专题04 圆（19大题型）（期末复习知识清单）九年级数学上学期沪科版

该初中数学专题清单系统整合了旋转、中心对称及圆的核心知识，涵盖7大知识模块、19类典型题型、3项易错警示与2种解题方法，为学生搭建从概念理解到综合应用的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+题型变式+易错剖析+方法总结”四维架构呈现知识体系，如垂径定理推论标注“平分弦（非直径）”关键条件，培养推理意识；切线判定方法分“连半径证垂直”“作垂直证半径”两类，结合空间观念设计阶梯式变式训练。特别设置易错点分类讨论示例，如平行弦位置关系需分同侧异侧，助力学生精准突破难点，教师可直接用于专题复习或分层教学。

专题04 圆（7知识&19题型&3易错&2方法清单） 【清单01】旋转的定义与性质 1.旋转定义 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，图形的这种变化称为旋转，这个点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。 2.旋转的基本性质 一个图形和它经过旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。 【清单02】中心对称的相关概念与性质 1.中心对称 在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心。中心对称是对两个图形来说的 2.中心对称的性质 成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 3.中心对称图形 在平面内，把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。中心对称图形是对一个图形来说的。 4.中心对称图形的性质 中心对称图形上的每一组对应点所连成的线段都被对称中心平分。 【清单03】圆的基本概念 1.圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”. 2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径. 3.弧： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧叫做优弧. 4.等圆.：能够重合的两个圆叫做等圆. 5.等弧.：在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧. 【清单04】圆的性质 .1. 垂径定理及其推论： ①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ②推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 2. 圆心角、弧、弦的关系： ①定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． ②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧.两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等． 3. 圆周角及其推论： ①定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ②推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等． ③推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． ④圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角． 【清单05】与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP = d，则有： 点P在圆外⇔d > r ； 点P在圆上⇔d = r ； 点P在圆内⇔d < r ． 性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 2.直线与圆的位置关系 ①位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有： 直线l和⊙O相交⇔d < r ； 直线l和⊙O相切⇔d = r ； 直线l和⊙O相离⇔d > r ②切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． ③切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ④切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 【清单06】圆与多边形的关系 1、三角形的外接圆与外心 ①定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心． ②外心的性质：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等. 2、三角形的内切圆与内心 ①定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心. ②内心的性质：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等. 3、正多边形与圆 ①定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． ②性质：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. 【清单07】圆的有关计算 1、弧长：n°的圆心角所对的弧长l为：. 2、扇形面积：圆心角为n°的扇形面积S为：或. 3、圆锥的侧面积： 圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为 ， 全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有． 圆锥与侧面展开图的等量关系：，. 【题型一】找旋转中心、旋转角 【例1】 如图，与都是等腰直角三角形而且全等，，点E在边上，下列说法正确的是（    ） A．绕点A顺时针旋转与重合 B．绕点A顺时针旋转与重合 C．绕点A顺时针旋转与重合 D．绕点A顺时针旋转与重合 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形、旋转角，找准旋转角是解题关键． 先根据等腰直角三角形的定义可得，再根据旋转角的定义即可得． 【详解】解：与都是等腰直角三角形，， ， ∴绕点A顺时针旋转与45°重合 和都是旋转角，旋转角度是， 故选：D． 【变式1-1】(23-24九上·北京朝阳区·期末)在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 【变式1-2】如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角度得到，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】在中，，， ， 将绕点逆时针旋转角度得到， ， ， ， 旋转角的度数是， 故选B． 【变式1-3】如图，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是     A. B. C. D. 【答案】B  【解析】旋转中心在各对应点的连线段的垂直平分线上，则作线段、、的垂直平分线，它们相交于点即为旋转中心． 所以是由绕着点逆时针旋转得到的． 故选B． 【题型二】利用旋转性质求解 【例2】 如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．设与交于点，根据旋转角，求得，，根据等边对等角求得的度数，根据三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：设与交于点， ∵将纸片绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴ 故选：B． 【变式2-1】如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为____________. 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由条件证得是等边三角形是解题的关键． 由旋转的性质可证得为等边三角形，则可求得，再利用线段的和差，则可求得答案． 【详解】解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】(25-26九·阶段性检测期中模拟试卷·期中)如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到．下列结论错误的是（　　） A． B． C．B，E两点之间的距离为8 D．A，C，E三点共线 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质，等边三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵将绕点C顺时针旋转得到，， ∴，，故A选项正确，不符合题意； ∴是等边三角形，， ∴，A，C，E三点共线，故C、D选项正确，不符合题意； 根据题意，无法得到的度数，则无法得到与的位置关系，故B选项错误，符合题意． 故选：B 【变式2-3】如图，将绕点逆时针旋转到，点恰好落在边上．已知，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转至， ≌， ， ， 故选C． 【题型三】画旋转图形 【变式3-1】如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)将绕点逆时针旋转得到，画出旋转后的图形． (2)写出点、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了旋转的作图、坐标系中的图形的变换，正确作图是关键． （1）找到绕点逆时针旋转的对应点，画出旋转后的图形即可； （2）根据（1）中的图形写出答案即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：由图可知，点、的坐标分别为． 【变式3-2】在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． (1)作出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标 ，点的坐标 ； (2)把向上平移个单位长度得到，画出； (3)将以为旋转中心，逆时针旋转得到，画出； (4)已知与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标 ． 【答案】(1)图见解析，，； (2)见解析； (3)见解析； (4)． 【分析】此题考查了中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键． （）根据中心对称的性质作出点的对应点，然后顺次连接即可； （）根据平移特点先作出点，平移后的对应点，然后顺次连接即可； （）根据旋转特点先作出点，旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （）连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∴，， 故答案为：，； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； （4）解：如图， ∵，， ∴对称中心的坐标为，即对称中心的坐标为， 故答案为：． 【变式3-3】(25-26九上·云南昆明官渡区云大附中星耀学校·期中)在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，A点坐标是，B点坐标是，C点坐标是． (1)将向下平移4个单位，画出平移后的，并写出的坐标； (2)将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的图形，并写出点坐标． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析， 【分析】本题考查了作图-旋转变换，平移变换． （1）根据平移的性质确定A、B、C的对称点、、的位置，然后连线，再根据的位置可得坐标． （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、C的对应点、即可得到，再根据的位置可得坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ∴． （2）解：如图，即为所求． ∴． 【题型四】旋转规律问题 【例4】 （2025·四川省·宜宾市·期中测试）如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，得到点P1，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2，…，按此规律继续旋转，直到得到点P2020为止，则AP2020= ______ . 【答案】8081 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到AP的长度依次增加5，4，3，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2020除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5， ∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1=5； 将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=5+4=9； 将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=5+4+3=12； 又∵2020÷3=673…1， ∴AP2020=673×12+5=8076+5=8081． 故答案为：8081． 【变式4-1】如图，将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点A作轴于点D，结合，，得到，，，确定，根据旋转意义，得到第一秒后的位置为，第二秒后的位置为，第三秒后的位置为，第四秒后的位置为，第五秒后的位置为，第六秒后的位置为，确定循环节为6，再由即可得到答案． 【详解】解：过点A作轴于点D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 根据旋转意义，得到第一秒后的位置为，第二秒后的位置为，第三秒后的位置为，第四秒后的位置为，第五秒后的位置为，第六秒后的位置为， ∵每旋转6次为一个循环 ∵， ∴第2025秒时，点的对应点的坐标为， 故选C． 【变式4-2】将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征，熟练利用条件证明全等三角形，；通过旋转和中心对称求解对应点坐标，是求解该题的关键．根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的A点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的A点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和A点重合，再判断第2025次属于循环中的第3次，最后即可得出答案． 【详解】解：第一次旋转时：过点作轴的垂线，垂足为，如下图所示： 由的坐标为可知：，， 在中，， 由旋转性质可知：， ，， ， 在与中： ， ，， 此时点对应坐标为， 当第二次旋转时，如下图所示： 此时点对应点的坐标为． 当第3次旋转时，第3次的点对应点与点成中心对称，故坐标为． 当第4次旋转时，第4次的点对应点与第1次旋转的点成中心对称，故坐标为． 当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的点成中心对称，故坐标为． 第6次旋转时，与A点重合． 故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为：、、、、、． 由于，故第2025次旋转时，A点的对应点为． 故选：A． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点与坐标原点重合，点在轴正半轴上．将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，记为第一次旋转．再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，以此规律旋转．则点的坐标为 ，第2025次旋转后钝角顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．过点B作轴于点T，于点H．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，可得点B的坐标，再探究规律，利用规律求解即可． 【详解】解：过点B作轴于点T，于点H． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意，，，，，，…， 发现每旋转3次循环，， ∴第2025次旋转后钝角顶点的横坐标为，纵坐标为0， ∴第2025次旋转后钝角顶点坐标为， 故答案为：，． 【题型五】 中心对称及其性质 【例5】（2025山东烟台中考）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【解析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 故选：D 【变式5-1】在平面直角坐标系中，与关于原点成中心对称的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心 、与关于轴对称，故A选项不符合题意； B、与关于轴对称，故B选项不符合题意； C、与关于对称，故C选项不符合题意； D、与关于原点对称，故D选项符合题意； 故选：． 【变式5-2】（2025山东中考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，与关于原点中心对称，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】与关于原点中心对称， 点和点关于原点对称， 点的坐标为， 的坐标为． 故选C． 【题型六】 圆的相关概念 【例6】（24-25九年级上·山东德州·期中）以下命题正确的是（   ） A．任何一条直径都是圆的对称轴 B．周长相等的圆是等圆 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是圆上任意两点所连的线段 【答案】B 【分析】本题考查了圆的有关概念和性质，垂径定理等相关知识；需要特别注意的是轴对称图形的对称轴是一条直线． 根据圆的有关概念和性质，垂径定理等知识对各个命题进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，故此选项说法错误，不符合题意； B、周长相等的圆的半径也相等，故是等圆，故此选项说法正确，符合题意； C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故此选项说法错误，不符合题意； D、通过圆心并且两端都在圆周上的线段叫做圆的直径，故此选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 【变式6-1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的外心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要查了圆周角定理，圆的基本性质等．根据圆周角定理，圆的基本性质，三角形的内心和外心，逐项判断，即可求解． 【详解】解：（1）等弧所对的弦相等，正确； （2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误； （3）不在同一条直线上的三点确定一个圆，故原说法错误； （4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原说法错误； （5）三角形的内心到三角形三边距离相等，故原说法错误． 所以正确的命题的个数是1． 故选：A 【变式6-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念辨析．根据弧：圆上两点及其所夹的部分；弦：连接圆上两点形成的线段，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误； C、弦不一定是直径，故选项错误； D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确； 故选D． 【变式6-3】（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）有以下说法①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的弧是等弧；④直径是弦，弦是直径．其中说法错误的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据圆周角定理对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据等弧的定义对③进行判断；根据弦、直径的定义对④进行判断． 【详解】解：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以①错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以②正确； 能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以③错误； 直径是弦，弦不一定是直径，所以④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理． 【题型七】 利用垂径定理求解 【例7】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，⊙O中，CD是直径，且CD⊥AB于P，则下列结论中不一定正确的是（　　） A.AP=PB B. C.∠AOB=4∠ACD D.PO=PD 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理以及圆周角定理．注意掌握角与弧之间的关系是解此题的关键． 由CD是直径，且CD⊥AB于P，由垂径定理即可求得AP=BP，，继而证得∠AOB=4∠ACD． 【详解】解：∵CD是直径，且CD⊥AB于P， ∴AP=BP，， 故A，B正确； ∵， ∴∠AOD=∠BOD， ∵∠AOD=2∠ACD， ∴∠AOB=2∠AOD=4∠ACD． 故C正确； 无法判定PO=PD，故D错误． 故选：D． 【变式7-1】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，为的直径，弦于点，若，则的长为__________. 【答案】 【分析】本题考查的知识点是圆的基本性质、垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 先求出圆的直径、半径，再根据垂径定理得到，结合勾股定理得到即可求解． 【详解】解：连接， ，， 直径， 半径， ， ，是直径， ， 中，有， ， ． 故答案为：． 【变式7-2】（25-26九年级上·广西柳州·期中）如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（   ） A．分米 B．分米 C．2分米 D．3分米 【答案】C 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接， 由题意知，交于点C， ∵分米， ∴（分米）， 在中，根据勾股定理得： （分米）， ∴（分米）． 故选：C． 【变式7-3】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为的经过点，，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．过点作于点，连接，根据垂径定理得到，由，，可得，，，推出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 的坐标为， 故答案为：． 【题型八】 平行弦问题 【例8】 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 【变式8-1】一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 【答案】C 【分析】先根据垂径定理和勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF，即可得出结论. 【详解】如图 作OE⊥AB于点E，交CD于F ∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1 ∴OE=0.8m ∵水管水面上升了0.2米， ∴OF=OE-EF=0.8-0.2=0.6m ∴m ∴CD=1.6m 故选C 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理是解题关键. 【变式8-2】如图所示，矩形与相交于、、、，若，，，则的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过O作OH⊥CD并延长，交AB与P，求出DH的长，再根据矩形的性质求出MP的长，再由垂径定理解答即可. 【详解】如图所示，过O作OH⊥CD并延长，交AB与P，则EH＝EF＝×8＝4，DH＝DE＋EH＝1＋4＝5，即AP＝5，MP＝AP－AM＝5－2＝3，MN＝2MP＝2×3＝6.故C选项正确,                               【点睛】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形求解. 【变式8-3】如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为__________． 【答案】 【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值． 【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H． ∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F， ∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9， ∴，， ∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21， BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21， 在Rt△BCH中，根据勾股定理得：， 即PA＋PC的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键． 【题型九】利用弧、弦、圆心角关系求解 【例9】 （2025·河南郑州·一模）如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角、圆周角的关系，掌握弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题关键． 根据弧、弦、圆心角、圆周角的关系逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，，该选项正确，但不符合题意； B、，，，，该选项正确，但不符合题意； C、由已知条件无法判断，故无法判断，故该选项错误，但符合题意； D、由B选项得，，该选项正确，但不符合题意． 故选：C． 【变式9-1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，是直径，C，D为上的点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，掌握圆心角、弧、弦的关系成为解题的关键．根据圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系易得，从而求得的度数，再利用圆周角定理和角的和差即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式9-2】（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知半径为3，上有两点A、B，，则弦所对劣弧的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，弧、弦、圆心角的关系，先证明是等边三角形，得到即可求解． 【详解】解：如图， ∵半径为3，上有两点A、B，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弦所对劣弧的度数为， 故答案为：． 【变式9-3】（2025·江苏苏州·一模）如图，点A，B，C，D，E在上，D是的中点，．若，，则___________°．    【答案】85 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．连接，由三角形内角和定理与等腰三角形的性质得，由圆心角、弧、弦的关系求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接．    ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：85． 【题型十】利用圆周角定理及其推论求解 【例10】如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接 、，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出 ，再根据圆心角、弧、弦的关系得到 ，然后根据圆周角定理得到 的度数； 【详解】连接 、，如图，    故选：D 【点睛】本题考查了圆周角定理，正确记忆在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题关键 【变式10-1】如图，、是以线段为直径的上的两点，若，且，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出答案． 【详解】如图，连接，      ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了圆周角定理、直径的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题． 【变式10-2】如图，在上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，根据等腰三角形的性质求出，再根据圆周角定理得出，最后根据圆的内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：连接、， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D．    【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，等腰三角形等边对等角，圆的内接四边形对角互补． 【变式10-3】．已知点A，B，C是上的点，且三点互不重合，下列结论错误的是（　　） A．若点B是的中点，则 B．若，则或 C．若，则 D．若四边形是平行四边形，则四边形一定是菱形 【答案】C 【分析】根据等弧对等角可判断A正确；依据圆周角定理可判断B正确；依据垂直及平行线的性质可判断C错误；依据圆的基本性质及菱形的判定方法可判断D正确． 【详解】解：如答图1，∵点B是的中点， ∴， ∴，选项A正确； 当时，分两种情况， 如答图5，当点C位于优弧上时， 由圆周角定理，得， 如答图6，当点C位于劣弧上时，在优弧上任选一点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴或，选项B正确； 当时，分两种情况． 如答图3，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如答图4，∵， ∴， ∴的度数为或，选项C错误； 如答图2，∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， ∴四边形是菱形，选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了等弧对等角、圆周角定理、垂直及平行线的性质及菱形的判定；熟练掌握相关性质是解题的关键． 【题型十一】利用圆内接四边形的性质求解 【例11】 如图，已知钝角三角形内接于⊙，，则的度数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交圆O于点D，连接，利用圆周角定理及圆的内接四边形对角互补解题即可． 【详解】解：如图，延长交圆O于点D，连接， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆周角定理解圆的内接四边形对角互补的知识点，能够熟练构造辅助线是解题关键． 【变式11-1】如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径所对圆周角为直角，结合可得，根据圆内接四边形对角互补即可得到答案； 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， 故选：D； 【点睛】本题考查直径所对圆周角为直角与圆内接四边形对角互补． 【变式11-2】如图，点A，B，C，D在上，四边形是平行四边形，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据圆周角定理得到，根据平行四边形的性质，得到，根据圆内接四边形的性质，得到，得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 【变式11-3】如图，在的内接四边形中，，，若点在上，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故选：C. 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 【题型12】 点和圆的位置关系 【例12】 （24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴圆心在直线上， 设其圆心坐标为， 则，即， 由勾股定理得， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为， 半径为， ∵， ∴点在这条圆弧所在圆上， ∵， ∴原点在这条圆弧所在圆内， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 【变式12-1】（22-23九年级上·云南玉溪·期中）以坐标原点为圆心，10为半径画圆，则点与的位置关系是（    ） A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有三种，设的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有点P在圆外 ；点P在圆上 ；点P在圆内 ，熟记圆心距与半径的关系是解题的关键． 由点P的坐标计算出的长，根据可得答案． 【详解】解：， ∴， ∴点P在上， 故选：A． 【变式12-2】（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（   ） A．点B在内 B．直线与相离 C．点C在上 D．直线与相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，过A点作于H，如图，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离． 【详解】解：过A点作于H，如图， ， ， 在中， ， ， ∴B点在外，所以A选项不符合题意； ， ∴C点在外，所以C选项不符合题意； ， ∴直线与相切，所以D选项符合题意，B选项不符合题意． 故选：D． 【变式12-3】（2024·河北沧州·模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（    ） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 【答案】C 【分析】本题考查圆的定义，点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键．甲图中，取中点，连接，，得出，得点、、是以点为圆心，为半径的圆上，再判断点在圆外即可；乙图中，取中点，连接，，得，即可判断． 【详解】解：如甲图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、是以点为圆心，为半径的圆上， 为直角三角形， ∴， ∴点在圆外， ∴甲图四点不共圆； 如乙图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、、是以点为圆心，为半径的圆上， ∴乙图四点共圆， 综上，甲图四点不共圆，乙图四点共圆， 故选：C． 【题型十三】直线和圆的位置关系 【例13】（23-24九年级上·江苏·周测）已知的直径为10，直线l与圆心O的距离为8，那么直线l与公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】此题考查了判断直线与圆的位置关系及交点个数，正确掌握直线与圆的三种位置关系及对应的交点个数是解题的关键． 根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断即可． 【详解】解：∵的半径为10，圆心O到直线l的距离为8， ∵，即：， ∴直线l与的位置关系是相交． ∴与直线l有2个公共点， 故选：C． 【变式13-1】已知，点在的平分线上，，以点为圆心，为半径作，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】A 【分析】过点作于点，根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，又因为大于半径，即可得到与的位置关系． 【详解】解：过点作于点， ，点在的平分线上， ， 在中，， ， ， 与的位置关系是相离， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，30度角所对的直角边等于斜边一半，直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系是解题关键． 【变式13-2】题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（    ）    A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】D 【分析】由勾股定理求出，再根据等面积法求出斜边上的高为，再根据半径的情况，分别作出图形，进行判断即可得到答案． 【详解】解：，， ， 斜边上的高为：， 当时，画出图如图所示：   ， 此时在圆内部，与只有一个交点， 当时，画出图如图所示，   ， 此时与只有一个交点， 当时，画出图如图所示：   ， 此时与只有一个交点， 三人的答案合在一起才完整， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直线与圆的位置关系，等面积法，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 【变式13-3】如图，已知直线的解析式是，并且与轴、轴分别交于，两点．一个半径为3的，圆心从点开始以每秒2个单位长度的速度沿着轴向下运动，当与直线相切时，则该圆运动的时间为（　　） A．3秒或8秒 B．8秒 C．3秒 D．6秒或16秒 【答案】A 【分析】由直线的解析式可确定和，由此可得以及；由题可知，当在直线上方与直线相切时，圆心到直线的距离为，则由即可求解此时的长度，进而求解运动时间；在直线下方与直线相切时的求解方法同上． 【详解】解：如图，共有两种相切方式， 由直线的解析式，可得和，则，， 当在直线上方与直线相切时，，则，即C点的运动距离为，则运动时间为； 当在直线下方与直线相切时，，则，即C点的运动距离为，则运动时间为； 故选择：A． 【点睛】本题首先要注意分类讨论，考查了运用切线的性质和三角函数等知识解决问题． 【题型十四】切线的判定与性质综合 【例14】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为，的长为 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． （1）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得的长；根据全等三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，最后根据求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， 设， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴在中，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴在中，， ∴， 综上，的长为，的长为． 【变式14-1】如图，在矩形ABCD中，，E是边AB上一点，且．已知经过点E，与边CD所在直线相切于点G（为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且，当边AD或BC所在的直线与相切时，AB的长是（    ） A．5或9 B．6或9 C．5或 D．6或 【答案】D 【分析】边BC所在的直线与⊙O相切时，过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN＝NF，由，依据勾股定理求出半径r，根据计算即可；当边AD所在的直线与⊙O相切时，同理可求． 【详解】解：边BC所在的直线与⊙O相切时， 如图， 切点为K，连接OK，过点G作GN⊥AB，垂足为N， ∴EN＝NF， 又∵， ∴ 设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2＋ON2， 得：r2＝16＋（8−r）2， ∴r＝5， ∴OK＝NB＝5， ∴EB＝9， 又，即， ∴AB＝； 当边AD所在的直线与⊙O相切时，切点为H，连接OH，过点G作GN⊥AB，垂足为N， 同理，可得OH＝AN＝5， ∴AE＝1， 又， ∴AB＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径． 【变式14-2】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，证明，得到，即可得出结论； （2）设与的另一交点为，连接交于点，连接，证明，得到，进一步得到，设，则，根据勾股定理得到，设，则，根据勾股定理得到，解得，再求出，证明，得到，设，则，则，求得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵与边相切于点D， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：设与的另一交点为，连接交于点，连接，如图： ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 在中，． 【变式14-3】已知：如图，在中，，E为上一点，是的角平分线，，长为半径作． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，且，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了切线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，切线长定理等； （1）过点D作于F，由切线的性质得，由角平分线的性质定理得，即可求证； （2）由可判定，由全等三角形的性质得，由线段的和差即可得证； （3）由（2）可知，，等量代换得，设，，由勾股定理得，求出的值后，可求出、，进而求出的值，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，求出，由勾股定理得，即可求解． 掌握切线的判定方法∶“作垂直，证半径”，并能熟练利用全等三角形的判定方法及性质、相似三角形的判定方法及性质，用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点D作于F； 为的切线， ， ， 平分，， ， 与相切； （2）证明：在和中， ， （）， ， 为的切线，与相切， ， ， 即； （3）解：由（2）可知，，， ， ， 设，， ， ， 解得：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【题型15】 利用切线长定理求解 【例15】（2025·山东淄博·一模）如图，四边形是的外切四边形，且，，的半径，则四边形的面积为（   ） A．44 B．88 C．100 D．110 【答案】D 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，如图，连接，，，，作出过切点的半径，，，，证明，再利用割补法求解面积即可. 【详解】解：如图，连接，，，，作出过切点的半径，，，， ∵四边形是的外切四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积为： ； 故选：D 【变式15-1】 如图，点是半径为的外一点，，分别切于，点，若是边长为的等边三角形，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连结、，，根据切线的定理得，，再根据直角三角形的性质可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连结、、，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∵，分别切于，点， ∴，， ∴，平分， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故选：．    【点睛】本题考查了等边三角形的性质，切线的性质定理，切线长定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式15-2】如图，为的内切圆，，，点D，E分别为，上的点，且为的切线，则的周长为（　　） A．9 B．7 C．11 D．8 【答案】C 【分析】设，，，和圆的切点分别是P，N，M，Q，根据切线长定理，得，，，根据的周长可求解． 【详解】解：设，，，和圆的切点分别是P，N，M，Q，， 根据切线长定理，得 ，，． 则有， 解得：． 所以的周长． 故选：C． 【点睛】本题主要是考查了切线长定理，掌握圆中的有关定理是解题关键． 【变式15-3】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 【题型十六】 三角形内切圆与外接圆的综合 【例16】 （2025年·广东省·同步练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．求△ABC的内切圆半径r． 【答案】 【分析】本题考査了三角形的内接圆与内心，利用面积法求解是解题的关键. 连接OA、OB、OC，△ABC被分为三个小三角形，依据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接OA、OB、OC，则S△ABC＝S△OAB + S△OBC + S△OCA． ∵ ， ， ， ∴， 又 ， ∴ ， ∴ ， 即△ABC的内切圆半径r为 ． 【变式16-1】（24-25九年级上·天津河北·期中）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可知：，，，，， ，， ，， ， 故选：D． 【变式16-2】（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，三角形的内切圆圆心到三条边的距离相等，三角形的外接圆圆心到三个顶点的距离相等，熟记相关结论即可求解.由题意得是直角三角形，设的内切圆半径和外接圆半径分别为，则，直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 设的内切圆半径和外接圆半径分别为， 则， 解得：； ∵直角三角形外接圆圆心为斜边的中点， ∴ 故选：B 【变式16-3】如图，点I和O分别是的内心和外心，若，则的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】此题考查了三角形的内心和外心的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意做出的外接圆，的内切圆，进而利用三角形内心和外心的性质求解． 分别作出的外接圆，的内切圆，首先根据三角形内心的性质以及三角形内角和定理求出，进而求出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：分别作出的外接圆，的内切圆， ∵点I是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点O是是外心， ∴， 故答案为：． 【题型十七】正多边形与圆的相关计算问题 【例17】如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正多边形内角和公式求出，根据切线的定义得出，进而可得，再根据圆周角定理可得． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 切，于点M，N， ， 又五边形的内角和为， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查正多边形内角和问题，圆周角定理，解题的关键是掌握多边形内角和公式． 【变式17-1】已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在边长为4的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出和半径，进而得出小正六边形的长，再根据正六边形的性质求出半径，即边长即可． 【详解】解：如图，连接交于O，则点O是圆心，过点O作于N，连接，取的中点G，连接，，，过点S作于点T，    由对称性可知，， ∵图中均为正六边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由正六边形的性质可知，、、都是正三角形， ∴FHMF， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键． 【变式17-2】．如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（    ）．    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可． 【详解】解：设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：    则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值， 由题意可得：， 由勾股定理可得：， ∴， 故选：D 【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置． 【变式17-3】如图，在边长为的正六边形中，连接BE，，相交于点O，若点分别为，的中点，则的长为（    ）    A．6 B． C．8 D．9 【答案】D 【分析】连接，利用是含角的直角三角形，再利用是三角形的中位线求MN即可. 【详解】解：连接BF，    ∵在正六边形中，，， ∴ ∴， ∴在正六边形中，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是含角的直角三角形 又∵正六边形的边长为，即 ∴， ∴ ∵点分别为，的中点， ∴是三角形的中位线， ∴ 故选：D. 【点睛】本题考查正多边形的内角和中心角，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形三边关系，正确作出辅助线是解题的关键. 【题型18】圆中的相关计算问题（弧长、扇形面积、圆锥相关计算) 【例18】如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点D，E．若，，则的长为 （　　） A． B．π C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出，再根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：， 故选：B． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键． 【变式18-1】 （2025·福建福州·模拟预测）物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．重物上升的高度就是点旋转转过的弧长，利用弧长公式进行计算即可解决问题． 【详解】解：滑轮的半径为， 滑轮上点A转过的度数为时，所对应的弧长为：， 重物上升了 故选：B． 【变式18-2】（2025·山东潍坊·三模）已知圆锥的高为4，底面圆的半径为3，则该圆锥侧面展开图的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆锥的侧面积计算，先利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积等于母线长乘以底面圆半径再乘以圆周率计算即可． 【详解】解：∵圆锥的高为4，底面圆的半径为3， ∴圆锥的母线长为， ∴该圆锥侧面展开图的面积是， 故选：C． 【变式18-3】（2025·山东济宁·三模）如图，将半径为8的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的高，勾股定理， 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出底面半径，再根据扇形的半径等于圆锥的母线，结合勾股定理求出答案． 【详解】解：根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 即， 所以圆锥的高为． 故答案为：． 【题型19】计算不规则图形面积 【例19】如图，为半圆O的直径，与半圆O相切于点C，，连接，，已知，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，证明四边形是平行四边形得，由切线的性质得，进而可证OC⊥AB，则，求出半径的长，然后根据计算即可． 【详解】解：连接、，则， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴ ， 故选：C． 【点睛】此题考查切线的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形，扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式19-1】如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连结，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】：如图，连接，由题意知，，由平分，可得，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，    由题意知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，角平分线，圆周角定理，扇形的面积．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式19-2】如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由折叠的性质可得，从而得到为等边三角形，再求出，从而得出，进行得出，最后由与面积相等及，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，   ， 根据折叠的性质，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 与面积相等， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、扇形面积的计算—求不规则图形的面积，添加适当的辅助线，得到是解题的关键． 【变式19-3】如图，点A是半径为2的外一点，，是的切线，B为切点，弦，连接AC，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．2 B．2π C．3 D． 【答案】D 【分析】如图，交于点E，连接，，，可知，由切线性质可证，于是，得；进一步可证是等边三角形，得，由平行可知， ，，求扇形面积得解． 【详解】解：如图，交于点E，连接，，， ∵，， ∴． ∵是的切线，B为切点， ∴． ∴． ∴． ∵ ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴ 由知， ， ∴． ∴阴影部分面积为． 故选：D．    【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形斜边中线定理，扇形面积求解，平行线的性质，添加辅助线，构造扇形、直角三角形是解题的关键． 【题型一】图形旋转要素的确定易出错 【方法点拨】：注意根据图形旋转的定义，确定旋转角，旋转中心和方向 【例1】如图，与都是等腰直角三角形而且全等，，点E在边上，下列说法正确的是（    ） A．绕点A顺时针旋转与重合 B．绕点A顺时针旋转与重合 C．绕点A顺时针旋转与重合 D．绕点A顺时针旋转与重合 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形、旋转角，找准旋转角是解题关键． 先根据等腰直角三角形的定义可得，再根据旋转角的定义即可得． 【详解】解：与都是等腰直角三角形，， ， ∴绕点A顺时针旋转与45°重合 和都是旋转角，旋转角度是， 故选：D． 【变式1-1】如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 【变式1-2】如图，现要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中的A，B，C，D，E，F中不同的点为旋转中心，旋转角度为（k为整数），则下列关于n的选项正确的是（    ） A．n可能为1，不可能为2，3 B．n可能为2，不可能为1，3 C．n可能为1，2，不可能为3 D．n可能为1，2，3 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握图形绕某点进行旋转的方法是解题的关键． 根据旋转的性质及题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 当左边的阴影部分绕点E顺时针旋转可得右边的阴影部分，此时； 当左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转可得右边的阴影四边形，此时； 当把左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转，将得到的四边形绕点C逆时针旋转可得右边的阴影四边形，此时； 故选：D． 【变式1-3】在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 【题型二】中心对称图形与轴对称图形混淆 【方法点拨】：明确中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合。而轴对称图形是沿一条直线折叠后直线两旁的部分互相重合。 【例2】下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是中心对称图形，故B符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 【变式2-1】下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，理解其定义是解题的关键 根据轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A：不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不合题意； B：不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不合题意； C：是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不合题意； D：既是中心对称图形又是轴对称图形，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式2-2】下列图案中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是(   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2-3】下列图案中，任意选取一个图案，既是中心对称图形也是轴对称图形的为（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：①图是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； ②图既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； ③图不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； ④图既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 综上，②④符合题意； 故选：C． 【题型三】遇到平行弦问题时未分类讨论 【方法点拨】平行弦的问题中两弦与圆心的相对位置往往不确定，需要分类讨论. 【例3】在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是_______． 【答案】2或14 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 【变式3-1】在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为_______． 【答案】或/7或1 【分析】如图，，，过点作于，交于点，连，根据垂径定理得，由于，，则，根据垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出，再进行讨论即可求解． 【详解】解：如图，，， 过点作于，交于点，连， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ， 同理可得， 当圆心在与之间时，与的距离； 当圆心不在与之间时，与的距离． 故答案为7或1． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 【变式3-2】在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽AB＝600毫米． （1）求油的最大深度； （2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？ 【分析】（1）首先过点O作OF⊥AB于点G，交⊙O于点G，连接OA，由垂径定理即可求得AF的长，然后由勾股定理，求得OF的长，继而求得油的最大深度． （2）分两种情况：根据（1）求得OE＝300mm，可得油面上升EF＝OF﹣OE，可得结论，同理可得当油面在圆心O的上方时，油面上升的高度． 【答案】解：（1）过O作OF⊥AB交AB于F，交圆O于G，连接OA， ∴AF＝AB＝300mm， ∵直径MN＝1000mm ∴OA＝500mm 由勾股定理得，OF＝＝＝400mm， 则GF＝OG﹣OF＝100mm； （2）油面宽变为800毫米时，存在两种情况： 当油面CD在圆心O的下方时，连接OC， ∵OE⊥CD， ∴CE＝400mm，OE＝＝300mm， 则EF＝OG﹣OE﹣FG＝100mm， 同理，当CD在圆心O上方时，可得EF＝700． 答：此时油面上升了100毫米或700毫米． 【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理的应用．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 【题型一】切线的判定方法1——连半径证垂直 【方法点拨】解决此类问题的关键是直线与圆有交点时连接交点和圆心做半径，通过证明该半径和直线垂直，根据切线判定定理进行证明。 【例4】如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5． 【分析】（1）连接，可得，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得，根据“内错角相等，两直线平行”可得，根据平行线的性质，可得，再根据切线的判定方法，即可判定； （2）过点O作，交于点G，根据垂径定理可得，故，根据矩形的判定和性质，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，则，    ， 是的平分线， ， ， ， ， 为的半径，点D在上， ∴是的切线； （2）解：过点O作，交于点G，如图，    ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 的半径为5． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线． 【变式4-1】如图，中，，以为直径的交于点，点在上，，的延长线交于点F．    (1)求证：与相切； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接、，则，所以，由，得，所以，即可证明与相切； （2）由切线的性质得，，，得，则，即可根据勾股定理列方程，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接、，    则， ， ，， ， ， 经过的半径的外端，且， 与相切． （2）解：由（1）知与相切， ∴ ∵，， ， ， ∵ ∴， ∵，， ， ， 的长为6． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式4-2】如图，为的直径，C为上一点，P为延长线上的一点，使得．    (1)求证：是的切线． (2)F为上一点，且经过的中点E． ①求证：； ②若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②的半径为5． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出，进而得出，即，即可得出结论； （2）①先根据直径所对的圆周角是直角得出，进而得出，根据题意可得出，推出，即可得出结论； ②设,则，由①知，得出和都是直角三角形，在中，根据勾股定理得出，求出，，在中，根据勾股定理得出，即可得出答案 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴是的切线； （2）①证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵经过的中点E， ∴， ∴， ∴； ②解：设,则， 由①知， ∴和都是直角三角形， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去），即，， 在中，， ∴， 解得：，即的半径为5． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． 【变式4-3】如图，已知半径为的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分，．    (1)判断与轴的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，由平分可得，又，所以，进而可得，所以，可得轴，进而可得结论； （2）过点作轴于点，则，且四边形是矩形，设可分别表达和，进而根据勾股定理可建立等式，得出结论； 【详解】（1）解：与轴相切，理由如下： 如图，连接， 平分， ， 又， ， ， ， 轴， 轴， 是半径， 与轴相切 （2）如图，过点作轴于点，    ， ， 四边形是矩形， ，， 设则， ， 在中，， ， 解得或舍去， ， ． 【点睛】本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，待定系数法求函数表达式，题目比较简单，关键是掌握相关定理． 【题型二】切线的判定方法2——怍垂直证半径 【方法点拨】解决此类问题的关键是直线与圆没有交点时过圆心向直线做垂直，通过证明该垂线段和半径相等从而得到该直线是圆的切线。 【例5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E． （1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由． （2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）相切，理由见解析；（2） 【分析】(1)过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF= BA，即可证明CD与圆B相切； (2)先证明△BCD是等边三角形，根据三线合得到∠ABD= 30°，求出AD，再利用阴影部分的面积= S△ABD－S扇形ABE求出阴影部分面积． 【详解】解：(1) 过点B作BF⊥CD，垂足为F， ∴∠BFD=90°， ∵ADBC，∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAD=90°， ∴∠BAD=∠BFD， ∵ADBC， ∴∠ADB= ∠CBD， ∴CB= CD， ∴∠CBD= ∠CDB， ∴∠ADB = ∠CDB， 在△ABD和△FBD中 ， ， ∴△ABD≌△FBD (AAS)， ∴BF= BA，则点F在圆B上， ∴CD与⊙B相切； (2) ∵∠BCD= 60°，CB= CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠CBD = 60°， ∵ BF⊥CD， ∴∠ABD= ∠DBF= ∠CBF= 30 °， ∴∠ABF= 60 °， ∵ AB= BF= 6， ∴AD= DF= АВ· tan30° = 2， ∴阴影部分的面积= S△ABD－S扇形ABE = = ． 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，解题的关键是正确作出辅助线． 【变式5-1】ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与O相切于点D． 求证：AC是O的切线． 【答案】见解析. 【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论． 【详解】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA， ∵AB与O相切于点D， ∴AB⊥OD， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE=OD，即OE是O的半径， ∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE， ∴AC是O的切线。 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键. 【变式5-2】如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M． （1）求证：CD与⊙O相切; （2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）根据正方形的性质得到AC是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明； （2）根据正方形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质得到OC是圆的半径的倍，从而根据对角线的长列方程求解． 【详解】证明：（1）连OM，过O作ON⊥CD于N； ∵⊙O与BC相切， ∴OM⊥BC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC平分∠BCD， ∴OM=ON， ∴CD与⊙O相切． ：（2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=CD=1，∠B=90°，∠ACD=45°， ∴AC=，，∠MOC=∠MCO=45°， ∴MC=OM=OA， 又∵AC=OA+OC， 【点睛】此题综合了正方形的性质和圆的切线的性质和判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）8 【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，根据切线的性质可得∠B=90°，即AB⊥BC，然后根据角平分线的性质可得DE=DF，从而证得结论； （2）根据已知DE=DC和（1）的结论可知DF⊥AC，AB⊥BC以及半径DB=DF，得证Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），进而得证EB=FC,再由AB=AF，可知AC=AF+FC=AB+EB=8． 【详解】解：（1）过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B=90°， ∴AB⊥BC ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD=DF， ∴AC与圆D相切； （2）在△BDE和△DCF中； ∵BD=DF，DE=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴EB=FC． ∵AB=AF， ∴AB+EB=AF+FC， 即AB+EB=AC， ∴AC=5+3=8． 【点睛】本题考查切线的性质与判定，直角三角形全等的判定与性质． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆（7知识&19题型&3易错&2方法清单） 【清单01】旋转的定义与性质 1.旋转定义 在平面内，将一个图形绕一个_______按某个方向转动_________，图形的这种变化称为旋转，这个点称为旋转______，转动的角称为_______。 2.旋转的基本性质 一个图形和它经过旋转得到的图形中，对应点到_________相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都_________；对应线段_________，对应角_________。 【清单02】中心对称的相关概念与性质 1.中心对称 在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转_________后，能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成_________，这个点叫做_________。中心对称是对两个图形来说的 2.中心对称的性质 成中心对称的两个图形，对应点的连线_________，且被_________。 3.中心对称图形 在平面内，把一个图形绕某个点_________，如果旋转前后的图形_________，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的_________。中心对称图形是对一个图形来说的。 4.中心对称图形的性质 中心对称图形上的每一组对应点所连成的线段_________。 【清单03】圆的基本概念 1.圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”. 2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径. 3.弧： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧叫做优弧. 4.等圆.：能够重合的两个圆叫做等圆. 5.等弧.：在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧. 【清单04】圆的性质 .1. 垂径定理及其推论： ①垂径定理：__________________，并且平分弦所对的两条弧 ②推论：平分弦(不是_________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 2. 圆心角、弧、弦的关系： ①定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． ②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧.两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等． 3. 圆周角及其推论： ①定理：一条弧所对的圆周角等于它__________________． ②推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________． ③推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是_________，90°的圆周角所对的弦是_________． ④圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角． 【清单05】与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP = d，则有： 点P在圆外⇔d > r ； 点P在圆上⇔d = r ； 点P在圆内⇔d < r ． 性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 2.直线与圆的位置关系 ①位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有： 直线l和⊙O相交⇔d < r ； 直线l和⊙O相切⇔d = r ； 直线l和⊙O相离⇔d > r ②切线的性质定理：圆的切线垂直于_________． ③切线的判定定理：经过半径的外端并且_________于这条半径的直线是圆的切线． ④切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长_________，这一点和圆心的连线平分__________________。 【清单06】圆与多边形的关系 1、三角形的外接圆与外心 ①定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的_________心． ②外心的性质：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离_________. 2、三角形的内切圆与内心 ①定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的_________心. ②内心的性质：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等. 3、正多边形与圆 ①定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． ②性质：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. 【清单07】圆的有关计算 1、弧长：n°的圆心角所对的弧长l为：. 2、扇形面积：圆心角为n°的扇形面积S为：或. 3、圆锥的侧面积： 圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为 ， 全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有． 圆锥与侧面展开图的等量关系：，. 【题型一】找旋转中心、旋转角 【例1】 如图，与都是等腰直角三角形而且全等，，点E在边上，下列说法正确的是（    ） A．绕点A顺时针旋转与重合 B．绕点A顺时针旋转与重合 C．绕点A顺时针旋转与重合 D．绕点A顺时针旋转与重合 【变式1-1】(23-24九上·北京朝阳区·期末)在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1-2】如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角度得到，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 【变式1-3】如图，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是     A. B. C. D. 【题型二】利用旋转性质求解 【例2】 如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为____________. 【变式2-2】(25-26九·阶段性检测期中模拟试卷·期中)如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到．下列结论错误的是（　　） A． B． C．B，E两点之间的距离为8 D．A，C，E三点共线 【变式2-3】如图，将绕点逆时针旋转到，点恰好落在边上．已知，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【题型三】画旋转图形 【变式3-1】如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)将绕点逆时针旋转得到，画出旋转后的图形． (2)写出点、的坐标． 【变式3-2】在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． (1)作出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标 ，点的坐标 ； (2)把向上平移个单位长度得到，画出； (3)将以为旋转中心，逆时针旋转得到，画出； (4)已知与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标 ． 【变式3-3】(25-26九上·云南昆明官渡区云大附中星耀学校·期中)在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，A点坐标是，B点坐标是，C点坐标是． (1)将向下平移4个单位，画出平移后的，并写出的坐标； (2)将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的图形，并写出点坐标． 【题型四】旋转规律问题 【例4】 （2025·四川省·宜宾市·期中测试）如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，得到点P1，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2，…，按此规律继续旋转，直到得到点P2020为止，则AP2020= ______ . 【变式4-1】如图，将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点与坐标原点重合，点在轴正半轴上．将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，记为第一次旋转．再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，以此规律旋转．则点的坐标为 ，第2025次旋转后钝角顶点坐标为 ． 【题型五】 中心对称及其性质 【例5】（2025山东烟台中考）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，与关于原点成中心对称的是(    ) A. B. C. D. 【变式5-2】（2025山东中考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，与关于原点中心对称，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为(    ) A. B. C. D. 【题型六】 圆的相关概念 【例6】（24-25九年级上·山东德州·期中）以下命题正确的是（   ） A．任何一条直径都是圆的对称轴 B．周长相等的圆是等圆 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是圆上任意两点所连的线段 【变式6-1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的外心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 【变式6-3】（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）有以下说法①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的弧是等弧；④直径是弦，弦是直径．其中说法错误的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【题型七】 利用垂径定理求解 【例7】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，⊙O中，CD是直径，且CD⊥AB于P，则下列结论中不一定正确的是（　　） A.AP=PB B. C.∠AOB=4∠ACD D.PO=PD 【变式7-1】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，为的直径，弦于点，若，则的长为__________. 【变式7-2】（25-26九年级上·广西柳州·期中）如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（   ） A．分米 B．分米 C．2分米 D．3分米 【变式7-3】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为的经过点，，则点的坐标为___________． 【题型八】 平行弦问题 【例8】 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【变式8-1】一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 【变式8-2】如图所示，矩形与相交于、、、，若，，，则的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式8-3】如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为__________． 【题型九】利用弧、弦、圆心角关系求解 【例9】 （2025·河南郑州·一模）如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，是直径，C，D为上的点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知半径为3，上有两点A、B，，则弦所对劣弧的度数为___________． 【变式9-3】（2025·江苏苏州·一模）如图，点A，B，C，D，E在上，D是的中点，．若，，则___________°．    【题型十】利用圆周角定理及其推论求解 【例10】如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式10-1】如图，、是以线段为直径的上的两点，若，且，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【变式10-2】如图，在上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式10-3】．已知点A，B，C是上的点，且三点互不重合，下列结论错误的是（　　） A．若点B是的中点，则 B．若，则或 C．若，则 D．若四边形是平行四边形，则四边形一定是菱形 【题型十一】利用圆内接四边形的性质求解 【例11】 如图，已知钝角三角形内接于⊙，，则的度数的是（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，点A，B，C，D在上，四边形是平行四边形，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式11-3】如图，在的内接四边形中，，，若点在上，则的值为（） A． B． C． D． 【题型12】 点和圆的位置关系 【例12】 （24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 【变式12-1】（22-23九年级上·云南玉溪·期中）以坐标原点为圆心，10为半径画圆，则点与的位置关系是（    ） A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定 【变式12-2】（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（   ） A．点B在内 B．直线与相离 C．点C在上 D．直线与相切 【变式12-3】（2024·河北沧州·模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（    ） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 【题型十三】直线和圆的位置关系 【例13】（23-24九年级上·江苏·周测）已知的直径为10，直线l与圆心O的距离为8，那么直线l与公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式13-1】已知，点在的平分线上，，以点为圆心，为半径作，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【变式13-2】题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（    ）    A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 【变式13-3】如图，已知直线的解析式是，并且与轴、轴分别交于，两点．一个半径为3的，圆心从点开始以每秒2个单位长度的速度沿着轴向下运动，当与直线相切时，则该圆运动的时间为（　　） A．3秒或8秒 B．8秒 C．3秒 D．6秒或16秒 【题型十四】切线的判定与性质综合 【例14】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求及的长． 【变式14-1】如图，在矩形ABCD中，，E是边AB上一点，且．已知经过点E，与边CD所在直线相切于点G（为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且，当边AD或BC所在的直线与相切时，AB的长是（    ） A．5或9 B．6或9 C．5或 D．6或 【变式14-2】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若，求． 【变式14-3】已知：如图，在中，，E为上一点，是的角平分线，，长为半径作． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，且，求的长． 【题型15】 利用切线长定理求解 【例15】（2025·山东淄博·一模）如图，四边形是的外切四边形，且，，的半径，则四边形的面积为（   ） A．44 B．88 C．100 D．110 【变式15-1】 如图，点是半径为的外一点，，分别切于，点，若是边长为的等边三角形，则（  ）    A． B． C． D． 【变式15-2】如图，为的内切圆，，，点D，E分别为，上的点，且为的切线，则的周长为（　　） A．9 B．7 C．11 D．8 【变式15-3】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（   ） A． B． C． D． 【题型十六】 三角形内切圆与外接圆的综合 【例16】 （2025年·广东省·同步练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．求△ABC的内切圆半径r． 【变式16-1】（24-25九年级上·天津河北·期中）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 【变式16-2】（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 【变式16-3】如图，点I和O分别是的内心和外心，若，则的度数为 ． 【题型十七】正多边形与圆的相关计算问题 【例17】如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为(   )    A． B． C． D． 【变式17-1】已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长是（   ）    A． B． C． D． 【变式17-2】．如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（    ）．    A． B．2 C． D． 【变式17-3】如图，在边长为的正六边形中，连接BE，，相交于点O，若点分别为，的中点，则的长为（    ）    A．6 B． C．8 D．9 【题型18】圆中的相关计算问题（弧长、扇形面积、圆锥相关计算) 【例18】如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点D，E．若，，则的长为 （　　） A． B．π C． D． 【变式18-1】 （2025·福建福州·模拟预测）物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（  ） A． B． C． D． 【变式18-2】（2025·山东潍坊·三模）已知圆锥的高为4，底面圆的半径为3，则该圆锥侧面展开图的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式18-3】（2025·山东济宁·三模）如图，将半径为8的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 【题型19】计算不规则图形面积 【例19】如图，为半圆O的直径，与半圆O相切于点C，，连接，，已知，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式19-1】如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连结，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式19-2】如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【变式19-3】如图，点A是半径为2的外一点，，是的切线，B为切点，弦，连接AC，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．2 B．2π C．3 D． 【题型一】图形旋转要素的确定易出错 【方法点拨】：注意根据图形旋转的定义，确定旋转角，旋转中心和方向 【例1】如图，与都是等腰直角三角形而且全等，，点E在边上，下列说法正确的是（    ） A．绕点A顺时针旋转与重合 B．绕点A顺时针旋转与重合 C．绕点A顺时针旋转与重合 D．绕点A顺时针旋转与重合 【变式1-1】如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式1-2】如图，现要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中的A，B，C，D，E，F中不同的点为旋转中心，旋转角度为（k为整数），则下列关于n的选项正确的是（    ） A．n可能为1，不可能为2，3 B．n可能为2，不可能为1，3 C．n可能为1，2，不可能为3 D．n可能为1，2，3 【变式1-3】在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【题型二】中心对称图形与轴对称图形混淆 【方法点拨】：明确中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合。而轴对称图形是沿一条直线折叠后直线两旁的部分互相重合。 【例2】下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列图案中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是(   ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列图案中，任意选取一个图案，既是中心对称图形也是轴对称图形的为（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【题型三】遇到平行弦问题时未分类讨论 【方法点拨】平行弦的问题中两弦与圆心的相对位置往往不确定，需要分类讨论. 【例3】在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是_______． 【变式3-1】在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为_______． 【变式3-2】在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽AB＝600毫米． （1）求油的最大深度； （2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？ 【题型一】切线的判定方法1——连半径证垂直 【方法点拨】解决此类问题的关键是直线与圆有交点时连接交点和圆心做半径，通过证明该半径和直线垂直，根据切线判定定理进行证明。 【例4】如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式4-1】如图，中，，以为直径的交于点，点在上，，的延长线交于点F．    (1)求证：与相切； (2)若的半径为3，，求的长． 【变式4-2】如图，为的直径，C为上一点，P为延长线上的一点，使得．    (1)求证：是的切线． (2)F为上一点，且经过的中点E． ①求证：； ②若，，求的半径长． 【变式4-3】如图，已知半径为的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分，．    (1)判断与轴的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 【题型二】切线的判定方法2——怍垂直证半径 【方法点拨】解决此类问题的关键是直线与圆没有交点时过圆心向直线做垂直，通过证明该垂线段和半径相等从而得到该直线是圆的切线。 【例5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E． （1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由． （2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求图中阴影部分的面积． 【变式5-1】ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与O相切于点D． 求证：AC是O的切线． 【变式5-2】如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M． （1）求证：CD与⊙O相切; （2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径． 【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $