25.3用频率估计概率 课件 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用频率估计概率”核心知识点，通过问题链导入，引导学生分组进行抛掷硬币实验，收集不同次数下的频率数据并绘图分析，结合历史试验数据强化频率稳定性认知，衔接图钉试验构建从等可能到非等可能事件的学习支架。 其亮点在于以实验探究为主线，通过硬币、图钉、几何概型等系列实验，培养学生数据观念（分析频率变化规律）、抽象能力（从频率稳定抽象概率概念）和推理意识（逻辑区分频率与概率）。实例丰富如分组数据记录、历史试验对比、π值估算活动，助力学生提升探究能力，也为教师提供可操作的实验教学方案。

§25.3 用频率估计概率 及 149页 实验与探究 授课教师：xxx 第二十五章 概率初步 人教版·九年级上册 1 情景引入 问题1 抛掷一枚质地均匀的硬币，硬币落地后，会出现哪些可能的结果呢？ 出现“正面朝上”和“反面朝上”两种情况 问题2 它们的概率是多少呢？ 由列举法可知都是0.5 问题3 在多次抛掷一枚质地均匀硬币时，实际会出现什么情况呢？ 试验：把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据，并完成下表 . 情景引入 根据上表中的数据，在下图中标注出对应的点. 情景引入 试验：经过模拟试验的得到下表 . 根据上表中的数据，在下图中标注出对应的点. 想一想：“正面向上”的频率有什么规律？ 情景引入 抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 “正面朝上”的频数 31 57 81 99 123 152 175 201 “正面朝上”的频率 0.62 0.57 0.54 0.50 0.49 0.51 0.50 0.50 情景引入 思考 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么？ 可以发现，在重复抛掷一枚硬币时,“正面向上”的频率在0.5附近摆动, 随着抛掷次数的增加,频率呈现出一定的稳定性:在0.5附近摆动的幅度会越来越小.这时,我们称“正面向上”的频率稳定于0.5.它与前面用列举法得出的“正面向上”的概率是同一个数值. 　　历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果见下表： 人们在长期的实践中发现，在随机试验中，由于众多微小的偶然因素的影响，每次测得的结果虽不尽相同，但大量重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则，亦称大数定律. 新知建构 新知建构 通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性.因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率. 25.3 用频率估计概率 思考1. 抛掷硬币试验的特点： 1.可能出现的结果数__________; 2.每种可能结果的可能性__________. 相等 有限 思考2. 如果是抛掷图钉的试验，能否用列举法求出概率 不能 因为无法判断“结果是否具有等可能性” 思考3. 能不能用频率估计概率 探究思考 用频率估计概率,虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率,但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制,使得可求概率的随机事件的范围扩大. 因此，虽然不能用列举法求抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，但可以通过大量重复试验进行估计. 9 抛掷图钉的试验 问题 从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？ 试验探究 10 1. 抛掷一枚图钉400次，每隔50次记录相应的数据，得到下表： 试验累计次数 50 100 150 200 250 300 350 400 钉尖朝上的次数 28 61 81 109 139 162 196 224 钉尖朝上的频率 0.56 0.61 0.54 0.55 0.56 0.54 0.56 0.56 试验探究 抛掷图钉的试验 11 试验探究 2. 根据上表画出统计图表示“钉尖朝上”的频率 “钉尖朝上”的频率 抛掷次数n 抛掷图钉的试验 1. 抛掷一枚图钉400次，每隔50次记录相应的数据，得到下表： 试验累计次数 50 100 150 200 250 300 350 400 钉尖朝上的次数 28 61 81 109 139 162 196 224 钉尖朝上的频率 0.56 0.61 0.54 0.55 0.56 0.54 0.56 0.56 12 频率 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0.56 0.61 0.54 0.55 0.56 0.54 0.56 0.56 3. 这个试验你得到了什么结论？ 试验探究 可以发现，在重复抛掷一枚图钉时，“钉尖向上”的频率在0.56附近摆动.一般的，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的稳定性：在0.56附近摆动的幅度会越来越小. 这时，我们称“钉尖向上”的频率稳定于0.56. 同时，我们也得出了抛掷图钉产生的两种情况出现的可能性不相等. 13 概念辨析 在做图钉针尖落地的试验中，正确的是( ) A.甲做了4000次，得出针尖触地的机会约为44%，于是他断定在做第4001次时针尖肯定不会触地. B. 乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度. C. 老师安排每位同学回家试验，图钉自由选取. D. 老师安排同学回家做试验，图钉统一发(完全一样的图钉)，同学交来的结果老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要. B 概率是针对大量重复试验而言的,大量重复试验反映的规律并非在每一此随机试验中都发生. 14 1.连续掷一枚质地均匀硬币10次,结果10次全部是正面,则正面向上的概率是1. 2.小明掷硬币10000次，则正面向上的频率在0.5附近. 3.设一大批灯泡的次品率为0.01,那么从中抽取1000只灯泡,一定有10只次品. 错误 错误 正确 练1 判断正误 课堂练习 例题练习 练2 在一个不透明盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个.做摸球试验，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复，多次试验后，得到表中的数据，并得出了以下四个结论，则其中正确的结论是（　　） A．这个盒子中的白球一定有28个 B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率为0.6 C．试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6 D．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200 B 16 练3某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法? 分析 这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等未知，所以成活率要由频率去估计. 在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率. 随着移植棵数n的越来越大，频率会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值. 例题练习 在模拟的统计表中补全表中的空缺，并完成表下的填空 0.940 0.923 0.883 0.905 0.897 例题练习 从表中可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定.当移植总数为14000时，成活的频率为0.902，于是可以估计幼树移植成活的概率为____. 0.9 频率与概率的关系 联系 频率 概率 事件发生的频繁程度 事件发生的 可能性大小 稳定性 大量重复试验 区别 频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同，而概率是一个确定数，是客观 存在的，与每次试验无关. 归纳总结 通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性.因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率. 19 专题探究 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率 一般地，如果在一次试验中，结果落在区域D中每一点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中的一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为 M是D中一个小区域 D是一个包含M的大区域 每种试验结果是等可能的, 没有结果种数有限的限制. 数学上把具备元素有限且出现可能性相等的数学模型称为古典概型. 几何概型. 1.回顾旧知——几何概型 我们可以把事件A理解为区域D的某一个小区域M，A的概率只与区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关， 20 专题探究 如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米. 求：这粒米落在圆内的概率是多少？ 圆的面积 正方形的面积 . 2.模型引入 专题探究 如图是一个正方形及其内切圆，请你借助这个图形和上一道题目的结论，设计一个实验来估算π的值. 3.实验探究 专题探究 3.实验探究 实验目的：估算π的值. 实验器材：一张正方形纸片，在纸片上事先画好其内切圆、米粒若干. 专题探究 实验与探究----π的估计 实验注意事项：（1）撒米高度要适中；（2）按一定顺序清点区域内米粒颗数;（3）落在圆周上的米粒统计到“圆外正方形内颗数”栏； （4）落在正方形边界上及边界外的米粒均不统计. 专题探究 活动小结 古人计算圆周率，一般是用割圆术法，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长.而今天我们通过随机模拟的方法对π进行估计，这也体现了“用频率估计概率”的广泛应用. 如图，圆内接四边形ABCD，对角线AC，BD过圆心O，AC⊥BD，点P是圆内随机确定的一个点，求点P落在四边形ABCD内的概率.小明为估计π的值，进行投掷飞镖实验，共随机掷飞镖335次，其中落在四边形ABCD内211次，落在圆外10次，小明此次实验估计的π值是多少？（精确到小数点后两位） 课后练习 接下来进入练习时间，请同学们看这样一道题目 26 如图，圆内接四边形ABCD，对角线AC，BD过圆心O，AC⊥BD，点P是圆内随机确定的一个点，求点P落在四边形ABCD内的概率.小明为估计π的值，进行投掷飞镖实验，共随机掷飞镖335次，其中落在四边形ABCD内211次，落在圆外10次，小明此次实验估计的π值是多少？（精确到小数点后两位） 课后练习 解：可证得圆内接四边形ABCD是正方形， 设圆的半径是R，则：AC=BD=2R. ∴正方形ABCD的面积= . 又∵圆的面积= , 接下来进入练习时间，请同学们看这样一道题目 27 课后练习 C 接下来进入练习时间，请同学们看这样一道题目 28 Lavf57.83.100 $