27.2.1（第1课时）平行线分线段成比例（培优教学课件）数学人教版九年级下册

该初中数学课件围绕“平行线分线段成比例”核心内容，通过甲乙过马路的生活情境引入，引导学生从网格图计算线段长度比探究规律，逐步抽象出基本事实及推论，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是生活化情境培养数学眼光，探究式学习发展推理意识，例题结合五线谱、花架等实例用数学语言表达现实。分层例题与当堂检测助力学生巩固，教师可直接使用提升教学效率。

第27章 相似 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 27.3.1 （第1课时） 平行线分线段成比例 BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 甲乙两人在斑马线同一侧沿如图路径过马路，绿灯亮时，两人同时走起，在5秒后，甲发现甲乙两人正好同一斑马线上.甲说：“我已经过完1/3的马路.”乙说：“我也刚好过完1/3的马路.” 思考：乙的说法对吗？ 甲 乙 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 如图，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3. A2 A3 A1 B1 B2 B3 b m n a c 求(1)A1A2= ；A2A3 = ； B1 B2 = ；B1 B2 = BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 A2 A3 A1 B1 B2 B3 b m n a c (2)计算 ，与 、 (1)A1A2= ；A2A3 = ； B1 B2 = ；B1 B2 = 你有什么发现？ BY YUSHEN BY YUSHEN 知识清单 基本事实 两条直线被一组平行线所截，所截得的对应线段成比例. 符号语言： ∵a∥b∥c ∴ A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a 对应线段如何理解？ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 直线l1//l2//l3，若AC=10，AB=6，DF=15，求EF的值. 解：∵AC=10，AB=6， ∴BC=4， ∵l1//l2//l3, ∴=, ∴, ∴EF=6. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 如图，音乐中的五线谱是由等距离、等长度的五条互相平行的横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB=4,求线段BC的长. 解：如图，过点A作AF⊥CF于点F，交过点B的平行线于点E,交过点A的临近平行线于点D, 由题意设AD=DE=EF=h, ∴===, ∵AB=4, ∴AC=6， ∴BC=AC-AB=2. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图1是一个花架图，图2是其侧面简化示意图，若AD∥BE∥CF,ED=20cm, = ,求DF的长. 解：∵AD∥BE∥CF， =, ∵ED=20cm, =, =50cm, 答：DF的长为50cm. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段， A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a 思考：把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段是否依然成比例呢？ BY YUSHEN BY YUSHEN 成立，平移时对应线段的长度不会改变 新知探究 A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a A1(B1) A2 A3 B2 B3 ( ) “A”字型基本图形 思考：直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，图中有哪些成比例线段？ B1 B2 B3 n 在新的图形中，上面的线段是否仍然成比例？ BY YUSHEN BY YUSHEN 成立，平移时对应线段的长度不会改变 新知探究 A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 思考：直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，图中有哪些成比例线段？ 在新的图形中，上面的线段是否仍然成比例？ A2(B2) A1 A3 B1 B3 ( ) “X”字型基本图形 B1 B2 B3 n BY YUSHEN BY YUSHEN 平行线分线段成比例的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边（或其延长线）相交， 截得的对应线段成比例. 几何语言 ＝ ， ＝ ， ＝ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E. 思考1 △ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？ 思考2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边 长是否对应成比例？ B C A D E 思考3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？ 通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 B C A D E 思考：我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？ 由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 而除 DE 外，其他的线段都在△ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？ B C A D E 思考：由前面的结论可得 ，需要证明的是 , 可以将 DE 平移到BC 边上去 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 证明： 在 △ADE与 △ABC中，∠A=∠A. ∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C. 如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F. C A B D E F 用相似的定义证明△ADE∽△ABC. ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴ ∵ 四边形DEFB为平行四边形， ∴ DE=BF. ∴△ADE∽△ABC. ∴ BY YUSHEN BY YUSHEN 三角形相似的判定定理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似. “A ”型 “X ”型 D E A B C A B C D E BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC. (1)如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？ (2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？ A B C E F 28 5 解:(1) ∵ EF∥BC， AE AF EB FC ∴ —— ——， ＝ 7 AF 5 4 —— ——， ＝ 即 ＝ ——. ∴ AF BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 A B C E F 解:(2) AE AF AB AC ∴ —— ——， ＝ 6 5 10 AC ＝ —— ——. 即 ＝ 25 3 ——， ∴ AC ＝ 10 3 —. ∴ FC 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC. (1)如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？ (2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图,已知△ADC和△NBC，D是BC的中点，M是AD的中点，MN∥DE,求AN:NC的值. 解：∵BD=CD,MN∥DE, =, ∵M是AD的中点，MN∥DE, =, AN:NC= BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 变式1 如图，在△ABC中，若BD∶DC＝CE∶EA＝2∶1，AD和BE交于F， 则AF∶FD＝________． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 变式2 如图,在△ABC中，AB=BC,BE平分∠ABC,AD是BC边上的中线，AD与BC交于点F,过点D作DG∥BE交AC于点G. (1)求的值；(2)若AC=BE=4,求△BDF的面积. 解：(1)∵AB=BC,BE平分∠ABC， ∵DG∥BE, , , ∵AD是BC边上的中线， EG= CE= AE,AG=AE+EG= AE, = BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 变式2 如图,在△ABC中，AB=BC,BE平分∠ABC,AD是BC边上的中线，AD与BC交于点F,过点D作DG∥BE交AC于点G. (1)求的值；(2)若AC=BE=4,求△BDF的面积. 解：(2)∵AB=BC,BE平分∠ABC， BE⊥AC,S△ABC= ∵AD是BC边上的中线， S△ABD=S△ABC , BY YUSHEN BY YUSHEN 平行线分线段成比例 归纳总结 基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得 的对应线段成比例. 推论 平行于三角形一边的直线与其他两边 相交，截得的对应线段成比例. 基本图形 “A”字型基本图形 “X”字型基本图形 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式错误的是（ ） AC BD CE DF A. —— —— ＝ CE DF AE BF C. —— —— ＝ AC BD AE BF B. —— —— ＝ AE BD BF AC D. —— —— ＝ D A B C D E F l1 l2 l3 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 D 2.如图，a∥b∥c，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（    ） A. B. C. D. 3.已知线段a，b，c，求作线段，使,下列作法中(图中的虚线是平行线) 正确的是（     ） A. B. C. D. D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 4.如图，H为平行四边形ABCD中AD边上的一点， 且2HK=BK，AC与BH交于K，则AK:KC等于（ ） A .1:2 B.1:1 C.1:3 D. 2:3 A K H D C B A 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，DE⊥BC于点E,若AB=10,BC=6,则DE的长为（ ） A. B.4 C.10 D. B BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 A B C D E F l1 l2 l3 7.如图，l1∥l2∥l3，其中AC＝2，BD＝3， CE＝4，则DF＝________. 6 6.如图，点A,B,C都在格点上(网格小正方形的边长为1)，点C是线段AB与网格线的交点，则AC的长为 . BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.如图，BC∥DE，AB=15，AC=9，BD = 10，则 AE=______. 15 A D E B C 9.如图，DE∥BC，AB=6，AC=9，AD=2，则 EC=______. 12 A B C E D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 10.直线 AB//CD//EF ，若AC=4，CE=6，BD=3 ，求BF的长. A C E B D F 解：∵AB//CD//EF, ∴==, 即=, ∴DF=， ∴= BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 11.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且 DE∥BC，EF∥AB，AD∶DB＝2∶3，BC＝20 cm，求BF的长 解：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形BDEF是平行四边形，∴BF＝DE， ∵AD∶DB＝2∶3， ∴AD∶AB＝2∶5. ∵DE∥BC， ∴DE∶BC＝AD∶AB＝2∶5， 即DE∶20＝2∶5， ∴DE＝8，∴BF＝8. 故BF的长为8 cm. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 12.如图，AC//BD,AD、BC相交于E，EF//BD，求证： . F E D C B A 证明：∵AC//EF//BD ∴ ∴ ∴ BY YUSHEN BY YUSHEN 解：过点D作DH∥BE交AC于H ∴＝＝2∴EH＝CE ∵BD∶DC＝CE∶EA＝2∶1 ∴AE＝CE＝EH ∴＝＝ $