第五章 二元一次方程组(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 江西专版）

第五章二元一次方程组 1认识二元一次方程组 √知识梳理 定义 解 含有 个未知数，并且所含未知数 使一个二元一次方程左、右两边的值相 二元一次方程 的项的次数都是 的方程叫作二元 等的一组未知数的值，叫作这个二元一 一次方程 次方程的一个解 共含有两个未知数的两个一次方程所 二元一次方程组中的各个方程的 二元一次方程组 组成的一组方程，叫作二元一次方程组 ,叫作这个二元一次方程组的解 识别二元一次方程组的方法：①方程是否都是整式方程；②方程组中是否只含有 解题策略 两个未知数；③含未知数的项的指数是否都为1 针对训练 1.下列方程组是二元一次方程组的是 ( x+x=5, xy=3, 数值中， 是方程x十y=3的解， A. B. x-2y=6 (x-y=1 是方程3x十2y=5的解， C+=5, x2+y=2, [x+y=3, D. 是方程组 的解.（填序号） x-4y=2 (x-y=9 3.x+2y=5 2若=2 5.一批机器零件共有840个，甲先做4天 是方程x-my=1的一个解， y=2 后，乙再加人，两人一起再做8天刚好完 则m的值为 成任务.设甲每天做x个，乙每天做y个. A.1 B司 c D.- (1)列出关于x,y的二元一次方程； 4 (2)当x=36时，y的值是； 3.在学校组织的篮球比赛中，积分规则是： (3)若乙每天做45个，则甲每天做个， 胜1场记2分，负1场记1分，且每场比 赛都要分出胜负.八年级某队在5场比 赛中共得到8分，若设该队胜x场，负y 场，则可列方程组为 ( ) x十y=8, (x+y=5, A. B. (2x+y=5 2x+y=8 x+y=5, x+y=5, C. D. x+2y=8 2x-y=8 ·23· 2二元一次方程组的解法 第1课时代入消元法 √知识梳理 将二元一次方程组中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出 代入消元法 来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为 这种解方程组的方法称为代入消元法 在用代入法解方程组时，优先选用方程的一个未知数表示其中系数为士1的另一个 解题策略 未知数，一般选择系数的绝对值较小的方程变形 针对训练 y=x-1①， 4.解下列方程组： 1.对于二元一次方程组 将 x+2y=7②， (y=2x-4①， (1) ①代入②，消去y可以得到 ( 3x+y=6②； A.x+2x-1=7 B.x+2x-2=7 C.x+x-1=7 D.x+2x十2=7 3x+4y=2①， 2.解方程组 时，变形后使 4x-y=5② 得代入化简比较容易的是 2x+3y=22①， A.由①，得x=2-4y (2) 3 x=y+1②； B.由①，得y=2-3z 4 C.由②，得x=y十5 4 D.由②，得y=4x-5 2x+y=10, 3x-y=6①， 3.二元一次方程组 的解是 (3) \x=2y x+y=6②. ( ) x=2, x=1, A. B. y=1 (y=2 x=4, x=2, D. y=2 y=4 ·24· 第2课时 加减消元法 知识梳理 通过两式 (或 )消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方 加减消元法 法叫作加减消元法 (1)方程两边同乘一个数时，容易漏乘； 易错警醒 (2)将两个方程相加减时，容易弄错符号 √针对训练 4x-3y=2①， 2x+3y=3①， 1.解方程组 既可用 (2) 4x+3y=1②， 5x-3y=18②； 消去未知数x,也可用 消去未知数y 2.用加减消元法解方程组 2x-5y=3先 4x-2y=8, 消去 比较方便。 x-2y=-3①， (3) 3.用加减消元法将方程组 3x-2y-5中 2x+y=9②； 3x+5y=3 的x消去后得到的方程是 ( A.3y=2 B.3y=-2 C.7y=2 D.-7y=2 4.小杰在用“加减消元法”解二元一次方程 6x+5y=-5①， 组 时，利用①十②Xa 3x-y=7② 3x+2y=7①， (4) 消去y,则a的值是 ( 2x-4y=4②. A.-2 B.2 C.-5 D.5 5.解下列方程组： x+2y=4①， (1) x+3y=5②； ·25· 3二元一次方程组的应用 第1课时古代数学问题 √知识梳理 ①审题；②设未知数；③根据等量关系列方程组；④解方程组；⑤检验 解决实际问题的一般步骤 所求的解是否符合题意；⑥写出答案 针对训练 1.我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样 求出板凳、木马各有多少) 一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两 (‘两’为我国古代货币单位).马二匹、牛 五头，共价三十八两.问马、牛各价几 何？”设每匹马x两，每头牛y两，根据题 意可列方程组为 ( ) 4x+6y=38, 4x+6y=48, A. B. 2x+5y=48 2x+5y=38 4x+6y=48, 4y+6x=48, C. D. 4.明朝《永乐大典》中有这样一道题：“今有 5x+2y=38 2y+5x=38 银钱二十贯，上街去买绫和罗，四十三文 2.《孙子算经》中记载：“甲得乙一羊，则甲 一尺绫，四十四文一尺罗，共买四百六十 为乙两倍，乙得甲一羊，则两人相等，”意 尺，绫、罗数量各几何？”请你求出文中绫 思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量 和罗各买了多少尺.(1贯=1000文) 是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的 羊的数量相等.设甲有x只羊，乙有y只 羊，可列方程组为 3.我国古代人民勤劳智慧，在实践中总结 出了许多有趣的问题，有些问题流传至 今.请你用所学的知识解答问题：板凳木 马三十三，一百条腿朝着天，试问诸君能 算者，板凳木马各若干？（板凳是古代的 一种坐具，每条板凳有4条腿；木马是古 代的一种工具，每只木马有3条腿.请你 ·26· 第2课时借助表格梳理解决实际问题 √针对训练 1.某中学八(1)班45名同学参加捐款助学 甲户 乙户 总和 活动，共捐款400元，捐款情况记录如 农田数/亩 y 500 下表。 水田数/亩 捐款/元 3 6 10 (2)列方程组进行解答. 人数 2 31 表格中捐款5元和8元的人数不小心被 墨水污染看不清楚.若设捐款5元的有 x名同学，捐款8元的有y名同学，根据 题意可列方程组为 ( ) x+y=12, x十y=12, A. B. (5x+8y=84 5x+8y=400 (x+y=45, x+y=45, C. D. 5x+8y=84 5x+8y=400 4.根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两 2.篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜 地的销售单价进行了如下调整：甲地上 一场得2分，负一场得1分.某队全部比 涨10%，乙地降价5元.已知在销售单价 赛结束后的部分统计结果如下表， 调整前，甲地比乙地低10元，调整后甲 胜 负 合计 地比乙地低1元.求调整前甲、乙两地该 场数 10 商品的销售单价. 积分/分 2x 16 表中x,y满足的二元一次方程组是 ,解得 3.甲、乙两个种粮专业户共有农田500亩， 其中72%是水田.已知甲户的农田中 80%是水田，乙户的农田中60%是水 田.求甲、乙两户各有农田多少亩， (1)设甲户有农田x亩，乙户有农田y 亩，补全表格； ·27… 第3课时 借助线段图梳理解决实际问题 针对训练 1.用四个全等的长方形和一个小正方形拼 天.请根据下面的线段图分别求出两个 成如图所示的大正方形，已知大正方形 工程队修建人行步道多少米. 的边长是10，小正方形的边长是2.若用 140m,16天完成 x,y表示长方形的长和宽(x>y),则可 A工程队 B工程队 列方程组为 ( 每天修建12m 每天修建8m x+2y=10, 2x+y=10, A. B. (2x-y=2 x-y=2 x十y=10, x+y=2, C. D. x-y=2 x-y=10 10 420km JB 2h相遇 小汽车：xkm/h客车：ykm/h 4.如图，学校组织学生乘汽车去自然保护 (第1题图) (第2题图) 区野营，去时先以60km/h的速度走平 2.已知A,B两地相距420km,一辆小汽车 路，然后以30km/h的速度爬坡，共用了 和一辆客车同时从A,B两地相向开出， 6.5h;返程时汽车先以40km/h的速度 经过2h相遇，相遇时，小汽车比客车多 下坡，然后以50km/h的速度走平路，共 行驶70km.设小汽车和客车的平均速 用了6h.请你借助下图求出平路和坡路 度分别为xkm/h和ykm/h.根据题意 各有多少千米 得出如图所示的线段图， (1)找出等量关系：小汽车行驶的路程十 去：平路，60kmh 6.5 上坡，30km/h 客车行驶的路程= km,小汽 车行驶的路程一客车行驶的路程= 回： 6h 平路，50km/h 下坡，40km/h km; (2)列出二元一次方程组为 3.为打造公园风光带，现有一段长为140m 的人行步道修建任务，由A,B两个工程 队先后接力完成，A工程队每天修建 12m,B工程队每天修建8m,共用时16 ·28· 4二元一次方程与一次函数 第1课时二元一次方程（组）与一次函数 √知识梳理 内容 基本图形 任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx十b的 二元一次方程与 形式.如图，直线1上的点的坐标都是方程x十b l:y=kx+b 一次函数 y=0的解 两个一次函数图象的交，点坐标就是相应的二元一次 二元一次方程组 方程组的解.如图，1与l2的交点P的坐标即为方 1:y=kx+b 与一次函数 k1x十b1一y=0, 程组 的解 k2x+b2-y=0 12:y=kx+b k1x+b一y=0, 直线y=k1x十b1,y=k2x十b2与方程组 的关系：①当1=k2,b1= k2x+b2-y=0 解题策略 b2时，两直线重合，方程组有无数解；②当k1=2,b1≠b2时，两直线平行，方程组 无解 针对训练 1.以二元一次方程y一2x=2的解为坐标 3),则关于x,y的方 yly=kx+b 的点组成的图象是 ) y=mx+n y=mx+n, 程组 的解 y=kx+b 2 为 - 2x+y=0, 4.利用图象解方程组 x-y=6. x十y=3, 2.已知二元一次方程组 的解为 (1)在平面直角坐标系中画出对应的函 y-x=1 数图象； x=1, 则在平面直角坐标系中，一次函 (2)由图可知，方程组的解为 y=2, 数y=一x十3与y=x十1图象的交点坐 标为 ( ) A.(-1,-2) B.(1,2) -5-4-3-21 12345 C.(2,1) D.(-2,-1) 3.如图，在平面直角坐标系中，函数y=mx十 n与y=kx十b的图象交于点P(-2, ·29· 第2课时用二元一次方程组确定一次函数表达式 √针对训练 1.已知一次函数y=kx十b的图象经过点 与x轴交于点B(1,0),求这个一次函数 (2,7),(一3,2)，则该一次函数的表达 的表达式， 式为 ( A.y=x+5 B.y=-x十3 C.y-x-5 D.y=2x+5 2.如图所示的直线的函数表达式是( A.y=2x十2 B.y=-2x-2 C.y=-2x+2 D.y=2x-2 y/cm 20 12.5 7.某航空公司规定，旅客可免费携带一定 O5101520x/kg (第2题图) (第5题图) 质量的行李，超出部分需另外收费.乘客 3.已知y是x的一次函数，表中列出了x 携带的行李质量x(kg)与其运费y(元) 与y的部分对应值，则m的值是( 的部分数据如下表. 一1 0 1 x/kg 20 23 26 29 32 y 心 -5 y/元 0 90 180 270 360 A.-1 B.0 C.-2 D (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若旅客携带了40kg的行李，则他应 4.某品牌产品网络直播的收益y(元)与直 该支付的运费为多少元？ 播时间x(h)之间满足一次函数关系，直 播1h的收益为500元，直播4h的收益 为1100元.则y与x之间的函数关系 式为 5.在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)与所 挂物体的质量x(kg)的关系满足一次函 数，其图象如图所示，则弹簧不挂物体时 的长度是 cm. 6.如图，在平面直角坐标系内，一次函数y kx十b的图象与正比例函数y=一2x的 图象相交于点A,点A的纵坐标为2，且 ·30· *5三元一次方程组 √针对训练 1.下列是三元一次方程组的是 'x+y+之=26①， x+a=2, 3三4， 3.解方程组：x-y=1②， y 2x+之-y=18③， A.xy+x=4, B. x十x=6, a-x=1 y-2x=7 x=9, x+y=8, C. 3-y=4, D.y-m=3, z-x=5 之-y=5 [x+y=5 2.已知y十之=一2，则x十y十之的值为 之十x=3 第六章 数据的分析 1平均数与方差 第1课时众数与算术平均数 针对训练 1.“五一”期间，高速交警对限速120km/h4.在一次青年歌手演唱比赛中，10位评委 的某路段监测到6辆车的车速（单位： 现场打分，每位选手的最后得分为去掉 km/h)分别为118,106,105,120,118， 最低分、最高分后的平均数.已知10位 112,则这组数据的众数为 ( 评委给某位歌手的打分分别是9.5,9.5， A.115 B.116 C.118 D.120 9.3,9.8,9.4,8.8,9.6,9.5,9.2,9.6,求 2.某4S店今年1~5月新能源汽车的销量 这位歌手的最后得分. (辆数)分别为25,33,36,31,40，这组数 据的平均数是 ( ) A.34 B.33 C.32.5 D.31 3.某班45名同学的视力检查数据如下表， 视力4.34.44.54.64.74.84.95.0 人数 1447111053 这45名同学视力检查数据的众数是 ·31·y↑ -3-21/0123x -2 第2课时一次函数的图象和性质 知识梳理 增大减小 针对训练 1.D2.B3.C4.B5.B6.1 7.解：令y=0,得号x一4=0，解得x=3.所以函数)=号x一4的图象与x轴的交点坐标为3,0).令x=0,得y 4 一4.所以函数y一号x一4的图象与y轴的交点坐标为(0，一4)，函数图象如图所示.所以它的图象与x轴、y轴所 围成的图形的面积为号×3×4=6， 4一次函数的应用 第1课时借助一次函数关系式解决简单应用问题 针对训练 1.B2.C3.D4.A5.y=-6x+4 6.解：(1)设过A,C两点的直线的函数表达式为y=kx十b.将A(-1,4),C(0,6)代入，得一+b=4,b=6,解得=2.所以过A,C 两点的直线的函数表达式为y=2x十6.(2)A,B,C三点不在同一条直线上.理由如下：当x=一3时，y=2×(-3)十6=0≠2，所以 点B(-3,2)不在过A,C两点的直线上，即点A,B,C三点不在同一条直线上. 7.解：(1)设T关于h的函数表达式为T=h十b.将(0,15)，(3,13.2)代入，得b=15,3k+b=13.2,解得k=一0.6.所以T关于h的 函数表达式为T=-0.6h十15.(2)当h=5时，T=-0.6×5+15=12.所以高度为5百米时的气温为12℃. 第2课时单个一次函数图象的应用 知识梳理 0横 针对训练 1.D2.B3.164.400 5.解：(1)7(2)设蜡烛在燃烧过程中的高度y与时间x之间的函数关系式为y=kx+b.把(0,15)，(1,7)代人，得b=15,k+b=7, 解得k=一8.所以蜡烛在燃烧过程中的高度y与时间x之间的函数关系式为y=一8x十15.(3)令y=0,即一8x十15=0，解得x= 要所以经过蜡烛燃烧完米。 第3课时两个一次函数图象的应用 针对训练 1.A2.D3.1500 4.解：(1)(0,150)(2)y=6x(0≤x≤25)(3)令6x=一4x+150,解得x=15.所以6x=90.所以点P的坐标为(15,90).点P的 坐标表示的实际意义是第15秒时1号和2号无人机的飞行高度相同，都是90m, 第五章二元一次方程组 1认识二元一次方程组 知识梳理 两1公共解 针对训练 1.C2.B3.B4.①③②③③ 5.解：(1)(4+8)x+8y=840.(2)51(3)40 2二元一次方程组的解法 第1课时代入消元法 知识梳理 一元一次方程 38 针对训练 1.B2.D3.C 4.解：(1)将①代入②，得3x十2x一4=6，解得x=2.将x=2代入①，得y=2X2-4=0.所以原方程组的解是 x=2,(2)将②代人 y=0. 1x=5, ①，得2(y十1)+3y=22,解得y=4.将y=4代入②，得x=5.所以原方程的解是 y=4. (3)由①，得y=3x-6③.将③代入②，得x |x=3, 十3x一6=6，解得x=3.将x=3代入③，得y=3×3一6=3.所以原方程组的解是 y=3. 第2课时加减消元法 知识梳理 相加相减 针对训练 1.①-②（或②-①）①+②2.x3.D4.D 5.解：1)②-①，得)=1.将y=1代入①，得x十2X1=4,解得x=2.所以原方程组的解是=2，(2)0十②，得7x=21,解得= (y=1. x=3, 3.将x=3代入①，得2X3+3y=3,解得y=一1.所以原方程组的解是 y=-1. (3)②×2，得4x十2y=18③.①+③，得5x=15, 解得x=3.将x=3代入①，得3一2y=一3，解得y=3.所以原方程组的解是 x=3(40X2,得6x+4=14③.⑤+@，得8x= y=3. 9 18,解得x=是将x=是代人@，得2X号-y=4,解得)y一日所以原方程组的解是 y= 8 3二元一次方程组的应用 第1课时古代数学问题 针对训练 x+1=2(y-1), 1.B2. (x-1=y+1 x+y=33, 3.解：设板凳有x条，木马有y只.根据题意，得 解得，答：板凳有1条，木马有32只. 4x+3y=100, （y=32. 4.解：设绫买了x尺，罗买了y尺.根据题意，得 /x+y=460, 解得 43x+44y=20×1000, =240,答：绫买了240尺，罗买了20尺. y=220. 第2课时借助表格梳理解决实际问题 针对训练 1.A2. /x+y=10, x=6, 2x+y=16 y=4 |x+y=500, 3.解：(1)80%x60%y500×72%(2)根据题意，得 80%x+60%y=500X72%,解得 2=300答：甲户有农田30亩，乙户有 (y=200. 农田200亩. 4,解：设调整前甲，乙两地该商品的销售单价分别为x元，y元根据题意，得十10= x=40, 解得〈 答：调整前甲、 1(1+10%)x+1=y-5, y=50. 乙两地该商品的销售单价分别为40元，50元. 第3课时借助线段图梳理解决实际问题 针对训练 |2x+2y=420, 1.C2.(1)42070(2) 2x-2y=70 x+y=140, 3.解：设A工程队修建人行步道xm,B工程队修建人行步道ym.根据题意，得 解得=36：答：A工程队修建人 +音=16， y=104. 行步道36m,B工程队修建人行步道104m. +=6.5 得 |x=150, 4.解：设平路有xkm,坡路有ykm.根据题意，得 答：平路有150km,坡路有120km. +0=6， 【y=120. 39 4二元一次方程与一次函数 第1课时二元一次方程（组）与一次函数 针对训练 x=一2， 1.C2.B3. y=-3 x=2, 4.解：(1) y (2){ =2x5 (y=-4 3 -5-4-3-2-1 12345x 2 yx-6 3 2,4) 第2课时用二元一次方程组确定一次函数表达式 针对训练 1.A2.A3.C4.y=200x+3005.10 6.解：在正此例函数y=一2x中，令y=2,得-2x=2,解得x=一1.所以点A的坐标为（一1,2）.将A(-1,2),B(1,0)代人y=kx十 1k=-1, b,得 」-k+b=2 k+b=0, 解得 所以这个一次函数的表达式为y=一x十1. 1b=1. 7.解：1)设y与工之间的函数表达式为y=红十6≠0).将(23,90，(26,180)代入，得23十-90，解得 =30, 26k+b=180, 6=-600. 所以y与x 之间的函数表达式为y=30x一600(x>20).(2)当x=40时，y=30×40-600=600.所以他应该支付的运费为600元. *5三元一次方程组 针对训练 1.C2.3 3.解：③一①，得x一2y=一8④.②一④，得y=9.将y=9代人②，得x一9=1，解得x=10.将x=10,y=9代人①，得10十9+x= x=10, 26,解得x=7.所以原方程组的解是y=9, x=7. 第六章数据的分析 1平均数与方差 第1课时众数与算术平均数 针对训练 1.C2.B3.4.7 4.解：这位歌手的最后得分为号×(9.5+9.5+9.3+9.4+9.6+9.5+9.2+9.6)=9.45（分）. 第2课时加权平均数及其应用 针对训练 1.A2.9.13.21 4.解：甲的平均得分为2X7十2X7十9=7.4，乙的平均得分为8×？士8X2+6=7.6.因为7.6>7.4，所以乙将被录用. 2+2+1 2+2+1 第3课时离差平方和、方差、标准差 针对训练 1.C2.B3.4.4 4.解：z=6+6+8+10+10=8,所以S=(6-8)×2+(8-8)2+(10-8)2×2=16. 5 第4课时数据集中、离散程度的应用 针对训练 1.A2.C3.小明小明的成绩比较稳定 4.解：(1)元甲=(80+80+85+85+85)÷5=83，S甲=(80-83)2+(80-83)2+(85-83)2+(85-83)2+(85-83)2=30，元z=(90 40