 5,所以3+(2一2=(202-5，解得1-孕综上所述，当△ABP为直角三角形时：的值为2或智。 B 【易错点拨】题中未明确给出三角形的直角时，需要进行分类讨论 -423哪个团队收益大 √针对训练 1.某校要从四名学生中选拔一名参加“小 甲：101,102,99,100,98,102,100,98； 主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成 乙：98,96,100,102,102,102,100,104. 绩元及方差s2如下表.如果要选择一名 下面是小李根据以上数据画出的箱线 成绩高且发挥稳定的学生参赛，那么应 图，请你根据箱线图判断该工厂选择哪 选择的学生是 ( ) 一种包装机更合适，并说明理由. 甲 乙 丙 丁 98100102 甲 H 9 9 9 8 98.5101.5 52 0.9 1 1.1 1.1 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 96 99101102104 2.某加工厂要对一款进口巧克力进行包 装，要求每袋净含量为100g.现使用甲、 乙两种包装机同时包装100g的巧克 力，从中各随机抽取8袋，测得实际质量 (单位：g)如下： 第七章 证明 1为什么要证明 针对训练 1.如图，比较下列线段的长短.（填“>”3.当n为正整数时，n2-n十3的值一定是 “<”或“=”) 质数吗？ (1)线段a 线段b; (2)线段AB 线段CD. 2.下列推理正确的是 A.若a>b,则ac>bc B.若|a=|b,则a=b C.若a=b,则a2=b D.因为对顶角相等，所以相等的角一定 是对顶角 ·35· 2认识证明 第1课时定义与命题 √针对训练 1.下列句子属于定义的是 )3.把命题“对顶角相等”改写成“如果…， A.两点确定一条直线 那么…”的形式： B.同角或等角的余角相等 C.满足a2十b2=c2的三个正整数称为勾 4.判断下列命题是真命题还是假命题？若 股数 是假命题，请举出反例. D.两直线平行，内错角相等 (1)直角都相等； 2.下列句子中，属于命题的是 (2)如果a十b=0,那么a=0,b=0. A.画一条线段等于已知线段 B.垂线段最短 C.利用三角尺画60°的角 D.平角都是180°吗 第2课时 定理与证明 针对训练 1.“同一平面内，过一点有且只有一条直线 4.完成下列证明： 与已知直线垂直”这一语句是( ) 已知：如图，∠1=30°，∠B=60°，AB1 A.定理 B.基本事实 AC.求证：AD∥BC. C.定义 D.假命题 2.如图，在△ABC和△BAD中，AC=BD, BC=AD,在不添加任何辅助线的条件 下，可判定△ABC≌△BAD.判定这两 证明：.ABAC( 个三角形全等的依据是 ∠ =90°( A.ASA :∠1=30°，∠B=60°（已知）， B.AAS ∴.∠1+∠BAC+∠B= C.SSS 即∠ +∠B=180°. D.SAS '.AD∥BC( 3.证明定理“三角形的任意两边之和大于 第三边”的依据是 ·36· 3平行线的证明 第1课时平行线的判定 知识梳理 同位角 ,两直线平行 基本事实 如图，若∠1= ,则AB∥CD 内错角 ,两直线平行 判定定理1 如图，若∠3= ,则AB∥CD 同旁内角 ,两直线平行 判定定理2 如图，若∠3十∠5= ,则AB∥CD √针对训练 1.如图，∠1=120°，要使AB∥CD,则∠2 的度数是 ( A.60° B.80° C.100° D.120° D 证明：CE平分∠ACD(已知)， 0 ∠=∠ ( B :∠1=∠2（已知）， (第1题图) (第2题图) .∠1=∠ ( 2.如图，工人师傅在工程施工中，需要在同 .AB∥CD( 一平面内弯制一个变形管道ABCD,使 5.如图，直线AB,EF被直线BD所截，EF 其拐角∠ABC=150°，∠BCD=30°，则 与BD交于点C,CG平分∠DCF,∠B= 下列结论正确的是 ( 50°，∠DCG=65°，求证：AB∥EF. A.AB∥BC B.BC∥CD C.AB∥DC D.AB与CD相交 3.如图，可以判定AB∥CD的条件是 A.∠1=∠4 H B.∠3=∠4 42 C.∠1=∠5 D.∠2+∠3=180 G 4.已知：如图，CE平分∠ACD,∠1=∠2， 求证：AB∥CD. ·37· 第2课时 平行线的性质 知识梳理 两直线平行，同位角 性质定理1 如图，若AB∥CD,则∠1= 两直线平行，内错角 性质定理2 如图，若AB∥CD,则∠2= 两直线平行，同旁内角 性质定理3 如图，若AB∥CD,则∠3+ =180° 平行于同一条直线的两条直线平行 判定定理 如图，若AB∥CD,CD∥EF,则AB∥EF √针对训练 1.如图，已知AD∥BC,∠B=124°，则∠A5.如图，已知AD是△ABC的角平分线， 的度数是 () DE∥AB,与AC相交于点E,∠BAC= A.56° B.66° C.76° D.124° 80°，求∠ADE的度数. 2 B (第1题图) (第2题图) 2.如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a 上，斜边BC在直线b上.若a∥b,∠2= 40°，则∠1的度数为 ( A.30° B.40° C.50 D.60° 6.如图，∠1十∠2=180°，∠B=∠D. 3.如图，AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°，则 (1)求证：AB∥CD; ∠D的度数为 ( ) (2)求证：∠DAE=∠E. A.25° B.35 C.45° D.55° C B 4 E A (第3题图) (第4题图) 4.如图，AB∥CD,过点E作EF∥AB,则 EF与CD的位置关系是 ,理 由是 ·38·